解析数论/常用求和公式

解析数论非常复杂，我们需要先掌握一些基本的求和公式，才能证明该理论中一些最基本的定理。

阿贝尔求和公式

定理 1.1 (阿贝尔求和公式，也称为阿贝尔恒等式):

设 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是一个数列，并设 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 是一个可微函数，使得 $f'$ 是黎曼可积的。如果我们定义

$A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}$,

那么我们有

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy$.

注意：我们需要黎曼可积性才能应用微积分基本定理。

证明 1:

我们通过对 $\lfloor x\rfloor$ 进行归纳证明。

1. $\lfloor x\rfloor =1$

首先，在这种情况下，我们有

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=a_{1}f(1)$.

然后，我们有

$A(x)f(x)=a_{1}f(x)=a_{1}f(1)-a_{1}(f(1)-f(x))=a_{1}f(1)+\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy$

由微积分基本定理可知。

2. 归纳步骤

定义 $N:=\lfloor x\rfloor$。我们有

${\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)&=\sum _{1\leq n\leq x-1}a_{n}f(n)+a_{N}f(N)\\&=A(x-1)f(x-1)-\int _{1}^{x-1}A(y)f'(y)dy+a_{N}f(N)\end{aligned}}$

根据归纳假设。此外，

${\begin{aligned}-\int _{1}^{x-1}A(y)f'(y)dy&=-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy+\int _{x-1}^{x}A(y)f'(y)dy\\&=-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy+\int _{x-1}^{N}A(y)f'(y)dy+\int _{N}^{x}A(y)f'(y)dy\\&=-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy+A(N-1)\int _{x-1}^{N}f'(y)dy+A(N)\int _{N}^{x}f'(y)dy\\&=-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy+A(N-1)(f(N)-f(x-1))+A(N)(f(x)-f(N))\end{aligned}}$.

将这些结果整合在一起，我们得到

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=A(x-1)f(x-1)-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy+A(N-1)(f(N)-f(x-1))+A(N)(f(x)-f(N))+a_{N}f(N)$

从而得到所需的公式。

我们在这里采用的证明方法是使用归纳法，然后尝试将归纳假设中的项表示为所需公式中的项。 $\Box$

证明2:

我们通过直接操作左侧的项来证明该定理。

定义 $k:=\lfloor x\rfloor$.

${\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)&=\sum _{1\leq n\leq x}(A(n)-A(n-1))f(n)\\&=\sum _{1\leq n\leq x}A(n)f(n)-\sum _{0\leq n\leq x-1}A(n)f(n+1)=\sum _{1\leq n\leq x}A(n)f(n)-\sum _{1\leq n\leq x-1}A(n)f(n+1)\\&=\sum _{1\leq n\leq x-1}A(n)(f(n)-f(n+1))+A(k)f(k)\\&=\sum _{1\leq n\leq x-1}A(n)\left(-\int _{n}^{n+1}f'(t)dt\right)+A(x)f(x)-\int _{k}^{x}A(t)f'(t)dt\end{aligned}}$$\Box$

证明 3:

我们使用黎曼-斯蒂尔杰斯积分来证明这个公式。实际上，通过分部积分，我们有

${\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=\int _{0}^{x}f(t)dA(t)&=A(x)f(x)-\int _{0}^{x}A(t)df(t)\\&=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(t)f'(t)dt\end{aligned}}$.$\Box$

推论 1.2:

$\sum _{y<n\leq x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-A(y)f(y)-\int _{y}^{x}A(t)f'(t)dt$.

证明 1:

我们从黎曼-斯蒂尔杰斯积分的分部积分推导出这个公式。

${\begin{aligned}\sum _{y<n\leq x}a_{n}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)dA(t)&=f(x)A(x)-f(y)A(y)-\int _{y}^{x}A(t)df(t)\\&=f(x)A(x)-f(y)A(y)-\int _{y}^{x}A(t)f'(t)dt\end{aligned}}$$\Box$

证明2:

我们直接操作左侧 (LHS)。

定义 $k:=\lfloor x\rfloor$ 以及 $m:=\lfloor y\rfloor$.

