天体动力学/基础火箭学

本节介绍将涵盖火箭如何飞行并离开大气层的基本概念和理论，以及介绍火箭方程。

理想火箭方程

火箭是动量交换装置，它们通过喷射一些流体（通常是高温气体或等离子体）来工作，这些流体通过牛顿第三定律推动火箭。火箭实际上无处不在，从简单的水瓶火箭，到烟花，再到更复杂的火箭，比如土星五号。下面推导的齐奥尔科夫斯基火箭方程是火箭飞行的基本原理，它显示了火箭在没有外力作用的情况下所能达到的最大速度变化，$\Delta V$（ΔV）。

$\Delta V=v_{e}\ln {\left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}=I_{SP}g_{0}\ln {\left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}$

其中，

• $v_{e}$ 是有效喷射速度（从喷嘴喷出），等于 $I_{SP}g_{0}$.
• $I_{SP}$ 是以秒为单位测量的比冲。它衡量的是固体火箭燃料的效率，具体来说是每单位推进剂重量（在地球上）产生的冲量。
• $g_{0}$ 是地球地面附近的标准重力加速度。
• $m_{0}$ 是火箭发射前（未燃烧时）的质量。通常使用初始总质量（湿质量）。
• $m_{f}$ 是火箭发动机停止燃烧后的质量。通常使用最终总质量（干质量）。

火箭方程指出，喷射速度越快，火箭的最终速度就越大；但是，由于自然对数的存在，火箭的初始质量会呈指数增长。因此，增加火箭质量并不有利，因为它会产生微不足道的回报，而使用级联（多个火箭叠放在一起）则更有利。此外，重要的是要说明，认为效率更高的火箭（更高的 $I_{SP}$）在发射时更好，可能是一种误解，因为如果推动火箭上升的推力过小，火箭可能无法升空。这是因为该方程在没有外力作用的情况下起作用。

想象一下，一个质量为 $m$ 的火箭或太空中的物体，以速度 $v$ 运动。如果我们取出一小块质量 $dm$，并以相对火箭速度 $v_{e}$（与飞行方向相反，即与速度反平行）将其抛出。我们可以预料到太空中的物体速度会发生微小的变化，即 $dv$。由于没有其他力作用于物体，根据动量守恒定律，抛出小质量之前和之后物体的动量必须相等。令 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 分别表示抛出小质量之前和之后的线性动量。

$P_{1}=mv$

$P_{2}=(m-dm)(v+dv)+dm(v+dv-v_{e})$

需要注意的是，这两个动量都是从静止观察者（不在任何一个物体上）的角度测量的，因此小质量的动量中增加了 dv。将这两个方程设为相等，则方程变为

$mv=(m-dm)(v+dv)+dm(v+dv-v_{e})$

$mv=mv-vdm+mdv-dmdv+vdm+dmdv-v_{e}dm$

经过化简，

$mdv=v_{e}dm$

值得一提的是，这个方程本身可以推导出两个有用的方程，一个是描述一维火箭动力学的微分方程（下面第一个方程），另一个是齐奥尔科夫斯基方程（下面第二个方程）。这两个方程是通过将 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 之间的时差变得更小而得到的。换句话说，取时间趋于零的极限。

$m(t){\frac {dv}{dt}}={\dot {m}}v_{e}$

$\Delta v=v_{f}-v_{0}=v_{e}\ln {\left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}$

尽管火箭方程有其局限性，但它是一个有用的资源，可以用来解释未来的主题，例如轨道转移。然而，为了详细说明效率可能产生误导的原因，值得注意的是，在推导过程中，我们找到了$F=ma$方程。因此，火箭在 1D 上的瞬时推力如下所示。可以看出，如果比冲很高，而且火箭发动机效率很高，那么如果质量流量，${\dot {m}}$，很低，推力无法超过重力和空气阻力。

$T=v_{e}{\dot {m}}=g_{0}I_{SP}{\dot {m}}$

火箭分级

三级火箭的示例

火箭的推进系统只能由一个燃料箱和一个发动机组成，但是，这样的系统无法用于进入地球轨道，因为我们需要一个非常长的燃料箱，这在实践中不可行，因为它会降低发动机的推重比（除了像 Skylon 这样的假设单级入轨航天飞机或 SSTO 设计）。这个问题的解决办法是添加多个级，每个级都包含一个推进剂箱和一个发动机，以及一个分离系统（有时还包括其他东西，例如电子制导系统或降落伞）。当一级推进剂耗尽时，该部分就会被移除，从而减少机载干重。分级可以用于以下目的：

• 减少机载干重
• 使用更适合这种情况的发动机（某些发动机针对特定高度进行了优化，因此可以将它们放在不同的级上）

这使得分级成为进入地球轨道及更远距离的昂贵但有效的方法。也有一些努力正在进行，旨在使级可重复使用，以降低使用这些火箭的成本。