算术课程/数论/积分/不定积分

不定积分

对函数进行数学运算以找到函数曲线下的总面积。给定一个关于 x 的函数 f(x)，则函数 f(x) 的不定积分的符号如下所示：

$\int f(x)dx=Lim_{\Delta x\to 0}\Sigma \Delta x[f(x)+{\frac {f(x+\Delta x)}{2}}]$

结果

$\int _{}^{}f(x)\,dx=F(x)+C=\int f(x)dx=f^{'}(x)+C$

积分定律

$\int {\frac {f^{'}(x)}{f(x)}}{\rm {d}}x=\ln |f(x)|+c$

$\int {UV}=U\int {V}-\int {\left(U^{'}\int {V}\right)}$

$e^{x}$ 也生成自身，并能接受相同的处理。

$\int {e^{-x}\sin x}~dx=(-e^{-x})\sin x-\int {(-e^{-x})\cos x}~dx$

$=-e^{-x}\sin x+\int {e^{-x}\cos x}~dx$

$=-e^{-x}(\sin x+\cos x)-\int {e^{-x}\sin x}~dx+c$

现在我们在方程的两边都有了我们需要的积分，所以

$=-{\frac {1}{2}}e^{-x}(\sin x+\cos x)+c$

• $f(x)=m$

$\int mdx=mx+C$

• $f(x)=x^{n}$

$\int {f(x)}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+c$

• $f(x)={\frac {1}{x}}$

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x$