解析数论/算术函数

在本章中，我们将建立算术函数的基本理论。该理论将在后面的章节中得到应用，特别是在第 9 章中。

定义

定义 2.1:

一个算术函数是一个函数 $f:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$.

定义 2.2（重要的算术函数）:

1. 克罗内克函数：$\delta (n):={\begin{cases}1&n=1\\0&n\neq 1\end{cases}}$
2. 欧拉的totient函数：$\varphi (n):=\left|\{1\leq k\leq n|\gcd(k,n)=1\}\right|$
3. 莫比乌斯 $\mu$-函数：$\mu (n):={\begin{cases}0&{\text{ there exists }}m\in \mathbb {N} {\text{ such that }}m^{2}|n\\(-1)^{r}&n{\text{ is product of }}r{\text{ pairwise different prime numbers}}\\1&n=1\end{cases}}$
4. 冯·曼戈尔特函数：$\Lambda (n):={\begin{cases}\log(p)&\exists p{\text{ prime}},k\in \mathbb {N} :n=p^{k}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
5. 单项式：$I_{k}(n):=n^{k}$
6. 不同素数因子的个数：$\omega (n):=r,n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$, $k_{1},\ldots ,k_{r}\in \mathbb {N}$
7. 带重数的素因子之和：$\Omega (n):=k_{1}+\cdots +k_{r},n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$，$k_{1},\ldots ,k_{r}\in \mathbb {N}$
8. 刘维尔函数：$\lambda (n):=(-1)^{\Omega (n)}$

练习

• 练习 2.1.1：计算 $\varphi (20)$，$\varphi (17)$ 和 $\varphi (22)$。
• 练习 2.1.2：计算 $\mu (4278)$。提示：$4278=2\cdot 3\cdot 23\cdot 31$。
• 练习 2.1.3：计算 $\Lambda (49)$，保留三位小数。提示：使用泰勒展开。
• 练习 2.1.4：证明对于每个 $n\in \mathbb {N}$ 和 $k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}\in \mathbb {N}$，$\mu (n+4k_{1})\mu (n+4k_{2}+1)\mu (n+4k_{3}+2)\mu (n+4k_{4}+3)=0$。

卷积和算术函数环

定义 2.3:

令 $f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ 为算术函数。则$f$ 和 $g$ 的卷积定义为函数

$f*g(n):=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)$.

在下述定理中，我们将证明算术函数构成一个阿贝尔 幺半群，其中幺半群运算由卷积给出。此外，由于两个算术函数的和也是一个算术函数，因此算术函数构成一个交换环。事实上，正如我们也将看到的那样，它们构成一个整环。

定理 2.4（算术函数的阿贝尔幺半群性质）:

1. 卷积是可交换的，即 $f*g=g*f$。
2. 卷积是结合的，即 $f*(g*h)=(f*g)*h$。
3. 函数 $\delta$ 来自定义 2.2 是卷积的单位元，即 $\delta *f=f$。

证明:

1.:

${\begin{aligned}f*g(n)&=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d|n}f(\psi (d))g\left(\psi \left({\frac {n}{d}}\right)\right)\\&=\sum _{d|n}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d)=g*f(n)\end{aligned}}$,

其中 $\psi (d):={\frac {n}{d}}$ 是从 $n$ 的因子集到自身的双射。

2.:

${\begin{aligned}f*(g*h)=f*(h*g)&=\sum _{d_{1}|n}f(d_{1})\left(\sum _{d_{2}|{\frac {n}{d_{1}}}}g\left({\frac {n}{d_{1}d_{2}}}\right)h(d_{2})\right)\\&=\sum _{d_{1}|n}\sum _{d_{2}|{\frac {n}{d_{1}}}}f(d_{1})g\left({\frac {n}{d_{1}d_{2}}}\right)h(d_{2})\\&=\sum _{d_{2}|n}\sum _{d_{1}|{\frac {n}{d_{2}}}}f(d_{1})g\left({\frac {n}{d_{1}d_{2}}}\right)h(d_{2})\end{aligned}}$,

其中最后一个等式来自于恒等函数

$Id:\left\{(d_{1},d_{2}):d_{2}|n,d_{1}{\big |}{\frac {n}{d_{2}}}\right\}\to \left\{(d_{1},d_{2}):d_{1}|n,d_{2}{\big |}{\frac {n}{d_{1}}}\right\}$

是双射。但是

$\sum _{d_{2}|n}\sum _{d_{1}|{\frac {n}{d_{2}}}}f(d_{1})g\left({\frac {n}{d_{1}d_{2}}}\right)h(d_{2})=(f*g)*h$

