解析数论/狄利克雷级数

在本节中，我们使用黎曼的复数符号约定

$s=\sigma +it$

定义

定义 5.1:

设 $f$ 为一个算术函数。则与 $f$ 相关的狄利克雷级数是级数

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$,

其中 $s$ 在复数范围内变化。

收敛性考虑

定理 5.2 (绝对收敛横坐标):

设 $f$ 为一个算术函数，使得与 $f$ 相关的狄利克雷级数相关的绝对值级数

$\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|$

既不完全发散于任何 $s\in \mathbb {C}$，也不完全收敛于所有 $s\in \mathbb {C}$。则存在一个 $\sigma _{a}\in \mathbb {R}$，称为绝对收敛横坐标，使得与 $f$ 相关的狄利克雷级数对于所有 $\sigma +it$， $\sigma >\sigma _{a}$ 绝对收敛，而相关的绝对值级数对于所有 $\sigma +it$， $\sigma <\sigma _{a}$ 发散。

证明:

用 $S$ 表示所有满足以下条件的实数 $\sigma$ 的集合:

$\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|$

发散。由于假设，该集合既不为空也不等于 $\mathbb {C}$。此外，如果 $\sigma _{0}+it_{0}\notin S$，那么对于所有 $\sigma >\sigma _{0}$ 和所有 $t$ $\sigma +it\notin S$，因为

$\left|{\frac {f(n)}{n^{s_{0}}}}\right|={\frac {|f(n)|}{n^{\sigma _{0}}}}\geq {\frac {|f(n)|}{n^{\sigma }}}=\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|$

并根据比较检验。因此，$S$ 存在上确界。设 $\sigma _{a}$ 为该上确界。根据定义，对于 $\sigma >\sigma _{a}$，我们有收敛，而如果对于 $\sigma <\sigma _{a}$ 我们有收敛，则根据上述论证，我们会找到一个更低的上界，这与 $\sigma _{a}$ 的定义相矛盾。$\Box$

定理 5.3（条件收敛的横坐标）:

公式

定理 8.4（欧拉乘积）:

设 $f$ 为一个强可乘函数，设 $s\in \mathbb {C}$ 使得相应的狄利克雷级数绝对收敛。那么对于该级数，我们有公式

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-{\frac {f(p)}{p^{s}}}}}$.

证明:

这是直接从定理 2.11 和 $f$ 是强积性函数 $\Rightarrow$ ${\frac {f(n)}{n^{s}}}$ 也是强积性函数。 $\Box$