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示例程序

最小 BASIC 的示例程序将出现在这里。

数值积分

介绍

存在两种情况，需要用数值方法计算定积分的值。其中一个是计算由一组实验数据定义的曲线下的面积，另一个是计算已知数学函数的定积分，但没有已知的积分。前者通常是科学和工程实验工作中的响应函数的情况，而后者通常是物理、数学和工程实际研究的情况。

独立于此，用于积分目的的数值方法的开发（属于应用数学部门的领域）是基于它所产生的简单想法，即如果$y(x)=f(x)$ 是 $x$ 的实值（复值情况可以通过将其分离为实部和虚部来类似地处理）连续函数，定义在区间 $(a,b)$ 中，它的定积分，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{x=a}^{x=b}\lim _{\delta x\rightarrow 0}f(x)\delta x=\lim _{\delta x\rightarrow 0}\sum _{x=a}^{x=b}f(x)\delta x\approx \sum _{x=a}^{x=b}f(x)\Delta x$,

可以近似地计算为在区间 $(a,b)$ 中的某些给定点上计算的乘积 $f(x)\Delta x$ 的有限和。

在实验数据的情况下，测量函数值的点集通常不是规律分布的（即，点不是等间隔的），因此必须以以下形式计算定积分的值

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{{x_{0}}=a}^{x_{1}}f(x)dx+\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx+...+\int _{x_{n-2}}^{x_{n-1}}f(x)dx+\int _{x_{n-1}}^{x_{n}=b}f(x)dx$,

可以近似地计算为

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx f({x_{0}}=a)({x_{1}}-{x_{0}})+f({x_{1}})({x_{2}}-{x_{1}})+...+f({x_{n-2}})({x_{n-1}}-{x_{n-2}})+f({x_{n-1}})({x_{n}}-{x_{n-1}})$,

或者

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx f({x_{1}})({x_{1}}-{x_{0}})+f({x_{2}})({x_{2}}-{x_{1}})+...+f({x_{n-1}})({x_{n-1}}-{x_{n-2}})+f({x_{n}}=b)({x_{n}}-{x_{n-1}})$.

在第一种情况下，对于单调递增（递减）函数，积分值被低估（高估），因为在每次评估中取的 $f(x)$ 在每个子区间内总是最低（最高），因此构成了积分值的绝对下界（上界），而在第二种情况下，对于单调递减（递增）函数，积分值被高估（低估），因为在每次评估中取的 $f(x)$ 在每个子区间内总是最高（最低），因此构成了积分值的绝对上界（下界）。

根据微积分中的中值定理，定积分的值也可以计算为

$\int _{a}^{b}f(x)dx=f(\gamma )(b-a)$,

对于 $(a,b)$ 中的某个值 $\gamma$ ，其中 $f(\gamma )$ 代表 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 中的平均值，因此，将一组实验数据的定积分计算为

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{{x_{0}}=a}^{x_{1}}f(x)dx+\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx+...+\int _{x_{n-2}}^{x_{n-1}}f(x)dx+\int _{x_{n-1}}^{x_{n}=b}f(x)dx$,

$\int _{a}^{b}f(x)dx=f(\gamma _{(0,1)})({x_{1}}-{x_{0}})+f(\gamma _{(1,2)})({x_{2}}-{x_{1}})+...+f(\gamma _{(n-2,n-1)})({x_{n-1}}-{x_{n-2}})+f(\gamma _{(n-1,n)})({x_{n}}-{x_{n-1}})$,

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {f({x_{0}})+f({x_{1}})}{2}}({x_{1}}-{x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})+f({x_{2}})}{2}}({x_{2}}-{x_{1}})+...+{\frac {f({x_{n-2}})+f({x_{n-1}})}{2}}({x_{n-1}}-{x_{n-2}})+{\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{n}})}{2}}({x_{n}}-{x_{n-1}})$.