因此具有结合律。

3.:

$\delta *f(n)=\sum _{d|n}\delta (d)f\left({\frac {n}{d}}\right)=f(n)$$\Box$

定理 2.5:

算术函数环是一个整环。

证明：令 $f,g\neq 0$ 为算术函数，并令 $n,k\in \mathbb {N}$ 是使 $f(n)\neq 0$，$g(k)\neq 0$ 成立的最小值。 那么

$f*g(nk)=\sum _{d|nk}f(d)g\left({\frac {nk}{d}}\right)=f(n)g(k)$.$\Box$

现在我们将确定算术函数环的单位。

定理 2.6:

令 $f$ 为算术函数。 则 $f$ 可逆（关于卷积）当且仅当 $f(1)\neq 0$.

证明:

首先假设 $f(1)=0$。 那么对于任何算术函数 $g$，$f*g(1)=0\neq 1=\delta (1)$.

现在假设 $f(1)\neq 0$。 那么 $g$ 由递归公式给出

$g(1)=f(1)^{-1}$,

$g(n)=-f(1)^{-1}\sum _{d|n \atop d<n}g(d)f\left({\frac {n}{d}}\right)=g(n)-f(1)^{-1}g*f(n)$, $n>1$

是 $f$ 的逆（因此是 *唯一* 逆），因为 $f*g(1)=f(1)g(1)=1$，并且对于 $n>1$，通过归纳法有

${\begin{aligned}f*g(n)&=f*g(n)-f(1)^{-1}f*g*f(n)\\&=f*g(n)-f^{-1}\sum _{d|n \atop d<n}f*g(d)f\left({\frac {n}{d}}\right)=0\end{aligned}}$

$\Box$

练习

• 练习 2.2.1:
• 练习 2.2.2:

积性函数

定义 2.7:

一个算术函数 $f:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ 被称为 **积性函数** 如果它满足

1. $\forall n,k\in \mathbb {N} :\gcd(n,k)=1\Rightarrow f(nk)=f(n)f(k)$，并且
2. $f(1)=1$.

定理 2.8:

设 $f,g$ 是积性算术函数。那么 $f*g$ 是积性函数。

证明:

设 $\gcd(k,n)=1$。那么

$f*g(kn)=\sum _{d|(kn)}f(d)g\left({\frac {kn}{d}}\right)=\sum _{d_{1}|k \atop d_{2}|n}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {kn}{d_{1}d_{2}}}\right)$,

由于函数 $\theta (d):=(\gcd(d,n),\gcd(d,k))$ 是从 $nk$ 的因数到 $n$ 的因数和 $k$ 的因数的笛卡尔积的双射；这是因为乘法是其逆运算。

$\gcd(d,n)\gcd(d,k)=d$，$(\gcd(d_{1}d_{2},n),\gcd(d_{1}d_{2},k))=(d_{1},d_{2})$.

严格地证明这一点本身就是一个练习。但由于 $f$ 和 $g$ 的乘法性，

$\sum _{d_{1}|k \atop d_{2}|n}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {kn}{d_{1}d_{2}}}\right)=\sum _{d_{1}|k \atop d_{2}|n}f(d_{1})g\left({\frac {k}{d_{1}}}\right)f(d_{2})g\left({\frac {n}{d_{2}}}\right)=f*g(k)\cdot f*g(n)$.

此外，$f*g(1)=f(1)g(1)=1$.$\Box$

由于$\delta$是可乘的，我们得出结论，可乘函数在具有卷积的算术函数中形成一个阿贝尔子幺半群。不幸的是，我们没有子环，因为两个可乘函数的总和 *从不* 是可乘的（看看$n=1$）。

定理 2.9:

令$f$为一个可乘函数，使得$\sum _{j=1}^{\infty }f(j)$绝对收敛。那么

$\sum _{j=1}^{\infty }f(j)=\prod _{p{\text{ prime}}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }f(p^{k})\right)$.

