解析组合/柯西-阿达马定理和柯西不等式

简介

估计生成函数系数最基本的方法之一是柯西-阿达马定理和柯西不等式。

我们还将介绍一些背景知识，这将对以后的章节有用。

柯西-阿达马定理

上极限

分析中的一个关键概念是数字序列。在我们的例子中，数字序列可以是我们感兴趣的生成函数的系数，写成 $\{a_{n}\}$.

序列的聚点是数字 $t$，使得对于给定的 $\epsilon >0$，存在无限多个 $n$ 使得

$|a_{n}-t|<\epsilon$.

例如，${\frac {1}{1-z}}$ ($\{1,1,1,\cdots \}$) 的系数序列的聚点为 $1$。 $e^{z}$ ($\{1,{\frac {1}{2!}},{\frac {1}{3!}},\cdots \}$) 的聚点为 $0$。 ${\frac {1}{1-z^{2}}}$ ($\{1,0,1,0,\cdots \}$) 有两个聚点，$0$ 和 $1$。

一个数列的一个有用性质是它的 **上极限**，记作 $\limsup a_{n}$。这是数列 $\{a_{n}\}$ 的聚点集的最小上界。

在我们上面的例子中，这些将分别为 $1$，$0$ 和 $1$。

收敛

$f(z)$ 被称为收敛，如果它的级数展开 $\sum a_{n}z^{n}$ 等于一个有限值。

它可能只对 $z$ 的特定值这样做。有各种方法来测试一个级数是否收敛以及对哪些 $z$ 收敛。

例如，${\frac {1}{1-z}}$ 的级数展开为 $\sum z^{n}$。我们可以使用 D'Alembert 比例检验 来测试该级数的收敛性，该检验指出，如果以下条件成立，则级数收敛：

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<1$

在我们的例子中，比率为 ${\frac {z^{n+1}}{z^{n}}}$，它只有在 $|z|<1$ 时才小于 $1$。因此，该级数在小于 $1$ 的值上收敛。

$f(z)$ 的 **收敛半径** 是一个值 $z_{0}$，使得对于 $|z|<z_{0}$，级数展开收敛。

在我们的例子中，${\frac {1}{1-z}}$ 的收敛半径为 $1$。

需要注意的是，收敛半径等于函数的最小奇点。 我们将在后面了解奇点。

定理

如果 $f(z)=\sum a_{n}z^{n}$ 且 $R$ 是其收敛半径，则

${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}$

该定理的一个推论是

$\left({\frac {1}{R}}-\epsilon \right)^{n}\leq a_{n}\leq \left({\frac {1}{R}}+\epsilon \right)^{n}$ （对于所有 $\epsilon >0$ 以及足够大的 $n$）

证明

由 Wilf 和 Lang 证明。

函数 $f(z)$ 的收敛半径 $R$ 意味着如果 $|z|<R$，那么 $f(z)\neq \infty$。

取 $f(z)=\sum a_{n}z^{n}$，$R$ 是它的收敛半径，$t=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}$。根据 $\limsup$ 的定义，对于除有限个 $n$ 之外的所有情况

$|a_{n}|\leq (t+\epsilon )^{n}$.

$f(z)$ 当 $|z|\geq {\frac {1}{(t+\epsilon )}}$ 时不会收敛（因为否则 ${\frac {a_{n+1}z^{n+1}}{a_{n}z^{n}}}>1$ 对于所有 $n$ 成立，因此根据达朗贝尔比值判别法会发散），所以 $R\geq {\frac {1}{(t+\epsilon )}}$.

根据 $\limsup$ 的定义，存在无限多个 $n$

$|a_{n}|\geq (t-\epsilon )^{n}$.

$f(z)$ 当 $|z|={\frac {1}{(t-\epsilon )}}$ 时不会收敛，所以 $R\leq {\frac {1}{(t-\epsilon )}}$.

如果 $R\geq {\frac {1}{(t+\epsilon )}}$ 且 $R\leq {\frac {1}{(t-\epsilon )}}$，则 $R={\frac {1}{t}}$ 且 ${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}$.

现在，我们证明该定理的结果。

如果，${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}$，根据$\limsup$ 的定义，除了有限个$n$ 外，

$|a_{n}|\leq \left({\frac {1}{R}}+\epsilon \right)^{n}$

并且存在无穷多个$n$

$|a_{n}|\geq \left({\frac {1}{R}}-\epsilon \right)^{n}$.