由于一些我们将在后面看到的理由，这等效于假设在不同点之间有一个分段线性插值函数，并且如此计算出的积分值对于线性函数是精确的（即，斜率以恒定速率变化的函数），尽管对于斜率以非恒定速率增长的函数（即，它的二阶导数在所考虑的区间内严格为正），它被低估了，并且对于斜率以非恒定速率减小的函数（即，它的二阶导数在所考虑的区间内严格为负），它被高估了。如此计算出的值构成比之前提出的上下界更好的近似值，并且在函数的二阶导数（可以通过二阶差分或中心差分从实验数据中计算得到）在子区间之间改变符号的情况下，由于近似平均值的误差抵消，该值预计接近实际值。

对于数学函数，我们拥有更多关于函数的信息，因为不仅可以计算函数在任何给定点的值，还可以计算一阶、二阶和更高阶导数，且具有任意精度。

让我们详细阐述一些数学结果，从简单到更复杂的方法。

数值方法开发的主要主题，以及稳定性研究（即，如果一个方法收敛），是方法的收敛速度，它研究需要多少次评估以及近似误差（对于非迭代方法），或者需要多少次迭代以及误差在每次迭代中如何最小化（对于迭代方法）。

在稳定性研究中，正如我们之前看到的，函数$f(x)$在区间$(a,b)$内定义的定积分的值，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{x=a}^{x=b}\lim _{\delta x\rightarrow 0}f(x)\delta x=\lim _{\delta x\rightarrow 0}\sum _{x=a}^{x=b}f(x)\delta x\approx \sum _{x=a}^{x=b}f({x_{k}})\Delta {x_{k}}$,

可以近似地计算为在区间 $(a,b)$ 中的某些给定点上计算的乘积 $f(x)\Delta x$ 的有限和。

在极限 $\Delta x\rightarrow \delta x\rightarrow 0$ 中，有限和趋于无穷积分，因此收敛性得到保证。

在收敛速度研究中，我们感兴趣的是提高近似值的精度，同时保持子区间的数量，并且计算复杂度的增加很小。

通常使用的方法是在每个子区间内使用函数 $f(x)$ 的值进行多项式近似，使用子区间内几个点的函数值提供的信息。

让我们考虑等间距点的例子（尽管这个限制很容易解除）

根据定义，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{x=a}^{x=b}\lim _{\delta x\rightarrow 0}f(x)\delta x=\lim _{\delta x\rightarrow 0}\sum _{x=a}^{x=b}f(x)\delta x\approx \sum _{x=a}^{x=b}f({x_{k}})\Delta {x_{k}}=\sum _{x=a}^{x=b}f({x_{k}})({x_{j+1}}-{x_{j}})$,

其中 $k$ 表示子区间，${x_{k}}$ 是每个子区间 $({x_{j}},{x_{j+1}})$ 中的任意数，其中 $j=0,1,2,...,n-1$，以及 ${x_{0}}=a,{x_{n}}=b$，并且 $\Delta {x_{k}}=({x_{j+1}}-{x_{j}})$，其中 $k=1,2,...,n$，以及 $j=k-1$.

微积分中值定理告诉我们，如果

$\int _{a}^{b}f(x)dx$

如果 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的定积分，则在 $(a,b)$ 中存在一个值 $\gamma$，使得

$\int _{a}^{b}f(x)dx=f(\gamma )(b-a)$.

此外，根据定义，如果

$\int _{a}^{b}f(x)dx$

是 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的定积分，那么它也可以理解为由以下各个部分的贡献组成：

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{{x_{0}}=a}^{x_{1}}f(x)dx+\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx+...+\int _{x_{n-2}}^{x_{n-1}}f(x)dx+\int _{x_{n-1}}^{x_{n}=b}f(x)dx$

其中 ${x_{0}}=a,{x_{1}},{x_{2}},...,{x_{n-2}},{x_{n-1}},{x_{n}}=b$ 是任意值。

现在，对每个部分应用均值定理，得到结果

$\int _{a}^{b}f(x)dx=f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})})({x_{1}}-{x_{0}})+f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})})({x_{2}}-{x_{1}})+...+f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})({x_{n-1}}-{x_{n-2}})+f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})({x_{n}}-{x_{n-1}})$,

这个结果是精确的。

在每个子区间大小相等的情况下，即 $({x_{1}}-{x_{0}})=({x_{2}}-{x_{1}})=...=({x_{n-1}}-{x_{n-2}})=({x_{n}}-{x_{n-1}})=\Delta x$，则表达式简化为

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\left(f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})})+f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})})+...+f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\right)\Delta x$.

这样，求初始定积分就简化为求平均值

$f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})}),f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})}),...,f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})}),f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})$.