证明：令$p_{1},p_{2},p_{3},\ldots =2,3,5,\ldots$为所有素数的有序序列。对于所有$m_{1},\ldots ,m_{r},r\in \mathbb {N}$，我们有

$S_{f,r,m_{1},\ldots ,m_{r}}:=\sum _{d|\left(p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{r}^{m_{r}}\right)}f(d)=\sum _{0\leq k_{1}\leq m_{1}}\cdots \sum _{0\leq k_{r}\leq m_{r}}f\left(p_{1}^{k_{1}}\right)\cdots f\left(p_{r}^{k_{r}}\right)=\prod _{l=1}^{r}\left(\sum _{k=0}^{m_{l}}f(p_{l}^{k})\right)$

由于 $f$ 的乘法性，对于每个 $r$，我们依次令 $m_{1}\to \infty$，...，$m_{r}\to \infty$，然后 $r\to \infty$。根据定义和规则 $x_{n}\to x\Rightarrow yx_{n}\to yx$，可知等式右边收敛于

$\prod _{l=1}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }f(p_{l}^{k})\right)$.

我们断言

$\lim _{r\to \infty }\lim _{m_{1}\to \infty }\cdots \lim _{m_{r}\to \infty }S_{f,r,m_{1},\ldots ,m_{r}}=\sum _{j=1}^{\infty }f(j)$.

事实上，选择 $N\in \mathbb {N}$ 使得

$\sum _{j=N+1}^{\infty }|f(j)|<\epsilon$.

那么根据算术基本定理，存在 $R\in \mathbb {N}$ 和 $M_{1},\ldots ,M_{R}\in \mathbb {N}$，使得

$\forall j\in \{1,\ldots ,N\}:j|p_{1}^{M_{1}}\cdots p_{R}^{M_{R}}$.

根据三角不等式，对于 $T>R$，$L_{1}>M_{1},\ldots ,L_{R}>M_{R}$ 和 $L_{R+1},\ldots ,L_{T}$ 是任意数，则

${\begin{aligned}\left|S_{f,T,L_{1},\ldots ,L_{T}}-\sum _{j=1}^{\infty }f(j)\right|&\leq \left|\sum _{d|\left(p_{1}^{L_{1}}\cdots p_{T}^{L_{T}}\right) \atop d\leq N}f(d)-\sum _{j=1}^{N}f(j)\right|+\left|\sum _{d|\left(p_{1}^{L_{1}}\cdots p_{T}^{L_{T}}\right) \atop d>N}f(d)-\sum _{j=N+1}^{\infty }f(j)\right|\\&<0+\epsilon .\end{aligned}}$

由此很容易得出结论。

剩下要证明的是左侧的乘积与乘法顺序无关。但这很明显，因为如果序列 $(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 的排列方式不同，证明过程完全相同，左侧仍然保持不变。 $\Box$

定义 2.10:

如果算术函数 $f:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ 满足以下条件，则称其为 **完全积性函数**

1. $\forall n,k\in \mathbb {N} :f(nk)=f(n)f(k)$，以及
2. $f(1)=1$.

等效地，完全积性函数是一个从 $\mathbb {N}$ 到 $\mathbb {C} ^{\times }$ 的幺半群同态。

定理 2.11:

令 $f$ 为一个强积性函数，使得 $\sum _{j=1}^{\infty }f(j)$ 绝对收敛。那么

$\sum _{j=1}^{\infty }f(j)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-f(p)}}$.

证明:

根据定理 2.9，我们有

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)=\prod _{p{\text{ prime}}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }f(p^{k})\right)$.

由于强积性和等比数列，后面的表达式等于

$\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-f(p)}}$.$\Box$

练习

• 练习 2.3.1：令 $h$ 为一个算术函数，使得对于所有 $m,n\in \mathbb {N}$ $h(nm)=h(n)+h(m)$，令 $s\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$。证明函数 $f(n):=\exp(\log(s)h(n))$ 是积性的。

贝尔级数

定义 2.12:

令 $f$ 为一个算术函数。那么对于一个素数 $p$，模 $p$ 的贝尔级数 是形式幂级数

$f_{p}(x):=\sum _{j=0}^{\infty }f(p^{j})x^{j}$.

示例 2.13:

我们将在此计算一些重要算术函数的贝尔级数。

我们注意到，一般来说，对于一个完全积性函数 $f$，我们有

$f_{p}(x)=\sum _{j=0}^{\infty }f(p)^{j}x^{j}={\frac {1}{1-f(p)x}}$.

