代数/第1章/数轴
| ------------------------ | 代数 第1章：初等算术 第1节：数轴 |
算术运算 |
1.1：数轴
数的概念是所有现代数学的基础。数字有很多用途，主要用于计数和测量事物。本节将涵盖数的概念，以及数学中看到的不同类型的数及其用途。
我们许多人认为“数”的概念是理所当然的。
数是一个抽象的概念，通常用于计数或测量事物。尽管如此，取决于它们的使用场景，它们可能用于许多不同的目的。数仅仅是我们头脑中的一个想法，是我们谈论和书写的东西，但除此之外我们从未真正见过。为此，我们使用称为数字的符号来表示这些数，例如“5”或“五”。我们也可以通过举起5根手指、敲击桌子5次或跳跃5次来表示这个数。这些只是表示数字5的一些方法。
一般来说，数是一个想法，而数字是我们表达这个想法的方式。数表示所谓的量。这是某一组物体中事物的多少，例如“六”个棒棒糖、“七”片披萨、“二十五”美元或“一百”个千年。为了表示这些量，我们可以说6个棒棒糖、7片披萨、25美元或100个千年。
数可以用多种方式表示。我们可能用来表示这些数的符号和记法的集合被称为数系。数系以一致的方式使用数字或其他符号。例如，在最早的文明中，人们被认为依赖于数手指或一组棍棒和卵石。目前尚不清楚最早的数系是什么，但很早以前，人们就开始使用符号组，|，||，|||，||||，等等来表示数字。这些符号至今仍用作记号，|，||，|||，||||，以及||||分别表示1、2、3、4和5。
数的最古老、最有用的应用之一是时间。我们使用时间来跟踪事件序列的顺序，比较事件的持续时间或它们之间的时间间隔，以及量化事物变化的速度。有很多方法可以跟踪时间，从跟踪太阳升起和落下来记录时间的史前部落，到骨骼和树木上的标记。
在旧石器时代晚期，狩猎和渔业社会在尼罗河谷和非洲许多地区发展起来。来自这些古代文明的一个有趣的发现是在刚果民主共和国爱德华湖发现的一块刻有雕刻的骨头。这块骨头被称为伊尚戈骨，上面刻有多个刻痕，表明了一种模式。这块骨头的确切用途尚不清楚，但从数学的角度来看，这可以看作是一种记号系统。
这块骨头有几个独立的标记。一组标记有11、13、17和19四个组；另一组有11、21、19、9；第三组有7组3、6、4、8、10、5、5。
我们今天使用的数系被称为印度-阿拉伯记数系统，顾名思义，它是由印度人在公元3世纪之前创造的，这个数系在1000年后由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契引入西方世界。然后，这个数系被阿拉伯人推广，因此得名。
该系统中的所有数字都由数字0、1、2、3、4、5、6、7、8和9组成。数字是用这些数字写成的，并将它们放置在特定的位置。设计该系统的印度数学家曾说过，“从一个位置到另一个位置，每个数字都是前一个数字的十倍。”例如，数字三用符号“3”表示，而数字二百万用数字“2”后跟六个零表示。
如你所知，我们根据位值排列数字中的数字。当数字由三个以上的数字组成时，我们有时会使用逗号将数字分成三组。这三组数字称为节。在印度-阿拉伯数系中，第一节中的位置值分别是个位、十位和百位。
数字中的每个其他节也包含个位、十位和百位。当我们从右到左读取数字时，请注意每个位置的值都是前一个位置的十倍。
数的顺序是我们用来将数字从“最小”到“最大”或从数轴上的“左”到“右”排列的方法。数轴上越靠右的数字，“越大”。
数轴是一条显示所有数字的直线，左侧递减，右侧递增。典型的数轴显示所有整数（整数），但它可以包含两个数字之间的数字，例如一半或3.7。
从上面可以看出，数有很多种类。目前，我们将要讨论的数字是整数、小数、分数、负数和零。
数字的大小是它在数轴上到零的距离。
在本节的其余部分，我们将逐一介绍此数字表示的所有特征。
比较两件事物的字典定义是将它们相互关联地看待。对于本课程，能够比较数字或能够知道一个量是否等于、小于或等于另一个量是很好的。在数学中，我们用于比较数字的符号是“>”，表示“大于”，“<”，表示“小于”，“=”，表示“等于”。
| 符号 | 解释 | 示例 |
|---|---|---|
