代数/理论

自然数

为了避免混淆或荒谬，数学需要对词汇进行明确的定义。虽然这适用于任何科学，但在数学中，这是通过概念的抽象来绝对实现的。

然而，上面对数学的完整描述需要时间，而且并不基础。此外，为了获得真正的公理化，即从根源构建起来的数学，我们将不得不使用逻辑意义上最强的陈述。这使它们在证明中非常有效，但往往牺牲直观性。因此，我们将集中精力在后者上，只有在必要时才使用严谨性。

为了进行数学运算，我们必须首先找到一种思考数字的方法，这种方法符合上述标准，即明确无误，同时又是显而易见和自然的。因此，我们提出了自然数。

直观地，我们将它们定义为集合 N = { 1, 2, 3, ... }。如果一个数字属于这个集合，我们就说它是一个自然数。很快我们会发现，即使对于基本的处理，也需要扩展这个集合，但这个集合本身就已经有一些有趣的性质了。

如果存在一个集合 A，使得如果我们选择一个任意数字，称之为 x，并且 x ∈ N，我们就说 A ⊆ N。换句话说，A 是 N 的子集。

x ∈ A 的意思是 x "在" A 中，或者说 x 是 A 的一个元素。

虽然我们还没有适当地定义集合、成员资格或包含关系，但我们已经对 N 应该是什么样子有了一个感觉。

数学归纳法

数学归纳法的原理

设 A ⊆ N 具有以下性质

(i) $1\in A$

(ii) $n\in A$ 意味着 $n+1\in A$

那么 A = N

备注

数学归纳法的原理是由“最小元素原理”（2.1）推导出来的。因为，假设 1.1 成立，并设 B 为 N 中所有不在 A 中的元素的集合。如果 B 有任何元素（即不是空的），那么它一定有最小的一个。将这个最小元素称为 n。那么，根据 (i)， $n\neq 1$ 。因此 n - 1 是一个自然数，并且不在 B 中，因此在 A 中。根据 (ii)， $n=(n-1)+1$ 是一个自然数，并且在 A 中。但现在 n 同时在 A 和 B 中，这是不可能的。因此，B 必须是空的。也就是说，A = N。

这体现了自然数的基本性质，我们进一步定义顺序，并将这些数字称为良序的，主要是因为这个原理。在更严谨的术语中，我们将不得不确定一个单独的公理，称为归纳公理，它包含了这个性质。然而，就我们目前的目的而言，这已经足够了。

数学归纳法的原理（修改）

设 A 为一个具有以下性质的自然数集合

(i) 自然数 $n_{0}$ 在 A 中

(ii) 如果 $n\geq n_{0}$ 并且 $n\in A$ ，那么 $n+1\in A$

那么 A 包含所有自然数 $n\geq n_{0}$

数字

在本节中，我们将描述一些最常见的数字类型及其一些性质。

数字类型

自然数，N

如前所述，这些只是普通的计数数字 1,2,3,4,...,29...。请注意，该集合中没有包含零。这在不同的书籍或数学家之间有所不同，可能将零包含为自然数。

自然数的一个重要性质是排序。请注意，自然数带有一个大小的概念，因此我们可以谈论更大或更小的自然数。

整数，Z

整数是指自然数及其负数和零。虽然我们都可能对如何使用整数有一个相当清晰的实际概念，但关于它们究竟是什么，存在着确切的问题。提到诸如“数轴”之类的东西并不能解决这些问题，因为它严重依赖于我们的直觉。

数学家解决这个问题的一种方法是进行人工构建，从而产生具有我们对整数预期特性的一个人工对象。虽然我们在日常数学中不使用这种方法，但它给出了一个精确的定义，我们可以用它来证明我们使用负数的合理性，并且还提供了一个模型，我们可以用它来开发一些新的结构，这些结构在直觉上并不那么合理。我们不会对整数进行描述，但接下来将简要描述一个类似的过程，该过程从整数开始，产生有理数。

有理数，Q

有了整数，我们就有一个对加法、乘法和减法封闭的数字系统。下一步是产生一个对除法（除以零除外）也封闭的数字集合。这就是有理数。同样，我们都应该能够操作有理数，但它们究竟意味着什么，存在一些问题。例如，说 ${\frac {2}{3}}={\frac {4}{6}}={\frac {6}{9}}$ 意味着什么？我们通常希望等号表示两个事物是相同的，而符号 ${\frac {2}{3}}$ 和 ${\frac {4}{6}}$ 当然并不相同。

