天体力学/基本定律

天体力学

牛顿运动定律

第一定律（惯性定律）

运动中的物体倾向于以相同的速度和方向保持运动，除非受到外力的作用。静止的物体倾向于保持静止，除非受到外力的作用。

第二定律（力定律）

物体速度的变化率（加速度）与其所受的力成正比，并且与力的方向相同。

第三定律

对于每一个作用力，总会有一个大小相等、方向相反的反作用力。

第二定律通常用方程$F=ma$表示，其中$a$是物体的加速度，$m$是物体的质量，而$F$是施加的力的大小。但是，第二定律还规定，加速度有一个与之相关的方向，并且该方向与施加力的方向相同。我们必须使用向量重新编写此方程以考虑力和加速度的方向。我们可以将其改写为${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}$，其中粗体表示该量已被矢量化。我们不会具体定义这些向量包含的项目，因为正如我们很快将看到的那样，这在很大程度上取决于问题。

在太空中，物体从未受到单个力的作用：宇宙中所有物体的引力都起着一定的作用。但是，由于引力对物体的作用力随着距离的平方而减小，因此非常遥远的物体产生的力可以忽略不计，通常可以忽略不计。但是，考虑一个围绕地球运行的卫星：该卫星受到来自地球的引力影响，来自月球的引力影响，以及在较小程度上来自太阳的引力影响。我们可以将这些力加在一起，得到第二定律更一般的形式

[牛顿第二定律]

$\sum \mathbf {F} =m\mathbf {a}$

第三定律也产生了一个有趣的结果，并且这个结果将影响许多计算。在太空旅行中，有两种类型的运动：动力运动和无动力运动。在动力装置（例如火箭）中，为了使物体“向前推动”，它必须以相等的力量向后推动某物。在火箭的情况下，燃烧的燃料被推向火箭的尾部，以使火箭主体向前移动。根据第三定律，任何动力航天器将具有非恒定质量，这将在我们的计算中引入额外的复杂性。如果我们有两个物体，1 和 2，它们相互推动，我们可以说物体 1 对物体 2 的作用力的大小相等，但方向相反，与物体 2 对物体 1 的作用力相反。换句话说，我们可以说

[牛顿第三定律]

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

我们将在本书中使用这些定律。

牛顿万有引力定律

牛顿万有引力定律是另一个常见的定律，也是天体力学研究中最重要的定律之一。用最简单的形式来说，万有引力定律是

[万有引力定律]

$\mathbf {F} _{g}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}$

我们知道，万有引力定律是有方向性的，也就是说，万有引力使两个物体沿它们之间的直线相互吸引。下图显示了两个物体M₁和M₂通过作用在其重心之间的直线上的万有引力相互吸引

作用在M₁上的力表示为F₁₂，作用在M₂上的力表示为F₂₁。我们从牛顿运动第三定律知道，这两个力的大小必须相等，但方向相反

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

由于力的方向很重要，我们也对万有引力定律方程进行了向量化

$\mathbf {F} _{g}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}$

其中，**r** 是两个天体之间的距离向量，而 *r* 是两者之间的标量距离。**F**_g 是重力作用的力向量。

万有引力常数

大写的 *G* 被称为 **万有引力常数**。它等于

$G=6.67428\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}\,$

意义

尽管牛顿万有引力定律与相对论相比并不精确，但它经常被使用，因为它在大多数情况下提供了很好的结果。这个定律的一个简单结果是逃逸速度的概念，这将很快推导出。逃逸速度的概念表明，它不是一种力，也不是一种需要达到的高度来逃脱行星或轨道天体的引力影响。

有几种方法可以推导出逃逸速度，但最一般的方法是使用牛顿万有引力定律和基本微积分。

假设一个质量为 $m_{2}$ 的物体，沿径向远离质量为 $m_{1}$ 的行星运动。因此，方程可以用一维表示。

$F_{g}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

如果该物体离开主天体一小段距离 $dr$，并且回想一下功能是力乘以沿直线移动的距离，那么移动该物体所需的少量功是

$dW=Fdr=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}dr$

重力从这里延伸到宇宙中的任何其他地方，该物体不受重力作用的唯一可能方法是它距离无限远。假设该物体从距离行星 $a$ 的地方移动。那么，将它从 $a$ 移动到无穷远所需的功是

$W=-\int _{a}^{\infty }{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}dr=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{a}}$

如上所述，这是移动该物体所需的功。因此，为了使该物体移动这个距离，它需要至少具有相同的动能。

${\frac {1}{2}}m_{2}v_{0}^{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{a}}$

$v_{0}={\sqrt {\frac {2Gm_{1}}{a}}}$

因此，逃逸速度等于 $v_{0}$.

开普勒行星运动定律

第一定律

行星的轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点上。

第二定律

连接行星和太阳的直线在相等的时间内扫过相等的面积。

第三定律

行星周期的平方与其到太阳平均距离的立方成正比。

正如我们从代数中所知，椭圆是由两个焦点构成的圆锥曲线，其中椭圆到每个焦点的距离之和相等。太阳位于一个焦点上，或者任何被绕行的物体，而另一个焦点是一个虚构的点，位于空间中。重要的是要提到开普勒定律也适用于圆形轨道，它是椭圆轨道的特例。

这张图是一个椭圆轨道，太阳位于一个焦点上。我们将包含中心物体的焦点称为主焦点，而另一个没有物理意义的焦点称为副焦点。

这张图演示了开普勒第二定律。

正如我们所看到的，为了使连接行星（虚线）的直线扫过相等的面积三角形，当行星离太阳越远，它必须移动得越慢。当行星离太阳越近，它必须移动得越快，以便在相等的时间内扫过相等的面积。这与牛顿运动定律和万有引力定律完全吻合，在那里，在主焦点附近，力更大，因此加速度更大，因此速度也更大。

举个类似的例子，考虑一个弹跳球。球在弧形的最高点运动最慢，并随着它向下运动朝向地球，速度不断增加。当地球远离太阳时，万有引力使行星减速。当行星朝太阳移动时，万有引力使行星加速。

开普勒第三定律可以通过比较太阳系天体的平均距离和它们的轨道周期与地球的轨道周期来轻松地说明。用天文单位和年表示，轨道周期等于半长轴的三次方根。

天体	半长轴（AU）	轨道周期（年）
水星	0.39	0.24
金星	0.72	0.62
地球	1.00	1.00
火星	1.67	1.88
谷神星	2.77	4.60
木星	5.20	11.86
土星	9.58	29.46
天王星	19.23	84.32
海王星	30.10	164.79
冥王星	39.26	247.68
阋神星	68.01	560.9
塞德娜	518.57	≈11400