${\begin{aligned}\sum _{y<n\leq x}a_{n}f(n)&=\sum _{y<n\leq x}(A(n)-A(n-1))f(n)\\&=\sum _{y<n\leq x}A(n)f(n)-\sum _{y-1<n\leq x-1}A(n)f(n+1)\\&=\sum _{y<n\leq x-1}A(n)(f(n)-f(n+1))-A(m)f(m)+A(k)f(k)\\&=\sum _{y<n\leq x-1}A(n)-\left(\int _{n}^{n+1}f'(t)dt\right)-A(y)f(y)+A(x)f(x)-\int _{y}^{m}A(t)f'(t)dt-\int _{k}^{x}A(t)f'(t)dt\end{aligned}}$$\Box$

练习 1.1.1 和 1.1.5 中提供了另外两种证明。

我们注意到，对于定理 1.1，归纳法和直接操作是更快的证明方法，而推论 1.2 从定理 1.1 或黎曼-斯蒂尔杰斯积分中更容易证明。

练习

• 练习 1.1.1：从定理 1.1 证明推论 1.2。提示：$\sum _{y<n\leq x}a_{n}f(n)=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)-\sum _{1<n\leq y}a_{n}f(n)$.
• 习题 1.1.2: 计算 $\sum _{n=1}^{N}n^{3}$。提示：使用 $a_{n}=n$，$f(x)=x^{2}$，应用阿贝尔求和，将所得积分分成 $A(t)$ 为常数的片段。然后应用类似的过程。
• 习题 1.1.3: 证明极限 $\lim _{n\to \infty }\left(-\log(n)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)$ 存在。这个极限被称为欧拉-马歇罗尼常数。提示：使用 $a_{n}=1$ 和 $f(x)={\frac {1}{x}}$。
• 习题 1.1.4: 从推论 1.2 证明定理 1.1。
• 习题 1.1.5: 使用关于 $\lfloor x\rfloor$ 的归纳法证明推论 1.2。

欧拉求和公式

定义 1.3:

对于 $x\in \mathbb {R}$，我们定义

$\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor$.

定理 1.4 (欧拉求和公式):

令 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 为可微函数，使得 $f'$ 是黎曼可积的。那么

$\sum _{y<n\leq x}f(n)=\{x\}f(x)-\{y\}f(y)+\int _{y}^{x}f(t)dt+\int _{y}^{x}\{t\}f'(t)dt$.

证明:

我们从推论 1.2 证明定理，设置 $a_{n}=1$ 并使用分部积分（分部积分使用微积分基本定理证明）。

事实上，

${\begin{aligned}\sum _{y<n\leq x}f(n)&=\lfloor x\rfloor f(x)-\lfloor y\rfloor f(y)-\int _{y}^{x}\lfloor t\rfloor f'(t)dt\\&=\lfloor x\rfloor f(x)-\lfloor y\rfloor f(y)-\int _{y}^{x}tf'(t)dt+\int _{y}^{x}\{t\}f'(t)dt\\&=\{x\}f(x)-\{y\}f(y)+\int _{y}^{x}f(t)dt+\int _{y}^{x}\{t\}f'(t)dt\end{aligned}}$,

其中，最后一行我们对积分 $\int _{y}^{x}tf'(t)dt$ 使用了分部积分。$\Box$

推论 1.5:

练习

1. 证明推论 1.5。

欧拉-麦克劳林公式

定理 1.6（欧拉-麦克劳林公式）:

定义函数 $\rho (x):={\frac {1}{2}}-x$ 和 $\sigma (x):=\int _{0}^{x}\rho (y)dy$。则对于任何二阶连续可微函数 $f$，使得 $f''$ 是黎曼可积的，我们有

$\sum _{y<n\leq x}f(n)=\int _{x}^{y}f(t)dt+\rho (y)f(y)-\rho (x)f(x)+\sigma (x)f'(x)-\sigma (y)f'(y)+\int _{x}^{y}\sigma (t)f''(t)dt$.

证明 1:

我们通过直接计算来证明这个定理。

${\begin{aligned}\end{aligned}}$

证明2:

我们从欧拉求和公式出发来证明这个定理。