适用数学/计数技巧
阶乘，用n！表示，其中n是一个介于 1 到无穷大之间的数字，是从 1 开始到n 的连续自然数的乘积。数字 0 是一个例外。0！的值为 1。阶乘在许多方面都有应用，从它们在方程式中的使用到解决文字问题。它们最实用的应用是通过计算事件结果的数量。例如，它可以生成比赛可能的结果，以及赛跑者有多少种可能的第一、第二、第三名等等的组合。
n 阶乘
对于任何整数n，它的阶乘是小于或等于它的所有自然数的乘积。例如
7！ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
阶乘背后的代数公式如下
n！ = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 1
排列是指给定值的所有可能结果。例如，如果你有三种颜色（红色 [r]、绿色 [g] 和黄色 [y]），并被要求找到它们的可能排列，你会发现 6 种可能的排列：rgy、ryg、gyr、gry、yrg、ygr。
在排列中，组中对象的顺序很重要。使用上面的相同示例，我们有三种不同的颜色（红色 [r]、绿色 [g] 和黄色 [y]）。如果我们只给出红色 [r]，那么只有一种排列方式：红色。但是，当引入绿色 [g] 时，现在有两种排列这些颜色的方式：rg 或 gr。现在，当引入第三种颜色（黄色 [y]）时，现在有六种可能的结果，如上所述。这三种颜色的排列数量等于 3 x 2 x 1，等于 6。这也等于 3 的阶乘
3！ = 3 x 2 x 1 = 6
n 个项目的排列的一般公式是
n x (n - 1) x (n - 2) x (n - 3) x ... x 1
如上所述，这也称为n 阶乘，写成这样
n！
但是，如果你不想对整组物品进行排序怎么办？假设你需要从 8 个物品中选择 3 个物品的顺序。基本计数原理是实现这一点的一种方法。
第一件事：8 种可能性
第二件事：7 种可能性
第三件事：6 种可能性
此示例中的排列数量为336。换句话说，有 8 个物品，我们按顺序从中选择 3 个。336 来自 8 种可能性 x 7 种可能性 x 6 种可能性。
如上所述，阶乘也可以用来求排列。可以将排列的数量除以未使用的排列数量。使用上面的示例，有 8 个物品，其中 3 个排列无关紧要。对于大量的对象，使用此通用公式很有用
nPr = n！ / (n-r)！
用文字表示，这个代数公式如下：从n 个物品中取r 个物品的排列数量是 ___ 。
因此，在上面使用的示例中，从 8 个物品中取 3 个物品将得到
8P3 = 8！ / (8-3)！ = 8！ / 5！ = 336
1. 从 6 个人中，一所高中所有学生有多少种方法可以投票选出返校节国王和王后？
换句话说，这个问题要求我们从 6 个物品中选择和排列 2 个物品。因此，第一步是在我们的 nPr 公式中用 6 代替n，用 2 代替 r
6P2 = 6！ / (6-2)！ = 6！ / 4！ = (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (4 x 3 x 2 x 1) = 6 x 5 = 30
因此，有 30 种方法可以投票选出返校节国王和王后。
2. 你有 10 个相框要挂在你的卧室墙上；但是，你只有足够的空间挂 5 个相框。你有多少种方法可以在你的墙上挂任何 5 个相框？
10P5 = 10！ / (10-5)！ = 10！ / 5！ = (10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30,240
因此，你有 30,240 种方法可以选择要挂在墙上的照片。
如果你注意到，在上面的两个示例中，选择的事物数量等于除以两个阶乘后剩下的因子数量。例如，在示例 1 中，我们投票选出 2 个人，因此在除以阶乘后，剩下 2 个因子：6 x 5。
当对物品进行分组并且分组的顺序无关紧要时，这被称为组合。通常，当顺序无关紧要时，选择事物的方法较少。假设我们有 4 个不同的字母：A、B、C 和 D。有 24 种不同的方法可以按顺序排列这 4 个字母（排列）。但是，对于字母来说，它们都是相同的组合。
24 种排列：ABCD、ACDB、ADBC、ACBD、ADCB、ABDC、BACD、BADC、BDCA、BDAC、BCAD、BCDA、CDAB、CDBA、CBAD、CBDA、CABD、CADB、DABC、DACB、DBCA、DBAC、DCAB、DCBA
1 种组合：ABCD
之前用于排列的公式可以改变并用来求组合的数量
(排列所有物品的方法) / (排列未选择物品的方法) = 排列的数量
为了将此公式更改为求组合的数量，排列的数量将除以排列所选物品的方法的数量。这是因为在组合中，顺序无关紧要。
(排列所有物品的方法) / (排列所选物品的方法) x (排列未选择物品的方法) = 组合的数量
因此，求从n 个物品中取r 个物品的组合的代数公式是
nCr = n！ / r！ x (n - r)！
例如，从 8 个物品中取 4 个物品的组合数量是
8C4 = 8！ / 4!(8-4)！ = 70
那么，你如何知道是使用排列还是组合？你需要决定的第一件事是顺序是否重要。如果重要，那么需要排列来解决问题。但是，如果顺序无关紧要，那么组合是应该使用的方法。
1. 劳伦想为她的农场买 4 只小狗。宠物店有 12 只小狗可供选择。她有多少种方法可以从这 12 只小狗中选择 4 只？
第一步是决定是使用排列公式还是组合公式来解决问题。由于顺序无关紧要，因此应该使用组合方法。
组合方法如下
12C4 = 12！ / 4!(12-4)！ = 12！ / 4!(8!)
= (12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (4 x 3 x 2 x 1)(8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1)
= (12 x 11 x 10 x 9) / (4 x 3 x 2 x 1) = 495
因此，有 495 种不同的方法可以从 12 只小狗中选择 4 只。