代数/方程理论

方程理论

数学中的一个基本学科，它处理求解给定数学表达式根的方法。假设 f(x) 是 x 的函数，m 是函数范围内的常数。现在如果 :-

         f(x)=m 

，则只有有限个 x 值可以满足给定表达式。当然，对于三角方程来说，这并不成立，三角方程会产生无限多个根，但通常只取角度的主值。

二次方程的解

理论上，n 次多项式方程可以分解成 n 个因式。让我们考虑多项式方程:-

$F(x)=x^{n}+ax^{n-1}+bx^{n-2}.................$  where a,b are constants..Let F(x)=0 for some value of x.

让我们假设 F(x)=(x-m)(x-n)(x-o)(x-p).................. 其中 m,n 被称为方程 F(x) 的根。现在如果我们乘以这些因子，我们得到：- $F(x)=x^{n}-(m+n+o......)x^{n-1}+(mn+no+.........)x^{n-2}................+mnop......$ 与多项式比较，

 Sum of roots=-a
 Sum of roots taken two at a time=b
 ..............................
 ..............................
 Sum of roots taken k at a time=$(-1)^{k}$(co-efficient of the (k+1)st term)

这个恒等式是由韦达发现的，并以他的名字命名。因此，我们有 n 个方程来求解 n 个根。现在考虑一个 2 次方程，称为二次方程。设 m,n 是方程的根。设方程为：-

    $ax^{2}+bx+c=0$  where a,b,c are constants

这也可以写成：- $x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}=0$ 除以 a

从上面的论述我们知道：-

$m+n={\frac {-b}{a}}$
$mn={\frac {c}{a}}$
also 
$(m-n)^{2}=(m+n)^{2}-4mn$
Hence:-
$m-n=((m+n)^{2}-4mn)^{1/2}$
$m-n=({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4c}{a}})^{1/2}={\frac {(b^{2}-4ac)^{1/2}}{a}}$
Solving the above simultaneous equations,we get
$m={\frac {-b+(b^{2}-4ac)^{1/2}}{2a}}$ and $n={\frac {-b-(b^{2}-4ac)^{1/2}}{2a}}$