天体动力学/运动常数

天体动力学

比能和角动量

角动量、动能和重力势能都与轨道物体的质量成正比。然而，在轨道力学中，讨论比角动量和比能更方便，它们分别是单位质量的角动量和能量。因此，在相同轨道上的两个物体可能具有非常不同的质量，但它们将具有相同的比角动量和相同的比能（当然，假设两个物体的质量与中心物体的质量相比可忽略不计）。在本篇文章中，除非另有说明，否则“角动量”和“能量”将指它们的比值。

角动量守恒

我们已经有两个用于分析轨道的基本向量：位置向量 r 和速度向量 v。我们从基本的牛顿力学知道，速度向量是位置向量的导数

${\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v}$

以及

${\dot {r}}=v$

从我们之前推导的运动方程开始，我们可以推导出物体的角动量。

${\ddot {\mathbf {r} }}+{\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} =0$

我们用位置向量 r 对等式两边进行叉积运算

$\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} =0$

第二项抵消，因为我们知道 r × r = 0。

$\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0$

作为旁注，考虑以下导数，它是使用微积分中的乘积法则得到的

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {x} \times {\dot {\mathbf {x} }})={\dot {\mathbf {x} }}\times {\dot {\mathbf {x} }}+\mathbf {x} \times {\ddot {\mathbf {x} }}$

第一项抵消，因为叉积中的两个向量相同。我们剩下的是结果

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {x} \times {\dot {\mathbf {x} }})=\mathbf {x} \times {\ddot {\mathbf {x} }}$

我们可以将上述结果代入方程，得到

${\frac {d(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})}{dt}}=0$

由于导数为零，我们知道结果必须是一个常数。我们可以对两边积分，引入积分常数向量 h

[角动量矢量]

$\mathbf {r} \times \mathbf {v} =\mathbf {h}$

由于我们知道 h 是一个常数，这个方程表明角动量在轨道系统中是守恒的。这个常数被称为轨道的 角动量，在以后的计算中非常重要。

h 的含义

h 是一个垂直于 r 和 v 的向量。r 和 v 都位于同一个平面内，称为 轨道平面。整个轨道都位于这个平面内。但是，向量 h 垂直于轨道平面，这意味着它垂直于轨道平面。标量值 h 是该向量的模，定义为

$h=|\mathbf {h} |$

h 的其他定义

模值 h 可以从模值 r 和 v 中推导出，如下所示

$h=rv\cos \phi$

$h=rv\sin \gamma$

其中 γ 是向量 r 和 v 之间的夹角，φ 是 γ 的余角。φ 被称为卫星的 飞行角。γ 被称为 天顶角。

能量守恒

类似于角动量，我们可以推导出能量守恒方程。我们不是在两边对位置向量 r 进行叉乘，而是可以对速度向量 v 进行点乘

${\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}+{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} =0$

我们知道 r 的二阶导数与 v 的一阶导数相同

$\mathbf {v} \cdot {\dot {\mathbf {v} }}+{\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}=0$

一般而言，点积的结果是

$\mathbf {x} \cdot {\dot {\mathbf {x} }}=x{\dot {x}}$

我们可以将这个结果应用到我们的方程中

$v{\dot {v}}+{\frac {\mu }{r^{3}}}r{\dot {r}}=0$

根据链式法则，我们知道

${\frac {d}{dt}}{\frac {v^{2}}{2}}=v{\dot {v}}$

以及

${\frac {d}{dt}}{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}$

将这些结果代入我们的方程，我们得到

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}\right)=0$

为了推广该方程，必须添加一个额外的常数项c

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}+c\right)=0$

再次，导数等于零，所以我们知道函数具有一个常数值。我们对两边进行积分，并将我们的新的积分常数称为系统的能量

${\mathcal {E}}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}+c$

动能

从经典力学来看，第一项可以被识别为运动物体的比动能

[动能]

${\mathcal {E}}_{k}={\frac {v^{2}}{2}}$

它表示将物体从静止状态加速到其当前速度所需的功量。

势能

第二项和第三项合起来表示运动物体的比势能

[势能]

