代数/对数

对数（通常称为“对数”）是函数在日常生活中的一种特定实例。对数通常用于测量地震、恒星距离、经济学以及整个科学界。它基本上回答了这样一个问题：为了得到这个结果，我需要将这个底数提高到什么次方？

对数

为了理解对数，我们需要回顾指数方程。请回答以下问题

1 4 的 3 次方是多少？

2 3 的 4 次方是多少？

3

$2^{5}=$

4

$5^{2}=$

就像有方法说和写“4 的 3 次方”或“$4^{3}\!$”，也有特定的方法说和写对数。

例如，“4 的 3 次方等于 64” 可以写成：$4^{3}=64\!$

然而，它也可以写成

$\log _{4}(64)=3\$

一旦你记住，指数的底数是被提高到幂的数，对数的底数是对数后面的下标，剩下的就顺理成章了。我喜欢在将对数形式转换为指数形式时，从底数画一条箭头（无论是心理上还是实际的）到指数，再到乘积。因此，在对数示例中，我会从 2 到 5 到 32 （一旦我加上约定），就会得到：$2^{5}=32\!$

因此，当你被给定一个对数来求解时，只需记住如何将其转换为指数方程。以下是一些练习题，答案在底部。

对数的性质

以下性质源自对数的定义。

基本性质

对于所有实数 $a,b,c,d,y>0$ 且 $b\neq 1,d\neq 1$，我们有

1. $\log _{b}(y^{a})=a\log _{b}(y)$
2. $\log _{b}(b^{a})=a$
3. $\log _{b}(ac)=\log _{b}(a)+\log _{b}(c)$
4. $\log _{b}(a/c)=\log _{b}(a)-\log _{b}(c)$
5. $\log _{b}(a)={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}\quad$ （换底公式）。

证明

我们对等式$b^{c}=a$两边取以d为底的对数。

$\log _{d}(b^{c})=\log _{d}(a)$.

接下来，注意这个等式的左边与上面性质1中的左边相同。我们应用这个性质

$c\log _{d}(b)=\log _{d}(a)$

将c移到等式左边得到

$c={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}$

最后，由于$c=\log _{b}(a)$

$\log _{b}(a)={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}$

例子

这个公式允许我们在计算器上计算以e或10以外的底的对数。例如，

$\log _{3}(12)={\frac {\log _{10}(12)}{\log _{10}(3)}}=2.262$

求解以下对数

1

$\log _{3}(81)=$

2

$\log _{6}(216)=$

3

$\log _{4}(64)=$

4 使用计算器求值（保留5位小数）

$\log _{4}(6)=$

求解以下对数的y值

5 $\log _{3}(y)=3$

y=

6 $\log _{5}(y)=4$

y=

7 $\log _{9}(y)=4$

y=

更多属性

对数是指数函数的逆运算，就像除法是乘法的逆运算一样。例如，就像我们有

$5\times 6=30$

和

$30/6=5$

我们也有

$7^{3}=343$

和

$\log _{7}343=3$

更一般地说，如果 $a^{b}=x$，那么 $\log _{a}x=b$。同样，如果 $f(x)=a^{x}$，那么 $f^{-1}(x)=\log _{a}x$，因此如果将两个方程绘制成图表，则每个方程都是另一个方程关于直线 $y=x$ 的反射。（在这两个方程中，*a* 被称为*底*。）

因此，$a^{\log _{a}b}=b$ 和 $\log _{a}a^{b}=b$.

对数的常见底数是 10 ($\log _{10}x$ 被称为*常用对数*) 和 *e* ($\ln x$ 被称为*自然对数*)，其中 *e* = 2.71828182846...

自然对数通常写成 $\ln x$ 或 $\ln(x)$ (ln 是拉丁语中自然对数的缩写)，有时也写成 $\log _{e}x$ 或 $\log _{e}(x)$。当 x 是一个数学表达式时，建议使用括号形式（例如 $\ln(6x+1)$）。

对数通常缩写为 logs。

歧义

记号 $\log x$ 可能指的是 $\ln x$ 或 $\log _{10}x$，具体取决于国家和语境。例如，在英语系学校中，$\log x$ 通常指的是 $\ln x$，而它在意大利语和法语系学校或英语系数论家眼中指的是 $\log _{10}x$。因此，此记号仅应在语境明确的情况下使用。

对数的性质

1. $\log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}x*y$
2. $\log _{a}x-\log _{a}y=\log _{a}{\frac {x}{y}}$
3. $\log _{a}x^{b}=b\times \log _{a}x$

证明
$\log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}x*y$

$\log _{a}x+\log _{a}y$

$\log _{a}x=b$ 和 $\log _{a}y=c$

$\ a^{b}=x$ 和 $\ a^{c}=y$

$\ xy=a^{b}a^{c}$

$\ xy=a^{(b+c)}$

$\log _{a}xy=b+c$

并用 b 和 c 替换（如上）

$\log _{a}xy=\log _{a}x+\log _{a}y$

换底公式

$\log _{y}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}$ 其中 *a* 是任何正数，不同于 1。通常，*a* 是 10（对于常用对数）或 *e*（对于自然对数）。

证明
$\log _{y}x=b$

$\ y^{b}=x$

将两边设为 $\log _{a}$

$\log _{a}y^{b}=\log _{a}x$

$\ b\log _{a}y=\log _{a}x$

$\ b={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}$

用第一行中的 $\ b$ 替换

$\log _{y}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}$

底数与指数互换公式

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$ 其中 a 或 c 不能等于 1。

证明

$log_{a}b={\frac {1}{log_{b}a}}$ 根据上面的换底公式。

注意 $a=c^{log_{c}a}$。 然后

$a^{log_{b}c}$ 可以改写为

$({c^{log_{c}a}})^{log_{b}c}$ 或者通过指数规则可以写成

$c^{{log_{c}a}*{log_{b}c}}$

使用上面提到的逆规则，它等于

$c^{{log_{c}a}*{\frac {1}{log_{c}b}}}$

根据换底公式

$c^{log_{b}a}$