天体力学/N体问题

天体力学

N体问题

牛顿万有引力定律只考虑了两个天体，m₁ 和 m₂。然而，在太空中，我们经常需要考虑多个天体。我们可以将这个问题推广到任意数量的天体，即N 个天体，并建立一个适用于任意数量天体的方程。

所有这些天体一起被称为天体系统。

在研究N体问题时，重要的是要关注一个特定的天体，其运动是主要研究对象。我们假设这个天体，称为第i个天体，可以自由移动，而其他N - 1个天体是静止的。任意天体n 和第i个天体之间的引力由万有引力定律给出

$\mathbf {F} _{gn}=-{\frac {Gm_{i}m_{n}}{r_{ni}^{3}}}\mathbf {r} _{ni}$

其中r_ni 是天体n 和天体i 之间的距离向量。我们可以用这两个天体的定位向量表示这个向量

$\mathbf {r} _{ni}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{n}$

第i个天体受到的总引力为

$\mathbf {F} _{g}=-\sum _{k=1}^{N-1}{\frac {Gm_{i}m_{k}}{r_{ki}^{3}}}\mathbf {r} _{ki}$

我们也知道第i个天体对自身产生的引力（自身引力）必须为零。我们还可以定义一个新的力向量F_O，它包含除引力之外的所有可能作用于天体上的力元素。这些元素包括阻力、太阳辐射压力、磁场压力和推力（在人造卫星或火箭的情况下）。我们可以将作用在物体上的总力F_T 定义为引力和其他力的总和

$\mathbf {F} _{T}=\mathbf {F} _{gn}+\mathbf {F} _{O}$

回忆牛顿第二定律，N体系统中粒子运动的完整方程为

$m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=-\sum _{k=1}^{N-1}{\frac {Gm_{i}m_{k}}{r_{ki}^{3}}}\mathbf {r} _{ki}+\mathbf {F} _{O}$

简化二体问题

运动方程的一般形式不可能求解。在天体力学中，通常只需要考虑两个天体，此时运动方程求解起来容易得多。对于某些三体系统，也存在解，将在后面的章节中讨论。

要解决二体系统中物体的运动问题，可以做出两个简化的假设：

1. 这些天体是球形对称的，可以视为点质量。

2. 除了它们相互之间的引力之外，天体之间不存在外部或内部力。

大型天体的形状接近球形。由于对称性，吸引质量点朝向均匀球体的净引力必须指向球心。壳层定理（也由艾萨克·牛顿证明）指出，即使球体密度随深度变化（就像大多数天体一样），这个力的幅度也与所有质量集中在球体中心时相同。由此立即得出，两个均匀球体之间的吸引力与这两个球体所有质量集中在其中心时的吸引力相同。

较小的物体，如小行星或航天器，通常具有偏离球形的形状。但是，这些不规则性产生的引力通常比中心天体的引力小得多。不规则形状与完美球形之间的差异也随着距离的增加而减小，并且大多数轨道距离与小型轨道天体直径相比非常大。因此，在某些应用中，可以忽略形状不规则性，而不会对精度产生重大影响。

行星以不同的速度自转，因此由于离心力的作用，它们可能略微呈扁球形。对于这种扁球形，引力吸引力会略微偏离均匀球体的引力吸引力。这种现象对于人工地球卫星来说非常明显，特别是那些处于低轨道的卫星。在更远的距离上，这种扁率的影响变得可以忽略不计。太阳系中行星的运动如果视为点质量，则可以以足够的精度计算。

两个点质量物体，质量分别为m₁ 和 m₂，相对于某个惯性参考系的定位向量分别为r₁ 和 r₂，它们受到的引力为

$m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

$m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

其中 $\mathbf {r}$ 是质量 1 相对于质量 2 的相对位置向量，表示为

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

(请注意，这两个图在 M1、M2、R1 和 R2 的大小写方面有误导性，但更重要的是，图二中 r 向量的方向指向相反的方向)

分别除以它们的质量，并将第二个方程从第一个方程中减去，得到第一个物体相对于第二个物体的加速度的运动方程

${\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

其中 μ 是引力参数，等于

$\mu =G(m_{1}+m_{2})$

在许多应用中，可以做出第三个简化假设

3. 与中心天体相比，轨道天体的质量可以忽略不计。在数学上，m₁ >> m₂，所以 μ = G (m₁ + m₂) ≈ Gm₁。

这个假设对于解决简化的二体问题并不必要，但它简化了计算，特别是在地球轨道卫星和行星绕太阳运行的情况下。即使是木星的质量也比太阳小 1047 倍，这将导致 μ 值的误差为 0.096%。值得注意的例外包括地球-月球系统（质量比为 81.3）、冥王星-卡戎系统（质量比为 8.9）和双星系统。

在这些假设下，二体情况的微分方程可以完全用数学方法求解，得到的轨道遵循开普勒行星运动定律。所有行星的轨道都是绕太阳运行的开普勒轨道，精度很高。微小的偏差是由于行星之间引力相互作用较弱，以及在水星的情况下，由于广义相对论。人造卫星绕地球的轨道，在相当大的程度上，是开普勒轨道，但由于太阳、月球的引力以及地球的扁率，存在着微小的扰动。在需要对所有引力及非引力作用力（如太阳辐射压和阻力）进行数值积分的高精度应用中，开普勒轨道概念至关重要，并且被广泛使用。

引力参数

一个天体的标准引力参数 μ 是引力常数和两个天体总质量的乘积。它可以表示为 μ = G(m₁ + m₂)。当一个天体远大于另一个天体时，我们可以说 μ = G (M + m) ≈ GM。它的 SI 单位是 m³⋅s^-2，虽然 km³⋅s^-2 也常用。对于太阳系中的几个天体，μ 的精度比 G 或 M 更高。