算术课程/数运算/加法

加法

加法是一种数学运算，将两个量相加，可以用数学表达式表示

A + B

算术和代数规则

以下定律对 a、b 和 c 的所有值都成立，无论 a、b 和 c 是数字、变量、函数，还是包含数字、变量和/或函数的更复杂表达式。

加法

• 交换律：$a+b=b+a\,$.
• 结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)\,$.
• 加法单位元：$a+0=a\,$.
• 加法逆元：$a+(-a)=0\,$.

减法

• 定义：$a-b=a+(-b)\,$.

乘法

• 交换律：$a\times b=b\times a\,$.
• 结合律：$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)\,$.
• 乘法单位元：$a\times 1=a\,$.
• 乘法逆元：$a\times {\frac {1}{a}}=1$，只要$a\neq 0\,$
• 分配律：$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\,$.

除法

• 定义：${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$，当且仅当$b\neq 0\,$。

让我们看一个例子，看看这些规则如何在实践中使用。

${\frac {(x+2)(x+3)}{x+3}}$	= $\left[(x+2)\times (x+3)\right]\times \left({\frac {1}{x+3}}\right)$（根据除法的定义）
	= $(x+2)\times \left[(x+3)\times \left({\frac {1}{x+3}}\right)\right]$（根据加法的结合律）
	= $((x+2)\times (1)),\qquad x\neq -3\,$（根据乘法逆元）
	= $x+2,\qquad x\neq -3.$（根据乘法单位元）

当然，上面的步骤比简单地约去分子和分母中的$x+3$要长得多。但是，当你约去时，你实际上是在执行上面的步骤，所以了解这些规则很重要，这样你就能知道何时可以约去。例如，有些人会做以下操作，这是不正确的

${\frac {2\times (x+2)}{2}}={\frac {2}{2}}\times {\frac {x+2}{2}}={\frac {x+2}{2}}$.

正确的化简是

${\frac {2\times (x+2)}{2}}={\frac {2}{2}}\times {\frac {x+2}{1}}=1\times {\frac {x+2}{1}}=x+2$,

其中数字$2$在分子和分母中都约去了。

规则

任何数加零等于该数

a + 0 = a

任何数加自身等于该数的二倍

a + a = 2a

任何数加上其相反数等于零

a + (-a) = 0