天体力学/轨道基础

天体力学

轨迹方程

轨迹方程，它给出轨道的形状，表示为

[轨迹方程]

r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {B}{\mu }}\cos \nu }}

其中B是积分常数，ν（希腊字母nu）是半长轴和位置向量r之间的角度。

圆锥曲线

让我们稍微偏离轨道的理论，并讨论圆锥曲线。人们通常熟悉圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线），这些曲线是从研究初等代数中得来的。但是，大多数人不熟悉圆锥曲线的形式是在标准笛卡尔坐标系中。如果我们使用极坐标系，我们可以看到所有的圆锥曲线都有类似的方程格式。我们可以概括地说，所有圆锥曲线都有以下极坐标方程

[圆锥曲线方程]

r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}

这里，r是半径，θ是角度。当θ围绕圆圈移动时，r的值会发生变化，结果产生的点会创建所需的圆锥曲线。变量p被称为参数，变量e被称为偏心率。我们将讨论这些变量，并描述它们如何与下面的轨迹方程相关。

参数

比较轨迹方程和圆锥曲线方程，我们可以看到

p={\frac {h^{2}}{\mu }}

变量p是圆锥曲线大小的度量。较大的p表示轨道更大。我们可以看到轨道的尺寸与卫星的角动量成正比。由于这种关系，我们可以大致了解到，卫星的速度越快，产生的轨道就越大。

偏心率

e的值，即偏心率，决定了轨道将采用的形状。此表显示了e的各种值，以及由此产生的圆锥曲线的形状

e	形状
$e=0$	圆形
$e<1$	椭圆形
$e=1$	抛物线形
$e>1$	双曲线形

查看我们的圆锥曲线方程和轨迹方程，我们可以看到

e={\frac {B}{\mu }}

我们知道B只是一个积分常数，它不对应任何自然量。我们可以直接计算e，而无需先计算B。我们可以通过以下公式将e与卫星的能量和角动量联系起来

e={\sqrt {1+{\frac {2{\mathcal {E}}h^{2}}{\mu ^{2}}}}}

我们也可以使用半长轴的长度a将e和p联系起来

p=a(1-e^{2})

偏心率向量

我们还可以定义一个偏心向量 e，表示为

[偏心向量]

\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}

该向量具有以下性质

e=|\mathbf {e} |

并且 e 指向近心点（下面将介绍）。

轨道

我们可以看到，轨道方程的形式是圆锥曲线，由于这种形式，实际上可以有各种圆锥曲线形状的轨道。下面我们将讨论其中的一些。

椭圆轨道

椭圆轨道是偏心率 e < 1 的轨道。椭圆轨道是最常见的轨道之一，几乎所有绕太阳运行的天体都具有椭圆轨道。

我们从 p 的方程知道，卫星的速度会影响轨道的尺寸。我们还从 p 和 e 之间的关系方程知道，速度可以影响轨道的形状。因此，将卫星送入特定的轨道，需要赋予卫星与该轨道对应的正确速度。椭圆轨道是由低于逃逸速度的速度产生的轨道。逃逸速度，我们将在下面讨论，是指卫星摆脱主焦点的引力并形成抛物线或椭圆轨道的速度。

有一个特定的速度被称为圆周速度，在该速度下，椭圆轨道会变成完美的圆形。除圆周速度之外，所有其他速度，只要低于逃逸速度，都会产生椭圆轨道。

可以通过将适当的值代入轨道方程来创建所需的圆锥曲线，然后求解动能，来计算这些速度的值。这里将省略推导过程。

示例：地球的轨道

地球的轨道是椭圆的，尽管两个焦点距离相对较近，使得地球的轨道几乎是圆形的。因为太空是真空，没有明显的阻力或摩擦，地球的速度是恒定的，因此地球的轨道也是恒定的。从数学上来说，地球永远不会螺旋状地落入太阳。