天体动力学/飞行时间

天体动力学

偏心异常

偏心异常，E，是在轨道几何中心测量的一个角度，该角度位于近地点和卫星位置在半长轴a的辅助圆上的投影之间。

因为绕轨道运行的物体的的位置与其真异常没有直接关系，所以必须引入其他角度参数来确定飞行时间。偏心异常定义为

$\tan {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\tan {\frac {\nu }{2}}$

偏心异常下的轨道方程为

$r=a(1-e\cos E)$

平均异常是绕轨道运行的物体在特定时间内在一个半长轴与其轨道半长轴相同的圆形轨道中运行的角度。回忆一下平均运动的公式

$M=nt=t{\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}$

偏心异常和平均异常之间的关系用开普勒方程表示

$M=E-e\sin E$

飞行时间

从开普勒方程中，从近地点开始的时间为

$t={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}(E-e\sin E)$

更一般地

$t-t_{0}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}(E-E_{0}-e\sin(E-E_{0}))$

非椭圆轨道

双曲线轨道

双曲线轨道的开普勒方程为

$M=e\sinh H-H$

其中H是双曲线异常，类似于偏心异常

$\tanh {\frac {H}{2}}={\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}\tan {\frac {\nu }{2}}$

请注意，这些方程使用了双曲正弦和正切函数。

抛物线轨道

抛物线轨道的从近地点开始的时间可以通过巴克方程表示

$t={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {D^{3}}{3}}\right)$

其中抛物线异常，D为

$D=\tan {\frac {\nu }{2}}$