柯西不等式

复数

复数是一个数$z=x+iy$，其中$x$ 和 $y$ 都是实数，$i$ 是虚数单位，其中$i^{2}=-1$。$x$ 被称为实部，$y$ 被称为虚部（即使$y$ 本身是一个实数）。

轮廓积分

由于复数有两个分量，实部和虚部，因此复积分涉及到在二维平面上绕曲线积分。这被称为轮廓积分。

我们将其表示为

$\int _{C}f(z)dz$

其中$C$ 表示轮廓。

要理解本书后面内容，不需要掌握如何计算轮廓积分。

解析函数

如果函数 $f(z)$ 在点 $z_{0}$ 处被定义、单值且具有导数，则该函数在点 $z_{0}$ 及其周围的每个点处都是解析的。 。

如果函数 $f(z)$ 在点集 $U$ 的每个点处都是解析的，则称该函数在点集 $U$ 上是解析的。 。

解析函数的一个性质是，当对闭合 轮廓 $C$ 进行轮廓积分时，我们可以将轮廓 $C$ 连续变形为另一个闭合 轮廓 $C^{'}$，而不改变积分的值（只要在变形轮廓时不穿过任何奇点）。 。

柯西积分公式

柯西积分公式指出：

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}f(z){\frac {dz}{z-z_{0}}}$

其中 $C$ 是一个轮廓，$z_{0}$ 是 $C$ 内部的点，而 $f(z)$ 在轮廓内及轮廓上都是解析 的。

证明：因为 $f(z)$ 是解析的，我们可以用中心为 $z_{0}$、半径为 $\rho$ 的轮廓 $\gamma$ 代替围绕 $C$ 的积分。

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}f(z){\frac {dz}{z-z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(z){\frac {dz}{z-z_{0}}}$

由于 $f(z)$ 是解析函数，它也是连续的。这意味着对于任何 $\epsilon >0$，都存在一个 $\delta >0$ 使得 $|z-z_{0}|<\delta \implies |f(z)-f(z_{0})|<\epsilon$。我们可以通过设置 $\rho \leq \delta$ 来实现这一点。

$\int _{\gamma }f(z){\frac {dz}{z-z_{0}}}=f(z_{0})\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}+\int _{\gamma }{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}dz$

$f(z_{0})\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi if(z_{0})$

$\int _{\gamma }{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}dz\leq {\frac {\epsilon }{\rho }}2\pi \rho =2\pi \epsilon$

最后，

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}f(z){\frac {dz}{z-z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(z){\frac {dz}{z-z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}(2\pi if(z_{0})+2\pi \epsilon )=f(z_{0})$，因为 $\epsilon \to 0$。

泰勒级数

如果 $f(z)$ 在轮廓 $C$ 的内部和上是解析的，则 $f(z)$ 在点 $z_{0}$ 处的泰勒级数展开（该点在 $C$ 的内部）。

$f(z)=f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+{\frac {f''(z_{0})(z-z_{0})^{2}}{2!}}+\cdots$

柯西系数公式

柯西系数公式指出：

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}f(z){\frac {dz}{z^{n+1}}}$

证明： 柯西积分公式指出

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}f(z){\frac {dz}{z-z_{0}}}$

如果你对两边关于 $z_{0}$ $n$ 次微分，你得到：

${\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}f(z){\frac {dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}$

关于 $0$ 的 $f(z)$ 的泰勒级数展开

$f(z)=f(0)+f'(0)z+{\frac {f''(0)z^{2}}{2!}}+\cdots$

因此

$a_{n}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}f(z){\frac {dz}{z^{n+1}}}$

定理

由于 Titchmarsh 的定理。

如果 $R$ 是 $f(z)$ 的收敛半径，对于所有 $n\geq 0$ 和 $0<r<R$

$|a_{n}|\leq {\frac {\max _{|z|=r}|f(z)|}{r^{n}}}$

证明

由 Titchmarsh 提供的证明。

根据柯西系数公式

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=r}f(z){\frac {dz}{z^{n+1}}}$

我们有

$|a_{n}|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=r}f(z){\frac {dz}{z^{n+1}}}\right|={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=r}|f(z)|{\frac {dz}{z^{n+1}}}$

和

$\int _{|z|=r}|f(z)|dz\leq \max _{|z|=r}|f(z)|2\pi r$

因此

$|a_{n}|={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=r}|f(z)|{\frac {dz}{z^{n+1}}}\leq {\frac {1}{2\pi }}\max _{|z|=r}|f(z)|{\frac {2\pi r}{r^{n+1}}}={\frac {\max _{|z|=r}|f(z)|}{r^{n}}}$

直观地，我们通过取 $|f(z)|$ 沿整个轮廓的最大值来估计轮廓积分，如下面的绿色环所示。

参考文献

• Lang, Serge (1999). Complex Analysis (第 4 版). Springer Science+Business Media, LLC.
• Stroud, K. A. (2003). Advanced Engineering Mathematics (第 4 版). Palgrave Macmillan.
• Stroud, K. A. (2001). Engineering Mathematics (第 5 版). Palgrave Macmillan.
• Titchmarsh, E. C. (1939). The Theory of Functions (第 2 版). Oxford University Press.
• Wilf, Herbert S. (2006). Generatingfunctionology (PDF) (第 3 版). A K Peters, Ltd.