算术课程/数字类型/复数

复数

复数及其共轭复数是一个具有以下一般形式的数

Z = a + i b

Z = a - i b

数学运算

两个复数的加法

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d).\$

$(a+ib)+(a-ib)=2a.\$

两个复数的减法

$(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d).\$

$(a+ib)-(a-id)=2ib.\$

两个复数的乘法

$(a+ib)\times (c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$

$(a+ib)\times (a-ib)=a^{2}+b^{2}.\$

两个复数的除法

${\frac {(a+ib)}{(c+id)}}={\frac {(ac-bd)+i(ad+bc)}{(c+id)^{2}}}$

${\frac {(a+jb)}{(a-jb)}}={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a-jb)^{2}}}$

平方根

a + bi（其中 b ≠ 0）的平方根是$\pm (\gamma +\delta i)$，其中

$\gamma ={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}$

以及

$\delta ={\frac {|b|}{b}}{\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}.$

这可以通过对$\pm (\gamma +\delta i)$ 平方得到 a + bi 来看出。 这里${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ 称为 a + bi 的模，而实部为非负的平方根称为主平方根。

共轭

$z$ 及其共轭 ${\bar {z}}$ 在复平面上的几何表示

复数 z = x + yi 的复共轭 定义为 x − yi。它表示为 ${\bar {z}}$ 或 $z^{*}\,$。在几何上，${\bar {z}}$ 是 z 关于实轴的“反射”。特别地，两次共轭给出原始复数：${\bar {\bar {z}}}=z$.

可以使用共轭提取复数的实部和虚部

$\operatorname {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}(z+{\bar {z}}),\,$

$\operatorname {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2i}}(z-{\bar {z}}).\,$

此外，复数为实数当且仅当它等于其共轭。

共轭在标准算术运算中是可分配的

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}},\,$

${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}},\,$

${\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}\,$

非零复数 z = x + yi 的倒数由下式给出：

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}.$

该公式可用于计算以直角坐标表示的复数的乘法逆。反演几何是几何学的一个分支，研究的是比关于直线反射更一般的反射，它也可以用复数来表示。

极坐标形式

图 2：幅角 φ 和 模 r 确定了阿根图上的一个点；$r(\cos \phi +i\sin \phi )$ 或 $re^{i\phi }$ 是该点的 *极坐标* 表达式。

绝对值和幅角

除了使用 x 和 y 坐标之外，另一种对复平面上的点进行编码的方法是使用点 P 到原点 O（坐标为 (0, 0)）的距离，以及通过 P 和 O 的直线的角度。这个想法导致了复数的极坐标形式。

复数 z = x+yi 的 *绝对值*（或 *模* 或 *幅值*）是

$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

如果 z 是一个实数（即 y = 0），那么 r = |x|。一般来说，根据毕达哥拉斯定理，r 是表示复数 z 的点 P 到原点的距离。

z 的 *幅角* 或 *相位* 是它与实轴的角度，记为 $\arg(z)$。与模量一样，幅角也可以从直角坐标形式 $x+iy$ 中找到：

$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{undefined }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\end{cases}}$

φ 的值可以改变任何 2π 的倍数，仍然给出相同的角度（注意使用的是弧度）。因此，arg 函数有时被认为是多值的。通常，如上所示，在区间 $(-\pi ,\pi ]$ 中选择主值。区间 $[0,2\pi )$ 中的值通过添加 $2\pi$ 获得（如果值是负数）。原点的极角是未定义的，但通常使用值 0。

r 和 φ 共同给出另一种表示复数的方法，即极坐标形式，因为模数和幅角的组合完全指定了平面上的点的位置。从极坐标形式恢复原始的直角坐标通过称为三角形式的公式完成

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).\,$

使用欧拉公式，可以写成

$z=re^{i\varphi }.$

使用 cis 函数，这有时缩写为

$z=r\ \operatorname {cis} \ \varphi .\,$

在角度表示法中，通常在电子学中用于表示幅度为 r，相位为 φ 的相量，写成

$z=r\angle \varphi .\,$

极坐标形式下的乘法、除法和乘方

2+i（蓝色三角形）和 3+i（红色三角形）的乘法。红色三角形旋转以匹配蓝色三角形的顶点，并拉伸 √5 倍，即蓝色三角形斜边的长度。

将复数表示为极坐标形式的相关性在于，乘法、除法和乘方的公式比使用笛卡尔坐标系的公式更简单。给定两个复数 z₁ = r₁(cos φ₁ + isin φ₁) 和 z₂ =r₂(cos φ₂ + isin φ₂)，乘法的公式为

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).$

换句话说，绝对值相乘，辐角相加，得到乘积的极坐标形式。例如，乘以i对应于逆时针旋转四分之一圈，得到i ² = −1。右边的图片说明了

$(2+i)(3+i)=5+5i\,$

由于 5+5i 的实部和虚部相等，因此该数的辐角为 45 度，或 π/4（弧度）。另一方面，它也是红色和蓝色三角形在原点处的角度之和，分别为 arctan(1/3) 和 arctan(1/2)。因此，公式

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

成立。由于 arctan 函数可以高度有效地逼近，因此像这样的公式（称为 Machin 类公式）用于对 π 进行高精度逼近。

类似地，除法由下式给出

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).$

这也暗示了对具有整数指数的复数进行幂运算的棣莫弗公式

$z^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).$

z 的n 次根由下式给出

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)$

对于任何满足 0 ≤ k ≤ n − 1 的整数 k。这里 ${\sqrt[{n}]{r}}$ 是正实数 r 的通常的（正）n 次根。虽然正实数 r 的n 次根被选择为满足 cⁿ = x 的正实数 c，但没有自然的方法来区分复数 z 的一个特定的n 次根。因此，z 的n 次根被认为是一个多值函数（在 z 中），而不是一个普通的函数 f，其中 f(z) 是一个唯一定义的数字。像

${\sqrt[{n}]{z^{n}}}=z$

（对正实数成立）的公式，一般不适用于复数。

棣莫弗公式

在数学中，棣莫弗公式，以亚伯拉罕·棣莫弗命名，指出对于任何复数（尤其是对于任何实数）x 和整数 n，它满足

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,$

该公式很重要，因为它将复数（i 代表虚数单位）和三角学联系起来。表达式 cos x + i sin x 有时缩写为 cis x。

通过展开左侧，然后在假设 x 为实数的情况下比较实部和虚部，可以推导出 cos (nx) 和 sin (nx) 关于 cos x 和 sin x 的有用表达式。此外，可以使用该公式的推广来找到单位根的显式表达式，即满足 zⁿ = 1 的复数 z。

推导

虽然从历史上看，棣莫弗公式的证明早于欧拉公式，但我们可以很容易地从欧拉公式推导出棣莫弗公式。

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,$

以及整数幂的指数定律

$\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.\,$

然后，根据欧拉公式，

$e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,$