解析数论/字符和狄利克雷字符

定义，基本性质

定义 4.1

设 $G$ 为有限群。G 的字符是指函数 $f:G\to \mathbb {C}$，满足

1. $\forall \sigma ,\tau \in G:f(\sigma \tau )=f(\sigma )f(\tau )$ 且
2. $\exists \rho \in G:f(\rho )\neq 0$.

引理 4.2:

设 $G$ 为有限群，设 $f:G\to \mathbb {C}$ 为字符。则

$\forall \sigma \in G:|f(\sigma )|=1$.

特别地，$\forall \sigma \in G:f(\sigma )\neq 0$.

证明:

由于 $G$ 是有限的，每个 $\sigma \in G$ 都有有限阶 $n:=\mathrm {ord} (\sigma )$。此外，设 $\rho \in G$ 使得 $f(\rho )\neq 0$；则 $f(\rho )=f(\sigma )f(\sigma ^{-1}\rho )$，因此 $f(\sigma )\neq 0$。因此，我们可以进行约分，得到

$|f(\sigma )|=|f(\sigma ^{n+1})|=|f(\sigma )|^{n+1}\Rightarrow |f(\sigma )|=1$.$\Box$

引理 4.3:

令 $G$ 为有限群，令 $f,g:G\to \mathbb {C}$ 为特征。则函数 $h:G\to \mathbb {C} ,h(\tau ):=f(\tau )\cdot g(\tau )$ 也是一个特征。

证明:

由于 $\mathbb {C}$ 是一个域，因此没有零因子，所以有 $h(\sigma \tau )=f(\sigma \tau )g(\sigma \tau )=f(\sigma )g(\sigma )f(\tau )g(\tau )=h(\sigma )h(\tau )\neq 0$,

$\Box$

引理 4.4:

令 $G$ 为有限群，令 $f:G\to \mathbb {C}$ 为一个特征。则函数 $g:G\to \mathbb {C} ,g(\tau ):={\frac {1}{f(\tau )}}$ 也是一个特征。

证明: 这是显然的，因为根据之前的引理，我们有 $\forall \tau \in G:f(\tau )\neq 0$。$\Box$

之前的三个引理（或者只是第一个引理，加上一些来自初等群论的引理）证明了以下定义的合理性。

定义 4.5

令 $G$ 为有限群。则群

$\{f:G\to \mathbb {C} |f{\text{ is a character }}\}=\mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })$

称为 $G$ 的特征群。

所需的代数

我们需要群论中的以下结果

引理 4.6

令 $G$ 为一个有限阿贝尔群，令 $H\leq G$ 为其一个阶为 $n\in \mathbb {N}$ 的子群，再令 $\tau \in G\setminus H$ 使得 $k\in \mathbb {N}$ 是满足 $\tau ^{k}\in H$ 的最小正整数。则群

$N:=\{\tau ^{n}\sigma |\sigma \in H\}$

是 $G$ 的包含 $H$ 的子群，其阶为 $k\cdot n$.

证明:

由于 $G$ 是 $H$ 的陪集的不交并，$N$ 是不交并 $\bigcup _{j=0}^{n-1}\tau ^{j}H$，因为 $\rho H=H\Leftrightarrow \rho \in H$ 且 $\tau ^{l}H=\tau ^{m}H\Leftrightarrow \tau ^{l-m}\in H\Leftrightarrow k|(l-m)$。因此，$N$ 的基数等于 $k\cdot n$。

此外，如果 $\tau ^{l}\sigma ,\tau ^{m}\rho \in N$，那么 $\tau ^{l}\sigma (\tau ^{m}\rho )^{-1}=\tau ^{l-m}\sigma \rho ^{-1}\in N$，因此 $N$ 是一个子群。$\Box$