${\mathcal {E}}_{p}=-{\frac {\mu }{r}}+c$

它表示将物体从给定参考距离移动到其当前与中心体距离所需的功量。参考距离由方程中的c项定义。例如，为了定义地球表面具有零势能，c将被设置为等于μ/r₀，其中r₀是地球的半径。在这种情况下，地球半径以下的物体将具有负势能，而地球半径以上的物体将具有正势能。然而，最方便的是将参考距离设置为无穷大，这将使势能的表达式简化为

${\mathcal {E}}_{p}=-{\frac {\mu }{r}}$

这将导致全局负的势能值。这可能看起来很违反直觉，但计算将大大简化。

总机械能

因此，系统的总比机械能表达式变为

[总机械能]

${\mathcal {E}}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}$

这个量对于确定轨道的形状很重要，将在下一章中详细讨论。

从牛顿定律推导开普勒定律

现在已经定义了运动常数，就可以从牛顿运动定律和万有引力定律推导出开普勒定律。

第一定律

如前所述，受限二体问题中物体的运动方程为

${\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r}$

将两边与角动量向量进行叉积运算

${\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =-{\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} \times \mathbf {h}$

由于向量 h 不会随时间变化，左侧等效于

${\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} ={\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} +{\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {h} }}={\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} )$

同时，左侧变为

$-{\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} \times (\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\mathbf {r} ({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} )-{\dot {\mathbf {r} }}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )\right)$

$={\frac {\mu }{r^{3}}}\left({\dot {\mathbf {r} }}r^{2}-\mathbf {r} r{\dot {r}}\right)$

$=\mu \left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{r}}-{\frac {\mathbf {r} {\dot {r}}}{r^{2}}}\right)$

$=\mu {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {B} \right)$

其中 B 是一个积分常数。因此，方程变为

${\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {B}$

将两边与 r 进行点积运算

$\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} )=\mu r+\mathbf {B} \cdot \mathbf {r}$

回顾三重向量积的性质

$\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} )=\mathbf {h} \cdot (\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})=\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} =h^{2}$

该方程变为

$h^{2}=\mu r+Br\cos \nu$

重新排列该方程

[轨迹方程]

$r(\nu )={\frac {h^{2}/\mu }{1+B/\mu \cos \nu }}$

该方程与以一个焦点为中心的圆锥曲线的极坐标方程相同

$r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos \theta }}$

其中 *e* 是圆锥曲线的偏心率，*p* 是圆锥曲线的半正弦长。对于椭圆

$p=a(1-e^{2})$

其中 *a* 是半长轴。

这个推导表明，除了椭圆轨道之外，天体还可以具有抛物线或双曲线轨迹（这两种轨迹将在稍后讨论）。因此，一般来说，开普勒第一定律变为

天体在引力场中的轨迹是一个圆锥曲线，中心天体位于一个焦点

第二定律

角动量向量

$||\mathbf {h} ||=||\mathbf {r} \times \mathbf {v} ||=rv\cos \phi$

其中 φ 是飞行路径角，*v*cosφ 是速度向量垂直于位置向量的分量。根据极坐标微积分，这可以重新表示为

$v\cos \phi =r{\dot {\nu }}$

因此，角动量方程变为

$h=r^{2}{\frac {d\nu }{dt}}$

回顾微积分，极坐标形式的面积微元为

$dA={\frac {r^{2}d\nu }{2}}$

组合这些方程得到

[开普勒第二定律]

${\frac {dA}{dt}}={\frac {h}{2}}$

已知角动量在限制性二体问题中是恒定的，所以这是开普勒第二定律的数学表达。该方程对抛物线和双曲线轨迹以及椭圆轨迹都成立。

第三定律

由于第三定律只涉及闭合轨道，因此它仅适用于椭圆轨道。前一部分的结果可以改写为

$dA={\frac {h}{2}}dt$

对两边进行一次完整轨道的积分，得到

$\pi ab={\frac {h}{2}}T$

其中 πab 是整个椭圆所包围的面积，T 是轨道周期。半短轴可以用半正弦直线和半长轴来表示

$b={\sqrt {a^{2}(1-e^{2})}}={\sqrt {ap}}$

回顾角动量与半正弦直线的关系

$p={\frac {h^{2}}{\mu }}$

将这些方程组合起来，并简化后得到轨道周期的表达式

[椭圆轨道的周期]

$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}$

可以简化为开普勒第三定律

[开普勒第三定律]

$T^{2}\propto a^{3}$