在第一次近似中，只有一个点，

$f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})})\approx f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})}),f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})})\approx f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})}),...,f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})\approx f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})}),f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})$,

其中 ${x_{i}}$ 是 $x$ 在每个子区间中的中间值，从而得到

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+...+f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})\right)\Delta x$.

在第二种近似中，只有两个点，

$f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})})\approx {\frac {f({x_{0}})+f({x_{1}})}{2}},f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})})\approx {\frac {f({x_{1}})+f({x_{2}})}{2}},...,f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})\approx {\frac {f({x_{n-2}})+f({x_{n-1}})}{2}},f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx {\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{n}})}{2}}$,

其中 ${x_{n-1}},{x_{n}}$ 是每个子区间的开头和结尾处的 $x$ 值，这会导致

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+2f({x_{1}})+...+2f({x_{n-1}})+f({x_{n}})\right)\Delta x/2$.

在第三种近似中，只有三个点，

$f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})})\approx {\frac {f({x_{0}})+f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+f({x_{1}})}{3}},f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})})\approx {\frac {f({x_{1}})+f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+f({x_{2}})}{3}},...,f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})\approx {\frac {f({x_{n-2}})+f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+f({x_{n-1}})}{3}},f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx {\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})}{3}}$,

其中 ${x_{n-1}},{x_{i}},{x_{n}}$ 分别是每个子区间的开始、中间和结束处的 $x$ 的值，这将导致

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+2f({x_{1}})+f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+2f({x_{2}})+...+2f({x_{n-2}})+f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+2f({x_{n-1}})+f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})\right)\Delta x/3$.

在第四个近似中，虽然仍然使用函数$f(x)$ 在每个子区间的开始、中间和结束处进行评估，但可以使用以下结果：如果 $f(\gamma ^{-})$ 和 $f(\gamma ^{+})$ 是对 $f(\gamma )$ 的估计，那么它们的算术平均数 $\left(f(\gamma ^{-})+f(\gamma ^{+})\right)/2$ 也是另一个估计，至少具有相同的精度，甚至可能更好。

因此，将第一个和第二个近似结果加起来，然后除以 2，

$f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx {\frac {f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+{\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{n}})}{2}}}{2}}={\frac {f({x_{n-1}})+2f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})}{4}}$,

这导致了以下结果

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+2f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+2f({x_{1}})+2f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+2f({x_{2}})+...+2f({x_{n-2}})+2f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+2f({x_{n-1}})+2f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})\right)\Delta x/4$.

将第一个和第三个近似结果加起来，然后除以 2，

$f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx {\frac {f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+{\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})}{3}}}{2}}={\frac {f({x_{n-1}})+4f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})}{6}}$,

这导致了以下结果

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+4f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+2f({x_{1}})+4f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+2f({x_{2}})+...+2f({x_{n-2}})+4f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+2f({x_{n-1}})+4f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})\right)\Delta x/6$.

在实践中，如果只在一个区间内进行三次评估，就不能做得更好，但即使在一个区间内，获得的结果也足够简单和准确。

让我们通过一个例子来说明这种情况。

假设我们想要计算函数 $f(x)=exp(x)$ 在区间 $(0,1)$ 的定积分，我们知道它的精确值是 $F(x)|_{0}^{1}=\int _{0}^{1}exp(x)dx=exp(x)|_{0}^{1}=exp(1)-exp(0)=2.71828-1.00000=1.71828$.

为了保持问题的简单性，我们只用一个区间进行计算，即 ${x_{0}}=a=0.0$，${x_{n}}=b=1.0$ 和 $x_{i}=0.5$.

因此，我们有

第一次近似

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx f(x_{i})(b-a)=exp(0.5)(1.0-0.0)=1.64872$

这等于相对误差为

$error={\frac {1.64872-1.71828}{1.71828}}\times 100=-4.04823\%$.

第二次近似

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {f(x_{a})+f(x_{b})}{2}}(b-a)={\frac {exp(0.0)+exp(1.0)}{2}}(1.0-0.0)=1.85914$

这等于相对误差为

$error={\frac {1.85914-1.71828}{1.71828}}\times 100=+8.19774\%$.

第三次近似

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {f(x_{a})+f(x_{i})+f(x_{b})}{3}}(b-a)={\frac {exp(0.0)+exp(0.5)+exp(1.0)}{3}}(1.0-0.0)=1.78900$

这等于相对误差为

$error={\frac {1.85914-1.71828}{1.71828}}\times 100=+8.19774\%$.

