解析数论/部分分式分解

存在性定理

定理 2.1（部分分式分解的存在性定理）:

设 $f,g$ 是唯一分解域上的多项式，且设 $g=\prod _{j=1}^{n}p_{j}^{k_{j}}$，其中 $p_{j}$ 是不可约的。那么我们可以写成

${\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+\sum _{j=1}^{n}\sum _{l=1}^{k_{j}}{\frac {a_{l,j}(x)}{p_{j}(x)^{l}}}$,

其中 $a_{l,j}$ 是度数严格小于 $p_{j}$ 的多项式，而 $q$ 是一个多项式。右侧的项被称为 ${\frac {f}{g}}$ 的部分分式分解。

证明:

我们用归纳法对 $n$ 进行证明。对于 $n=1$，该命题为真，因为根据带余除法，我们可以写成

$f(x)=q_{1}(x)p_{1}(x)+r(x)$

其中 $\deg(r)<\deg(p_{1})$，得到

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {q_{1}(x)}{p_{1}(x)^{k_{1}-1}}}+{\frac {r(x)}{g(x)}}$,

我们已经将分母的次数降低了一次（后面的加数已经满足了要求的条件）。重复此过程，最终我们将得到分母为1，从而得到一个多项式。

现在假设对 $n\in \mathbb {N}$ 成立，并假设 $g=\prod _{j=1}^{n+1}p_{j}^{k_{j}}$。写成 $G=\prod _{j=1}^{n}p_{j}^{k_{j}}$ 和 $H=p_{n+1}^{k_{n+1}}$。由于不可约性，$\gcd(G,H)=1$。因此，我们找到多项式 $S,T$ 使得 $1=SG+TH$。然后

${\frac {f}{g}}={\frac {f(SG+TH)}{g}}={\frac {fSG}{g}}+{\frac {fTH}{g}}$.

根据归纳假设，最后一项的每个加数都可以写成所需的格式。$\Box$

技术

无论我们的多项式分数 ${\frac {f}{g}}$ 多么复杂，我们都可以使用简单的技巧在有限的时间内给出部分分式分解。这种方法，为了简单起见，与上面给出的构造性存在证明不同，步骤如下：

1. 将多项式 $g$ 分解成不可约因子。
2. 使用带余数的除法，将 $f$ 除以 $g$，简化为 $\deg(f)<\deg(g)$ 的情况（所得多项式 $q$ 被允许出现在定理 2.1 的公式中）。
3. 求解定理 2.1 中给出的方程，以求得 $a_{l,j}$ （这等同于求解一个线性方程组，即乘以 $g$，然后比较系数）。

定理 2.2:

上述算法总是终止，并给出 ${\frac {f}{g}}$ 的部分分式分解。

证明：根据定理 2.1，在步骤三中，我们确实获得了可以求解的线性方程组。因此可以得出结论：算法终止且结果正确。$\Box$