因此，我们重新定义了对分数相等的理解。让我们考虑第二位整数非零的整数有序对集合；即

$\mathbb {Q} '=\{(x,y):a,b\in \mathbb {Z}$ 并且 $b\neq 0\}$

（有序对只是一个对，其中指定了哪个先来，哪个后。）我们希望这些有序对代表有理数，但以多对一的方式。因此，我们通过以下方式重新定义这些有序对的相等性：

$(a,b)\equiv (c,d)$ 当且仅当 ad = bc

（将此读作 (a,b)等价于 (c,d)。）这对应于分数相等的通常定义。然后，我们可以认为一个有理数由一个整数有序对集合表示，这些集合彼此等价。当两个有序对等价时，它们恰好代表同一个有理数。然后，我们可以继续根据有序对定义加法、减法、乘法和除法的通常运算。例如：

(a,b) + (c,d) = (ad+bc,bd)

我们将通过对每个数字取一个有序对，然后将这些有序对相加来定义有理数的加法。然而，仍然存在一个问题。我们需要确保（无需检查每种情况），例如，因为 $(2,3)\equiv (4,6)\equiv (6,9)$ ，那么也有

$(2,3)+(5,6)\equiv (4,6)+(5,6)\equiv (6,9)+(5,6)$

什么是顺序？

同样，当我们试图找到一种方法，基于已经建立的加法概念和对顺序的直观理解，来定义一个数字比另一个数字大的意义。我们该如何排列这些数字呢？

对于 **N**，这很简单。我们说，如果 a、b 是自然数，如果存在一个自然数 c 使得 a + c = b，则 a < b。根据归纳原理，我们可以按以下方式对 **N** 进行排序：1、2、3、…，就像我们之前根据直觉所做的那样。

对于 **Z**，我们遇到了一个问题，从哪里开始呢？由于归纳原理不适用于整个 **Z**，我们必须把它写成 …、-1、0、1、…，在两边都留下“…”。但是，之前的定义依然适用。

对于 **Q**，很明显 ${\frac {1}{2}}$ > ${\frac {1}{3}}$ ，但 ${\frac {1}{6}}$ 不在 **N** 中，因此我们的定义失败。新的定义将是

定义：(Q 上的顺序) 设 a、b 是有理数，则如果存在一个正有理数 c 使得 a + c = b，则 a < b。

如果一个有理数 c 等价于一个有理数 ${\frac {n}{m}}$ ，其中 n 和 m 都是自然数，则我们称有理数 c 为正数。换句话说，如果 c = ${\frac {p}{q}}$ ，则当 pq 是一个自然数时，c 为正数。一个简单的练习是证明这些是等价的。（注意：如果每个语句都蕴涵另一个语句，则这些语句是等价的。）

任何一个集合，对于其中的任意两个元素，我们都能明确地说 a < b、a > b 或 a = b，这样的集合被称为全序集。

最小元性质

自然数的任何非空子集都有一个最小元。“任何非空子集”意味着我们所取的子集至少应该包含一个元素。

任何具有最小元性质的集合被称为良序集。因此 **N** 是良序的，如上所述，而 **Z** 和 **Q** 则不是。

自然数的顺序性质

(i) 不存在最大的自然数。

(ii) 存在一些自然数是最近邻的，也就是说它们之间不存在任何严格介于它们之间的自然数。

尚未完成…

证明

定义

证明只不过是一种数学论证，旨在说服读者相信某个事实。然而，直观证明不同于归纳证明。前者指的是一个可以被认为是日常经验中可观察到的常数的事实（例如，当将两支试管的牛奶倒入一个烧杯时，如果我们再将最终的体积分成两支试管，我们应该再次得到满的试管（几乎）。这解释了为什么 ½+½ 仍然是 1。由于这只是从直觉/观察/经验中推断出来的，因此可以被认为是直观证明）。后者，归纳证明，是一种将许多直观证明组合起来以获得所需结果的证明类型。例如，我们知道倒入两支试管的牛奶在烧杯中得到了两个单位，所以如果试管的体积可以被视为一个单位体积，那么 n 支这样的试管将在烧杯中得到总共 n 个单位的牛奶。数学证明本身基于自然逻辑和哲学。现代数学通常假设大多数证明是绝对的，虽然并非没有道理。这使得他们能够使用纯粹的归纳推理来解决复杂的问题。然而，这一切的基础仍然是自然哲学和逻辑。这反映在牛顿对他作品相对抽象的数学处理的标题中，被命名为“自然哲学原理”。