天体力学/轨道确定

天体力学

根据基本的几何学原理，任何三个点都可以用椭圆拟合。这意味着，如果我们至少有三次对卫星位置的观测，我们可以确定整个轨道。然而，这个过程并不容易。

雷达

雷达是地球观测者可以使用的一项强大工具。雷达装置可以确定卫星的位置和速度，位置采用地心-地平坐标系。一旦完成雷达观测，就可以将坐标转换为地心-赤道坐标系，如下所示

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{e}+\mathbf {p}$

其中 r_e 是从地球中心到雷达装置的位置矢量，p 是从雷达装置到卫星的位置矢量。

从位置和速度矢量确定

雷达装置可以测量卫星在单个观测中的位置和速度。然而，此观测通常使用地心-地平坐标系的极坐标系（方位角和仰角）进行。卫星的位置以视线上矢量 ρ 表示，速度矢量是其导数 ρ'。我们可以通过以下公式找到从地球中心（转换为地心-地平坐标系）的距离

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{e}+\mathbf {\rho }$

我们可以通过以下公式找到速度矢量 v

$\mathbf {v} =\mathbf {\rho } '+\mathbf {\omega } _{e}\times \mathbf {r}$

其中 ω_e 是地球的角速度矢量。

一旦我们在地心-赤道坐标系中获得了 v 和 r 矢量，就可以找到所有经典轨道要素。

从 3 个位置矢量确定

如果我们有三个观测值，每个观测值代表一个位置矢量，我们可以确定卫星的轨道。我们假设所有三个位置矢量都是共面的，因为如果不是，它就不是一个合适的轨道，这些方程将无法产生正确的结果。

给定三个位置矢量 r₁、r₂ 和 r₃，我们可以应用 吉布斯方法来确定轨道。

吉布斯方法

对于吉布斯方法，我们首先构建三个新的矢量 N、D 和 S（不要与地心-地平坐标系中的 S 单位矢量混淆）。我们按如下方式构建这三个新的矢量

$\mathbf {N} =r_{3}\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}+r_{1}\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {r} _{3}+r_{2}\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {r} _{1}$

$\mathbf {D} =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {r} _{1}$

$\mathbf {S} =(r_{2}-r_{3})\mathbf {r} _{1}+(r_{3}-r_{1})\mathbf {r} _{2}+(r_{1}-r_{2})\mathbf {r} _{3}$

现在，我们可以从这些向量中找到我们的 *p* 和 *e* 量

$p=\mathbf {D} =\mathbf {N}$

N 和 D 始终具有相同的方向，因此

$\mathbf {N} \cdot \mathbf {D} =ND$

$p={\frac {N}{D}}$

$e={\frac {S}{D}}$

现在，我们可以从我们已经拥有的三个向量中确定来自近心点坐标系的单位向量 P、Q 和 W

$\mathbf {Q} ={\frac {\mathbf {S} }{S}}$

$\mathbf {W} ={\frac {\mathbf {N} }{N}}$

$\mathbf {P} =\mathbf {Q} \times \mathbf {W}$

现在，我们有了 *p* 和 *e* 值，并且我们也拥有定义轨道的必要近心点单位向量。

确定速度向量

如果我们有三个位置向量，我们可以确定每个位置对应的三个速度向量。如果我们有 D、N 和 S 向量，我们可以定义一个新的向量 B，使得

$\mathbf {B} =\mathbf {D} \times \mathbf {r} _{i}$

其中 *i* 下标对应三个位置向量之一。我们还可以形成一个标量值 *L*，以简化计算

$L={\sqrt {\frac {\mu }{DN}}}$

现在我们有了 4 个向量和标量 *L*，我们可以找到位置 *i* 处的速度

$\mathbf {v} _{i}={\frac {L}{r_{i}}}\mathbf {B} +L\mathbf {S}$

从 3 次观测中确定

雷达观测并不总是可用，但光学观测通常可用。光学测量通常使用赤经和赤纬坐标系进行，因此我们将有 6 个值：α₁、δ₁、α₂、δ₂、α₃、δ₃。我们可以定义三个单位向量 L_i 作为

$\mathbf {L} _{i}={\begin{bmatrix}\cos(\delta _{i})\cos(\alpha _{i})\\\cos(\delta _{i})\sin(\alpha _{i})\\\sin(\delta _{i})\end{bmatrix}}$

利用 **L** 向量，我们可以找到地心赤道位置向量

$\mathbf {r} _{i}=\rho _{i}\mathbf {L} _{i}+\mathbf {r} _{e}$

将此方程与其自身点积，得到第二个方程

$r^{2}=\rho ^{2}+r_{e}^{2}+2\rho \mathbf {L} \cdot \mathbf {r} _{e}$

我们可以求解这两个方程以找到两个未知量 ρ 和 r。利用 r，我们可以找到沿着向量 **L** 方向的位置向量 **r**。

寻找速度向量

我们可以使用拉格朗日插值公式来定义 **L** 向量的导数

$\mathbf {L} '={\frac {2t-t_{2}-t_{3}}{(t_{1}-t_{2})(t_{1}-t_{3})}}\mathbf {L} _{1}+{\frac {2t-t_{1}-t_{3}}{(t_{2}-t_{1})(t_{2}-t_{3})}}\mathbf {L} _{2}+{\frac {2t-t_{1}-t_{3}}{(t_{3}-t_{1})(t_{3}-t_{2})}}\mathbf {L} _{3}$

$\mathbf {L} ''={\frac {2}{(t_{1}-t_{2})(t_{1}-t_{3})}}\mathbf {L} _{1}+{\frac {2}{(t_{2}-t_{1})(t_{2}-t_{3})}}\mathbf {L} _{2}+{\frac {2}{(t_{3}-t_{1})(t_{3}-t_{2})}}\mathbf {L} _{3}$

我们可以使用这些值来找到

$\mathbf {v} =\rho '\mathbf {L} +\rho \mathbf {L} '+\mathbf {r} _{e}$

微分轨道修正

我们已经看到，利用少量观测数据就可以确定一颗卫星的完整轨道。然而，我们进行的初始测量可能会存在误差。由于我们依赖的观测数据很少，我们测量中的任何误差都会被放大，变得更加明显。但是，如果我们增加观测次数，就可以利用新的值来改进我们对轨道的原始“估计”。为此，我们使用一种叫做微分轨道修正的方法。