第四次近似，第一项和第二项（线性展开）

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {f(x_{a})+2f(x_{i})+f(x_{b})}{4}}(b-a)={\frac {exp(0.0)+2\times exp(0.5)+exp(1.0)}{4}}(1.0-0.0)=1.75393$

这等于相对误差为

$error={\frac {1.75393-1.71828}{1.71828}}\times 100=+2.07475\%$.

第四次近似，第一项和第三项（二次展开）

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {f(x_{a})+4f(x_{i})+f(x_{b})}{6}}(b-a)={\frac {exp(0.0)+4\times exp(0.5)+exp(1.0)}{6}}(1.0-0.0)=1.71886$

这等于相对误差为

$error={\frac {1.71886-1.71828}{1.71828}}\times 100=+0.0337589\%$.

如果需要更高的精度，可以类似地引入 $f(x)$ 在 $x_{i}$ 附近的展开式中的高阶项，或者在之前考虑的其中一种方法中将积分步长减半。

让我们考虑在展开式中考虑高阶项的情况，即：

$f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx {\frac {f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+{\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{i}}_{1/4})+f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{i}}_{3/4})+f({x_{n}})}{5}}}{2}}={\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{i}}_{1/4})+6f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{i}}_{3/4})+f({x_{n}})}{10}}$,

这导致了以下结果

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+f({x_{1/4}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+6f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+f({x_{3/4}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+2f({x_{1}})+...+2f({x_{n-1}})+f({x_{1/4}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+6f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{1/4}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})\right)\Delta x/10$.

让我们通过一个例子来说明这种情况。

假设我们想要计算函数 $f(x)=exp(x)$ 在区间 $(0,1)$ 的定积分，我们知道它的精确值是 $F(x)|_{0}^{1}=\int _{0}^{1}exp(x)dx=exp(x)|_{0}^{1}=exp(1)-exp(0)=2.71828-1.00000=1.71828$.

为了简化问题，我们用两个区间进行计算，即 ${x_{0}}=a=0.0$, ${x_{n}}=b=1.0$, ${x_{1}}=0.5$, ${x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})}=0.25$ 以及 ${x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})}=0.25$.

应用二阶展开

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+4f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+2f({x_{1}})+4f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+f({x_{2}})\right)\Delta x/6$,

得到

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(exp(0.0)+4exp(0.25)+2exp(0.5)+4exp(0.75)+exp(1.0)\right)\times 0.5/6=1.71832$,

这相当于相对误差为

$error={\frac {1.71832-1.71828}{1.71828}}\times 100=+0.00216456\%$.

应用四阶展开

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f(0.0)+f(0.25)+6f(0.50)+f(0.75)+f(1.0)\right)1.0/10$,

得到

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(exp(0.0)+7exp(0.25)+2exp(0.5)+7exp(0.75)+exp(1.0)\right)\times 1.0/10$.

我们从差分学知道，任何函数都可以表示为多项式展开

$f(x)=f({x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}({x}-{x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-2f({x_{i}})+f({x_{0}})}{({x_{1}}-{x_{0}})^{2}}}({x}-{x_{0}})^{2}+...$

在正向差分的情况下，或者

$f(x)=f({x_{1}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}({x}-{x_{1}})+{\frac {f({x_{1}})-2f({x_{i}})+f({x_{0}})}{({x_{1}}-{x_{0}})^{2}}}({x}-{x_{1}})^{2}+...$

在反向差分的情况下，或者

$f(x)=f({x_{i}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}({x}-{x_{i}})+{\frac {f({x_{1}})-2f({x_{i}})+f({x_{0}})}{({x_{1}}-{x_{0}})^{2}}}({x}-{x_{i}})^{2}+...$

在中心差分的情况下。

在第一近似中，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}\left(f({x_{0}})+h({x_{0}})(x-{x_{0}})\right)dx\approx \int _{a}^{b}f({x_{0}})dx=f({x_{0}})(b-a)=f({x_{0}})({x_{1}}-{x_{0}})=f({x_{0}})\Delta x$