| 当两个值相等时，我们使用“=”符号。 | 2 + 3 = 5 | |
| 当一个值大于另一个值时，我们使用“>”符号。 | 40 > 39 | |
| 当一个值小于另一个值时，我们使用“<”符号。 | 14 < 17 |
在下图中，我们看到7比3大4。简单来说，这可以表示为“7-3 = 4”。
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提示 如果你忘记了哪个数字放在哪里，请记住以下几点 大 > 小 小端总是指向较小的数字，大端总是指向较大的数字。 |
数轴也可以用作比较数字的工具，这非常简单。要做到这一点，只需要知道两个简单的基本事实。
- 在数轴上的任意两个数中，右边的数更大。
- 在数轴上的任意两个数中，左边的数更小。
最常用的数字系统被称为计数数，更专业的术语是自然数。这些数字是1、2、3、4，依此类推。这些数字是我们学习计数时使用的数字，正如名称所示（例如，“桌子上有六支铅笔”），以及用于排序事物（例如，“这是篮子里第四小的球”）。对于大数字，使用逗号将数字分成每三位一组。
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例1.1：如何写出“三千五百二十二”这个数字？ 在这个例子中，数字3在千位，数字5在百位，2在十位，2在个位。 |
我们了解如何计数自然数。但是当我们不处理整数部分时会发生什么？大多数时候，你会遇到“不可数”对象的实例，或者不能表示为一组对象的事物。
自然数用于对一组中的事物进行计数，但在大多数情况下，我们感兴趣的是测量那些数量不精确到“一”或“三百”甚至“一百万”的事物。我们可以“计数”诸如布料上的洞的数量、用于建造栅栏的木板数量以及湖中的石头数量。但是，我们无法“计数”诸如桶中水量或物体的重量等事物。相反，需要使用特殊的工具来确定这些数量，例如用于长度的尺子、用于重量的天平以及用于时间的秒表。
小数可以认为是数轴上刻度之间找到的数字。它们通常用一个小数点符号来识别，通常是“.”，它放在数字之间（尽管有些国家使用逗号“，”代替）。这个符号右边的数字表示刻度之间的部分。例如，数字12.5位于数字12和13之间。它大于12，但小于13。数字12.3也大于12，但它也小于12.5。
分数也是可以在数轴上刻度之间找到的数字。它们也表示与小数相同的概念，包含整体的一部分的值，但它们是表达该概念的不同方式。
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注意！ 与你可能被教导的不同，你不应该在数字中的“，”后面读作“and”。 还应该注意的是，在一些国家，“，”和“.”的位置互换。因此，在美国，“1,523.99”在其他地方可能写成“1.523,99”。 |
纵观数学史，有一些概念即使是最伟大的学者也难以接受，而这些概念如今却被我们视为理所当然，其中一些是当今的年轻人很容易理解的。这两个主要例子是“负”数的概念和数字零。
数学的起源在于计数事物，例如一个人拥有的绵羊数量。如果你有两只绵羊，你会数它们为“一、二”。逻辑上，这意味着你不能要求别人“借给你三只绵羊”，因为在你已经有的两只绵羊之后，你没有更多的绵羊可以再给出去。
负数是数轴左侧的数字。换句话说，这些数字小于零。想象一个小于零的数字可能很困难。如果你有一盘饼干，每个人都把它们全部拿走直到没有为止，很难想象你能再拿走任何饼干。
零表示没有数量的值，例如，如果一个人有零顶帽子，这意味着他们没有帽子。零位于正数和负数之间，位于-1和1之间的一半。数字零既不是正数也不是负数，但它是偶数。
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零的历史 很久以前，零的概念是不存在的。然而，这个概念最初是由巴比伦人、古代印度人和几个中美洲部落在不同时期提出的，尽管这个数字主要充当占位符而不是一个实际的数字。零作为一个数字，据认为早在公元628年就在印度被引入，载于婆罗摩笈多算术，该著作是由数学家婆罗摩笈多提出的。 然而，一些国家仍然没有使用零，这意味着数学运算变得极其困难。 |