适用数学/矩阵

矩阵

矩阵是一个用括号括起来的数字矩形阵列。在记号意义上，矩阵与数字列表的区别在于矩阵的格式。数字以特定顺序排列，使得每个数字在括号之间都有一个确定的位置。矩阵中的每个数字或值称为元素。

矩阵的主要优势之一是它的性质，这些性质允许它被操纵并用于许多不同但有用的目的。

矩阵的大小可以不同。这种大小的变化称为维度。就像房间的尺寸（宽度 x 长度）一样，矩阵也有维度（行数 x 列数）。因此，一个 2 x 3（读作 2 行 3 列）矩阵将有 2 行和 3 列。

一个 2 x 3 矩阵的例子

$M={\begin{bmatrix}572&98&302\\1&732&22\\\end{bmatrix}}$

与矩阵相关的另一个术语是地址。就像您的家庭地址一样，地址描述了矩阵中每个值或元素的位置。地址由矩阵的小写字母组成，并用行号和列号（按此顺序）作为下标。

以 2 x 3 矩阵 M 为例，值的 positions 如下所示

$M={\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}572&98&302&\\1&732&22\end{bmatrix}}$

$m_{11}=572\quad m_{12}=98\quad m_{13}=302\quad m_{21}=1\quad m_{22}=732\quad m_{23}=22$

方阵是行数和列数相同的矩阵。

例如：2 x 2 或 3 x 3 矩阵都是方阵。

$2x2={\begin{bmatrix}{\color {red}1}&12\\21&{\color {red}2}\end{bmatrix}}\qquad 3x3={\begin{bmatrix}{\color {red}7}&9&30\\1&{\color {red}2}&2\\5&43&{\color {red}6}\end{bmatrix}}$

请注意上面 2 x 2 和 3 x 3 方阵中红色的数字。这些数字位于主对角线的地址中。方阵的主对角线是从左上角元素到右下角元素的对角线。请注意，只有方阵才可能有主对角线。

矩阵的加减法

要对矩阵进行加法或减法运算，则通过对对应元素进行加法或减法运算来求和或差。

例如，

${\begin{bmatrix}{\color {red}7}&{\color {blue}4}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\color {red}3}&{\color {blue}9}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}10}&{\color {blue}13}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}{\color {red}a_{11}}&{\color {blue}a_{12}}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\color {red}b_{11}}&{\color {blue}b_{12}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}a_{11}+b_{11}}&{\color {blue}a_{12}+b_{12}}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}{\color {red}7}&{\color {blue}4}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\color {red}3}&{\color {blue}9}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}4}&{\color {blue}-5}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}{\color {red}a_{11}}&{\color {blue}a_{12}}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\color {red}b_{11}}&{\color {blue}b_{12}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}a_{11}-b_{11}}&{\color {blue}a_{12}-b_{12}}\end{bmatrix}}$

由于加减法是针对对应项进行的，因此矩阵必须具有相同的维数才能完成任一操作。

考虑这个操作

${\begin{bmatrix}52\\36\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}12&16&5\\\end{bmatrix}}====>{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\\end{bmatrix}}\quad {\color {red}CAN'T\quad BE\quad DONE}$

${\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&?+b_{12}&?+b_{13}\\a_{21}+?&---&---\\\end{bmatrix}}$

现在考虑这些矩阵

${\begin{bmatrix}52&4\\36&18\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}12&16\\34&2\\\end{bmatrix}}====>{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}64&20\\70&20\\\end{bmatrix}}$

矩阵相等性质

交换律

矩阵加法满足交换律 $A+B=B+A$

${\begin{bmatrix}5&9&0\\1&3&2\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}7&8&3\\4&7&6\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7&8&3\\4&7&6\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5&9&0\\1&3&2\\\end{bmatrix}}$

>______________ ${\begin{bmatrix}12&17&3\\5&10&8\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}12&17&3\\5&10&8\\\end{bmatrix}}$

结合律

矩阵加法满足结合律。 $A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)$

${\begin{bmatrix}4&7\\1&8\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3&18\\24&7\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&8\\14&6\\\end{bmatrix}}={\Bigg (}{\begin{bmatrix}4&7\\1&8\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3&18\\24&7\\\end{bmatrix}}{\Bigg )}+{\begin{bmatrix}1&8\\14&6\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&7\\1&8\\\end{bmatrix}}+{\Bigg (}{\begin{bmatrix}3&18\\24&7\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&8\\14&6\\\end{bmatrix}}{\Bigg )}$

${\begin{bmatrix}4&7\\1&8\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3&18\\24&7\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&8\\14&6\\\end{bmatrix}}={\Bigg (}{\begin{bmatrix}7&25\\25&15\\\end{bmatrix}}{\Bigg )}+{\begin{bmatrix}1&8\\14&6\\\end{bmatrix}}\qquad \quad ={\begin{bmatrix}4&7\\1&8\\\end{bmatrix}}+{\Bigg (}{\begin{bmatrix}4&26\\38&13\\\end{bmatrix}}{\Bigg )}$

>_________${\begin{bmatrix}8&33\\39&21\\\end{bmatrix}}\qquad \quad \quad =\qquad \qquad {\begin{bmatrix}8&33\\39&21\\\end{bmatrix}}\qquad \qquad \quad ={\begin{bmatrix}8&33\\39&21\\\end{bmatrix}}$

加法单位元

零矩阵是加法单位元矩阵 'O'。

零矩阵 是一个所有元素都为零的矩阵。 $O={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$

任何矩阵加到矩阵 'O' 上，都会保持它本身的值。

加法单位元的例子 $A+O=A$

${\begin{bmatrix}7&4\\6&9\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7&4\\6&9\\\end{bmatrix}}$

