代数/第 1 章/算术

数轴

代数 第 1 章：初等算术 第 2 节：算术运算

小数和分数的运算

1.2：算术运算

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算术是对数量进行特定运算的过程。在本节中，我们将介绍算术运算的四种方法：加法、减法、乘法和除法，以及这些运算之间的关系。

数字组

为了理解涉及数字的运算，我们将首先讨论“运算”的含义以及它们在其中的数字组。

在一个运算中，我们取一个或多个感兴趣的数字，并对它们执行一个过程以得到一个新数字，即该运算的结果。一个包含两个数字的组可以通过给定的运算组合在一起以产生第三个数字。

四则运算

数学中的四则运算需要两个不同的值，并将它们转换为一个新值。这些包括

加法：+

值的组合。

减法：-

从另一个值中减去一个值。

乘法：×

重复加法。

除法：÷

重复减法。

这四种运算通常被称为算术运算。它们被认为是所有数学的基础。

加法

定义加法

$\ 1+1=2$

定义数字一是一项相当困难的任务，但我们都对“一”有一个很好的直觉。一是指具有或想到一个单一数量的性质。例如，想想你有一美元、一蒲式耳土豆或一光年。从这里，我们可以递归地（即，与最后一个相关）定义自然数，方法是为我们拥有的每个新的数字一分配一个新名称。

1	1	一
2	1 + 1	二
3	1 + 1 + 1	三
⋮	⋮	⋮
n	1 + 1 + … + 1	n 个一

示例 1.1：现在，我们已经使用数字一命名了数字，我们可以将加法定义为计算我们有多少个一的的过程。 例如， $\ 5+3=(1+1+1+1+1)+(1+1+1)=8$

在上面，请注意，我们将数字 5 和 3 表示为括号中 1 的重复加法，然后我们将它们加在一起。因此，加法运算意味着我们将这些数字加在一起以获得最终结果。

3 + 2 = 5，用苹果来表示，这是教科书中常用的例子。

执行加法

加法是数学运算，它解释了我们在集合中加在一起的物体的总数量。在加法中，被加在一起的数字称为加数或项，最终结果称为和。

示例 1.2：托尼和亚伦的阿姨来探望他们。她给了每个男孩 25 个弹珠。托尼在探望期间从亚伦那里赢得了 12 个弹珠。他们玩完后，托尼有多少个弹珠？ $\ 25+12=37$

加法有几个重要的性质。其中一个性质是，你加数字的顺序不会影响最终结果。请参考上面苹果的图。就像我们将 3 个苹果添加到 2 个苹果组中会导致总共 5 个苹果一样，我们将 2 个苹果添加到 3 个苹果组中也会导致总共 5 个苹果。

加法问题

减法

定义减法

减法是我们用来描述如何从另一个数字中“减去”一个或多个数字的术语。这个术语用于两种情况。第一种是回答“少多少”的问题，第二种是回答“还需要多少”的问题。

它也可以定义为计算最初的数量一并从中删除一些数量。

示例 1.3：我们可以将减法定义为计算我们删除了多少个一的的过程。 $\ 5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=2$ 表示从 5 个一中删除 3 个一，留下 2 个一。

我们从中减去的数字称为被减数。被减去的数字称为减数。结果数字称为差。

执行减法

减法问题

乘法

乘法是重复加法的简写（即更快地写出某些东西的方法）。例如

示例 1.4：我们可以将乘法定义为重复加法的过程。 $\ 5\cdot 3=15$ 这意味着将 '3' 加 5 次；或将 '5' 加 3 次。 $\ 5\cdot 3=3+3+3+3+3=15$

乘法问题

请注意，在某些地区和情况下，最好使用十字符号（$\times$）或字母“x”而不是点。大多数地区使用点而不是十字符号，因为十字符号看起来像字母“x”。

乘法表

乘法表显示了一组两个数字的乘积。以下是涉及 1 到 12 的数字的乘积。

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

除法

除法是乘法的逆运算。

示例 1.5：我们可以将除法定义为找到相等组数的过程。 $\ {\frac {6}{3}}=2$ 此示例询问如果 6 是 1+1+1+1+1+1，而 3 是 1+1+1，那么我们可以将 6 分成多少组 3？答案当然是 2，因为 $\ 6=1+1+1+1+1+1=(1+1+1)+(1+1+1)=3+3$；两组三。

除法问题

逆运算

逆运算撤消了先前运算所做的操作，它们是彼此的完全相反。

涉及零的运算

1. 1 + 0 = 1
2. 1 * 0 = 0
3. 0 / 1 = 0
4. 1 / 0 = 未定义

除法是第一个出现问题的运算。在所有先前定义的运算（加法、减法和乘法）中，我们可以对我们选择的任何一对数字执行运算。但是，在除法中，我们不能除以零。在本教材的整个过程中，甚至在你对所有数学的学习过程中，都会谈到这个事实。