澳大利亚课程数学/数学方法/函数与图形

澳大利亚课程内容

直线与线性关系:

• 确定两点中点的坐标
• 考察正比例和线性相关的变量的例子
• 识别$y=mx+c$ 图形的特征，包括其线性性质、截距和斜率或梯度
• 在给定足够信息的情况下，找到直线的方程；平行线和垂直线
• 解线性方程。

二次关系回顾:

• 考察二次相关的变量的例子
• 识别$y=x^{2}$、$y=a(x-b)^{2}+c$ 和 $y=a(x-b)(x-c)$ 图形的特征，包括其抛物线性质、转折点、对称轴和截距
• 使用二次公式和配方求解二次方程
• 在给定足够信息的情况下，找到二次方程
• 找到二次函数的转折点和零点，并理解判别式的作用
• 识别一般二次函数$y=ax^{2}+bx+c$ 图形的特征。

反比例:

• 考察反比例的例子
• 识别$y={\frac {1}{x}}$ 和 $y={\frac {a}{x-b}}$ 图形的特征，包括其双曲线形状和渐近线。

幂与多项式:

• 识别$y=x^{n}$（对于 $n\in \mathbb {N}$、$n=-1$ 和 $n={\frac {1}{2}}$） 图形的特征，包括形状和当 $x\to \infty$ 和 $x\to -\infty$ 时的行为
• 识别多项式的系数和次数
• 从因式展开二次和三次多项式
• 识别$y=x^{3}$，$y=a(x-b)^{3}+c$和$y=k(x-a)(x-b)(x-c)$图像的特征，包括形状、截距和当$x\to \infty$和$x\to -\infty$时的行为。
• 在容易得到线性因子的情况下，分解三次多项式。
• 使用技术和代数方法解决三次方程，在容易得到线性因子的情况下。

关系图像:

• 识别$x^{2}+y^{2}=r^{2}$和$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$图像的特征，包括圆形形状、圆心和半径。
• 识别$y^{2}=x$图像的特征，包括抛物线形状及其对称轴。

函数:

• 理解函数的概念，作为集合之间的映射，以及作为根据另一个变量定义一个变量量的规则或公式。
• 使用函数符号、定义域和值域、自变量和因变量。
• 理解函数图像的概念。
• 检查$y=f(x)+a$和$y=f(x+b)$的平移和图像。
• 检查$y=cf(x)$和$y=f(kx)$的拉伸和图像。
• 认识函数和关系之间的区别，以及垂直线测试。

线性方程

识别以下方程的斜率和截距

$y=x$ $y=x-2$ $y=-4x$

$y=x+5$ $y=2x-4$ $y=-x+6$

$y=6x-2$ $y=4x+8$ $y=-2x+5$

$y=8x-4$ $y=3x-9$ $y=-2x+12$

在坐标系中绘制以下线性方程的图形

$y=x+1$ $y=x+3$ $y=2x$

$y=0.5x$ $y=x-2$ $y=-x-3$

$y=3x-4$ $y=-0.5x+3$ $y=-3x+5$

$y=-3x-2$ $y=5x+1$ $y=1.5x+3$

直线和线性关系

中点

假设我们有两个点 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$。这两点之间的中点由以下公式给出

$(x_{m},y_{m})=({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}})$

例子 求点$(2,4)$ 和 $(7,-1)$ 的中点。 求$x$ 坐标 $x_{m}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$ $\therefore x_{m}={\frac {2+7}{2}}$ $\therefore x_{m}=4{\frac {1}{2}}$ 求$y$ 坐标 $y_{m}={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}$ $\therefore y_{m}={\frac {4+(-1)}{2}}$ $\therefore y_{m}=1{\frac {1}{2}}$ 中点的坐标是：$(3{\frac {1}{2}},1{\frac {1}{2}})$

求以下各组点的中点的坐标

$(2,6)$ 和 $(3,3)$ $(0,5)$ 和 $(2,1)$ $(3,2)$ 和 $(1,0)$

$(4,4)$ 和 $(2,-1)$ $(6,-4)$ 和 $(7,-2)$ $(-5,6)$ 和 $(4,-8)$

$(6,1)$ 和 $(-4,-3)$ $(8,-9)$ 和 $(11,-4)$ $(-15,2)$ 和 $(17,-22)$

线性函数

绘制以下线性函数的图形，显示所有关键特征

$y=x+3$ $y=x-2$ $y=2x+4$

$y=0.5x+5$ $y=-x+2$ $y=-0.5x+6$

$y=4-2x$ $y=-0.3x-3$ $y=-6x-8$

双曲线函数

绘制以下双曲线函数的图形，包括所有关键细节，包括渐近线

$y={\frac {2}{x}}+1$ $y={\frac {1}{x}}+3$ $y={\frac {2}{x}}-2$

$y={\frac {-4}{x}}+5$ $y=-{\frac {7}{x}}-3$ $y=-{\frac {3}{x}}+2$

$y={\frac {6}{x}}-6$ $y=-{\frac {1.5}{x}}+9$ $y={\frac {4.7}{x}}+1.4$

解决方案

1.1

$(2,6)$ 和 $(3,3)$ $(0,5)$ 和 $(2,1)$ $(3,2)$ 和 $(1,0)$

$(4,4)$ 和 $(2,-1)$ $(6,-4)$ 和 $(7,-2)$ $(-5,6)$ 和 $(4,-8)$