加法逆元

需要两个矩阵才能形成一对逆元。 两个矩阵是加法逆元，如果它们的和是零矩阵。 当矩阵的加法逆元包含每个元素的相反值时，就会发生这种情况。 $A+(-A)=O$

${\begin{bmatrix}{\color {red}8}&{\color {red}2}&{\color {red}-1}\\{\color {red}-6}&{\color {red}9}&{\color {red}-3}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\color {blue}-8}&{\color {blue}-2}&{\color {blue}1}\\{\color {blue}6}&{\color {blue}-9}&{\color {blue}3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}8}+{\color {blue}-8}&{\color {red}2}+{\color {blue}-2}&{\color {red}-1}+{\color {blue}1}\\{\color {red}-6}+{\color {blue}6}&{\color {red}9}+{\color {blue}-9}&{\color {red}-3}+{\color {blue}3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$

乘法单位矩阵

一个乘法单位矩阵，通常用字母 I 表示，是一个方阵，其主对角线上的所有元素的值为 1，其余元素的值为 0。

$I_{2x2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad I_{3x3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

任何矩阵乘以单位矩阵都会保留其原始元素。 $AxI=A$

$A={\begin{bmatrix}6&15&9\\23&5&43\\\end{bmatrix}}\quad \quad I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$ ${\displaystyle }$

见矩阵乘法

$AI={\begin{bmatrix}(6)(1)+(15)(0)+(9)(0)&(6)(0)+(15)(1)+(9)(0)&(6)(0)+(15)(0)+(9)(1)\\(23)(1)+(5)(0)+(43)(0)&(23)(0)+(5)(1)+(43)(0)&(23)(0)+(5)(0)+(43)(1)\\\end{bmatrix}}$

$AI={\begin{bmatrix}6&15&9\\23&5&43\\\end{bmatrix}}$

乘法逆矩阵

如果矩阵 $AxB=I$ 其中 I 是单位矩阵，那么 A 和 B 互为乘法逆矩阵。

$A={\begin{bmatrix}-1&0&2\\4&1&-1\\2&0&1\\\end{bmatrix}}\quad \quad B={\begin{bmatrix}-0.2&0&0.4\\1.2&1&-1.4\\0.4&0&0.2\\\end{bmatrix}}$

$AB={\begin{bmatrix}(-1)(-0.2)+(0)(1.2)+(2)(0.4)&(-1)(0)+(0)(1)+(2)(0)&(-1)(0.4)+(0)(-1.4)+(2)(0.2)\\(4)(-0.2)+(1)(1.2)+(-1)(0.4)&(4)(0)+(1)(1)+(-1)(0)&(4)(0.4)+(1)(-1.4)+(-1)(0.2)\\(2)(-0.2)+(0)(1.2)+(1)(0.4)&(2)(0)+(0)(1)+(1)(0)&(2)(0.4)+(0)(-1.4)+(1)(0.2)\\\end{bmatrix}}$ $AB=I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

因此，矩阵 A 和 B 互为乘法逆矩阵。

矩阵乘法

回到乘法单位矩阵

矩阵的另一个有用属性称为标量。标量是一个位于单个矩阵外部的数字。要将标量应用于矩阵，只需将矩阵的每个条目乘以标量。

例如，

${\color {red}3}{\begin{bmatrix}3&9&15\\1&7.5&2\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}({\color {red}3})3&({\color {red}3})9&({\color {red}3})15\\({\color {red}3})1&({\color {red}3})7.5&({\color {red}3})2\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9&27&45\\3&22.5&6\\\end{bmatrix}}$

要将两个矩阵相乘，必须注意它们的维数。矩阵 A 和 J 只有当 A 的列数等于 J 的行数时才能相乘。另一个提示是，一个 a x j 矩阵和一个 j x b 矩阵的乘积是一个 a x b 矩阵。请注意，第一个矩阵的列数**必须**等于第二个矩阵的行数 (j = j)。

首先，我们将看看如何测试我们是否可以将矩阵相乘。

考虑矩阵 Q 和 R。

$Q=2\quad x\quad {\color {red}3}\qquad \quad \qquad R={\color {red}3}\quad x\quad 2\qquad {\color {red}3\ columns}={\color {red}3\ rows}$

由于矩阵 Q 的列数等于矩阵 R 的行数，因此这两个矩阵可以相乘。这将产生一个 2 x 2 矩阵。

$Q={\begin{bmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}7}&{\color {red}9}\\3&5&1\\\end{bmatrix}}\qquad x\qquad R={\begin{bmatrix}{\color {red}8}&9\\{\color {red}3}&5\\{\color {red}4}&6\\\end{bmatrix}}$

将 Q 和 R 相乘。

在这个过程中，你可能会发现你的手指和心算加法非常有用。你可以用你的左食指来跟踪矩阵 Q 中的行，用你的右食指来跟踪矩阵 R 中的列。要将矩阵相乘，请将矩阵 Q 中对应行的连续项和矩阵 R 中列的连续项的乘积加起来。

$QR={\begin{bmatrix}{\color {red}q_{11}}&{\color {red}q_{12}}&{\color {red}q_{13}}\\{\color {red}q_{21}}&{\color {red}q_{22}}&{\color {red}q_{23}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}r_{11}}&{\color {blue}r_{12}}&\\{\color {blue}r_{21}}&{\color {blue}r_{22}}\\{\color {blue}r_{31}}&{\color {blue}r_{32}}\\\end{bmatrix}}=$ $QR={\begin{bmatrix}1&7&9\\3&5&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}8&9\\3&5\\4&6\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1)(8)+(7)(3)+(9)(4)&(1)(9)+(7)(5)+(9)(6)\\(3)(8)+(5)(3)+(1)(4)&(3)(9)+(5)(5)+(1)(6)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}65&98\\43&58\\\end{bmatrix}}$