$\int _{a}^{b}h({x_{0}})(x-{x_{0}})dx=h({x_{0}}){\frac {(x-{x_{0}})^{2}}{2}}|_{a}^{b}=h({x_{0}}){\frac {(b-{x_{0}})^{2}-(a-{x_{0}})^{2}}{2}}=h({x_{0}}){\frac {({x_{1}}-{x_{0}})^{2}-({x_{0}}-{x_{0}})^{2}}{2}}=h({x_{0}}){\frac {({x_{1}}-{x_{0}})^{2}}{2}}=h({x_{0}}){\frac {\Delta x^{2}}{2}}\simeq f'({x_{0}}){\frac {\Delta x^{2}}{2}}$

在向前差分的情况下，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}\left(f({x_{1}})+h({x_{1}})(x-{x_{1}})\right)dx\approx \int _{a}^{b}f({x_{1}})dx=f({x_{1}})(b-a)=f({x_{1}})({x_{1}}-{x_{0}})=f({x_{1}})\Delta x$

$\int _{a}^{b}h({x_{1}})(x-{x_{1}})dx=h({x_{1}}){\frac {(x-{x_{1}})^{2}}{2}}|_{a}^{b}=h({x_{1}}){\frac {(b-{x_{1}})^{2}-(a-{x_{1}})^{2}}{2}}=h({x_{1}}){\frac {({x_{1}}-{x_{1}})^{2}-({x_{0}}-{x_{1}})^{2}}{2}}=h({x_{1}}){\frac {-({x_{0}}-{x_{1}})^{2}}{2}}=-h({x_{1}}){\frac {\Delta x^{2}}{2}}\simeq -f'({x_{1}}){\frac {\Delta x^{2}}{2}}$

在后向差分的情况下，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}\left(f({x_{i}})+h({x_{i}})(x-{x_{i}})\right)dx\approx \int _{a}^{b}f({x_{i}})dx=f({x_{i}})(b-a)=f({x_{i}})({x_{1}}-{x_{0}})=f({x_{i}})\Delta x$

$\int _{a}^{b}h({x_{i}})(x-{x_{i}})dx=h({x_{i}}){\frac {(x-{x_{i}})^{2}}{2}}|_{a}^{b}=h({x_{i}}){\frac {(b-{x_{i}})^{2}-(a-{x_{i}})^{2}}{2}}=h({x_{i}}){\frac {({x_{1}}-{x_{i}})^{2}-({x_{0}}-{x_{i}})^{2}}{2}}=h({x_{i}}){\frac {(\Delta x/2)^{2}-(-\Delta x/2)^{2}}{2}}=h({x_{i}}){\frac {\Delta x^{2}-\Delta x^{2}}{4}}=0$

在中心差分的情况下。

因此，在用单个点对积分进行估算的情况下，如果函数在估算点的斜率值是正的，则使用前向（后向）差分，积分值总是被低估（高估）；如果函数在估算点的斜率值是负的，则使用前向（后向）差分，积分值总是被低估（高估）。估算误差与函数在估算点的斜率值成正比，并与积分步长的平方的一半成正比。在使用中心差分对积分进行估算的情况下，对于线性函数，积分值是精确的。

在第二阶近似中，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}\left(f({x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}({x}-{x_{0}})+h({x_{0}})(x-{x_{0}})^{2}\right)dx$

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx f({x_{0}})({x_{1}}-{x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}{\frac {({x_{1}}-{x_{0}})^{2}}{2}}=f({x_{0}})({x_{1}}-{x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{2}}({x_{1}}-{x_{0}})={\frac {f({x_{1}})+f({x_{0}})}{2}}({x_{1}}-{x_{0}})={\frac {f({x_{1}})+f({x_{0}})}{2}}\Delta x$

$\int _{a}^{b}h({x_{0}})(x-{x_{0}})^{2}dx=h({x_{0}}){\frac {(x-{x_{0}})^{3}}{3}}|_{a}^{b}=h({x_{0}}){\frac {({x_{1}}-{x_{0}})^{3}-({x_{0}}-{x_{0}})^{3}}{3}}=h({x_{0}}){\frac {({x_{1}}-{x_{0}})^{3}}{3}}=h({x_{0}}){\frac {\Delta x^{3}}{3}}\simeq f''({x_{0}}){\frac {\Delta x^{3}}{3}}$

在向前差分的情况下，

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}\left(f({x_{1}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}({x}-{x_{1}})\right)dx=f({x_{1}})({x_{1}}-{x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}{\frac {({x_{1}}-{x_{1}})^{2}-({x_{0}}-{x_{1}})^{2}}{2}}$