特别地，在这种情况下，贝尔级数定义了一个函数。

1. 克罗内克德尔塔函数

$\delta _{p}(x)=\sum _{j=0}^{\infty }\delta (p^{j})x^{j}=1$

2. 欧拉 φ 函数（我们使用引理 9.？）

${\begin{aligned}\varphi _{p}(x)&=\sum _{j=0}^{\infty }\varphi (p^{j})x^{j}\\&=\sum _{j=0}^{\infty }\varphi (p^{j})x^{j}\\&=1+\sum _{j=1}^{\infty }(p^{j}-p^{j-1})x^{j}\\&={\frac {1+x}{1-px}}\end{aligned}}$

3. 莫比乌斯 $mu$ 函数

$\mu _{p}(x)=\sum _{j=0}^{\infty }\mu (p^{j})x^{j}=1-x$

4. 冯·曼戈尔特函数

$\Lambda _{p}(x)=\sum _{j=0}^{\infty }\Lambda (p^{j})x^{j}=\sum _{j=0}^{\infty }\log(p)x^{j}$

5. 单项式

$(I_{k})_{p}=\sum _{j=0}^{\infty }p^{kj}xj={\frac {1}{1-p^{k}x}}$

6. 不同的素数因子的个数

$\omega _{p}(x)=\sum _{j=1}^{\infty }x^{j}={\frac {1}{1-x}}-1$

7. 包含重数的素数因子数量

${\begin{aligned}\Omega _{p}(x)&=\sum _{j=1}^{\infty }jx^{j}\\&={\frac {1}{x}}\sum _{j=0}^{\infty }(x^{j})'\\&={\frac {1}{x}}\left(\sum _{j=0}^{\infty }x^{j}\right)'\\&={\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1-x}}\right)'\\&=-{\frac {1}{x}}{\frac {1}{(1-x)^{2}}}\end{aligned}}$

8. 黎曼函数

$\lambda _{p}(x)=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}x^{j}={\frac {1}{1+x}}$

定理 2.14 (贝尔级数和卷积的兼容性):

令 $f,g$ 为算术函数，$p$ 为素数。那么

$f_{p}\cdot g_{p}=(f*g)_{p}$.

证明:

${\begin{aligned}f_{p}(x)g_{p}(x)&=\left(\sum _{j=0}^{\infty }f(p^{j})x^{j}\right)\left(\sum _{j=0}^{\infty }g(p^{j})x^{j}\right)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}\left(\sum _{j=0}^{k}f(p^{j})g(p^{k-j})\right)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}(f*g)(p^{k})\end{aligned}}$$\Box$

在乘法情况下，我们有以下定理

定理 2.15 (唯一性定理):

令 $f,g$ 为乘法函数。那么

$f=g\Leftrightarrow f_{p}=g_{p}$.

证明: $\Rightarrow$ 非常明显; $\Leftarrow$: $f_{p}(x)=g_{p}(x)$ 作为形式幂级数等同于说 $\forall k\in \mathbb {N} :f(p^{k})=g(p^{k})$。如果现在 $n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$，那么

$f(n)=f(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}})=f(p_{1}^{k_{1}})\cdots f(p_{r}^{k_{r}})=g(p_{1}^{k_{1}})\cdots g(p_{r}^{k_{r}})=g(n)$

由于 $f$ 和 $g$ 的乘法性。 $\Box$

在第 9 章中，我们将使用 Bell 级数来获得数论函数的方程。

导数

定义 2.16:

设 $f$ 是一个算术函数。那么 $f$ 的导数定义为函数

$f'(n):=f(n)\log(n)$.

定理 2.17（导数规则）:

设 $f,g$ 是算术函数。我们有以下规则

1. $(f+g)'=f'+g'$
2. $(f*g)'=f'*g+f*g'$
3. $(f^{-1})'=-f'\cdot (f*f)^{-1}$ 如果 $f$ 可逆，即 $f(1)\neq 0$

注意， $f^{-1}$ 不是 $f$ 的逆函数（这本身也没什么意义，因为 $f$ 运算不能是满射的，因为 $\mathbb {C}$ 是不可数的），而是卷积逆。

证明:

1. 容易验证。

2.:

${\begin{aligned}(f*g)'(n)&=(f*g)(n)\log(n)\\&=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)(\log(d)+\log(n/d))\\&=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)\log(d)+\sum _{d|n}f(d)g(n/d)\log(n/d)\end{aligned}}$

3.

我们有 $\delta '=0$ 和 $(f*f^{-1})=\delta$。因此，由 2.

$0=(f*f^{-1})'=f'*f^{-1}+f*(f^{-1})'$.

与 $f^{-1}$ 卷积，并使用 $f^{-1}*f^{-1}=(f*f)^{-1}$ 得到所需的公式。 $\Box$

需要注意的是，链式法则在这里意义不大，因为 $f$ 运算可能会映射到任何地方，而不是 $\mathbb {N}$，因此 $g\circ f$ 通常来说没什么意义。

进一步阅读

• terrytao.wordpress.com: Derived multiplicative functions