分数介绍

当你将（分割）某物分成两个或多个部分时，你得到的就是普通分数。普通分数通常写成两个数字：一个上面，一个下面。普通分数也可以用文字表达。上面的数字称为分子，下面的数字称为分母（“de-”前缀是拉丁语中的反义词）或除数。

${\frac {\text{numerator}}{\text{denominator}}}$

这两个数字总是用一条线隔开，这条线称为分数线。这种表示分数的方式称为显示表示。在日常语言中，普通分数通常简称为分数。

任何给定分数的分子告诉你你有多少部分。例如，如果你把一个披萨分成六份相等的份，你拿了两份披萨，那么你就有 ${\tfrac {2}{6}}$ （读作六分之二）的披萨。另一种看待它的方式是考虑相等的部分；当那个披萨被分成六个相等的部分时，每个部分正好是 ${\tfrac {1}{6}}$ （六分之一）的整个披萨。

分母告诉你一个整体有多少部分，在这种情况下是你的披萨。你的披萨被切成了六个相等的部分，因此整个披萨由六个相等的切片组成。所以当你拿了两片给自己时，只剩下四片披萨，或者 ${\tfrac {4}{6}}$ （六分之四）。

还要记住，分子永远不能是零。把零分成部分是没有意义的。例如，分数 ${\tfrac {0}{6}}$ 等于零，因为你不可能有六片什么都没有。如果分母是零，那么分数就没有意义，或者被认为是未定义的，因为它可能取决于你正在使用的数学环境，在本节中，我们将认为它没有意义。

另一种表示分数的方法是在分子和分母之间使用斜线。

1/2\

在这种情况下，分子和分母之间的分隔符称为斜线、斜杠或分数线。这种表示分数的方式称为行内表示，意味着分数与文本中的其他部分对齐。你经常会在文本中看到行内表示，在这些文本中作者无法使用显示表示。

真分数

我们刚刚用披萨类比的这个分数被称为真分数。在真分数中，分子（上面的数字）总是小于分母（下面的数字）。因此，真分数的值总是小于1。真分数通常是你将在数学中遇到的最常见的类型。

假分数

当分数的分子大于或等于分母时，就叫做假分数。例如，分数 ${\tfrac {5}{3}},{\tfrac {2}{1}}$ 和 ${\tfrac {6}{6}}$ 都被认为是假分数。假分数的值始终为一个或多个整体。因此，对于 ${\tfrac {6}{6}}$ ，分子表示你有 6 块，但 6 也是一个整体的数量，所以这个分数的值就是一个整体。就像你在切完披萨后没有人吃了一块一样。

对于 ${\tfrac {5}{3}}$ ，一个整体被分成三等份，但你手上有五份（你吃了两个披萨，每个分成三块，你吃了一块）。这意味着你多了两块，或者比一个整体多了两块。这个概念一开始可能看起来很混乱和奇怪，但随着你在数学方面变得更好，你最终会把两加二加起来得到完整的画面（好吧，糟糕的双关语）。

带分数

当一个整数与分数并列写在一起时，例如 $2{\tfrac {1}{3}}$ （二又三分之一），你所看到的是所谓的带分数。带分数被理解为整数和分数的总和。在 $2{\tfrac {1}{3}}$ 中的数字二代表两个整体 - 你还有三分之一的东西，也就是 ${\tfrac {1}{3}}$ 。

化简分数

有时在数学中，你需要用更小的数字重写分数，同时保持分数的值不变。这被称为化简，或化成最简分数。应该指出的是，一个未简化的分数本身并不一定错误，但它可能会让查看你工作的人感到困惑。有两种方法可以简化分数，并且这两种方法在任何时候你使用分数时都会很有用，所以建议你学习这两种方法。

重申一下，化简分数本质上是用另一个等值的分数，称为等值分数，来替换你的原始分数。以下是一些等值分数的例子。

${\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}},{\frac {8}{12}}={\frac {2}{3}},{\frac {6}{10}}={\frac {3}{5}}$

当分数 ${\frac {4}{8}}$ 化成最简分数时，它就变成了 ${\frac {1}{2}}$ ，因为八分之四正好是所有可用块的一半。当分子和分母都不能被除了 1 以外的任何数整除时，分数也处于最简形式。

除法方法

要将分数化成最简分数，你必须用能同时整除分子和分母的最大整数来除分子和分母。例如，要将分数 ${\tfrac {3}{9}}$ 化成最简分数，用 3 除分子（3）和分母（9）。

${\frac {3\div 3}{9\div 3}}={\frac {1}{3}}$

如果最大公因数不明显，而很多时候它并不明显，就将分子和分母除以任何能被它们整除的数（除了 1），然后重复此过程，直到分数化简到最低项。如果分子和分母都是偶数，那么就可以将它们都除以 2。

为了清楚起见，下面是几个使用这种方法化简分数的例子。

例题

将 ${\tfrac {12}{20}}$ 化简到最低项。

解题

在这个问题中，最大公因数并不容易看出来，所以我们首先将分子和分母都除以 2，如下所示

${\frac {12\div 2}{20\div 2}}={\frac {6}{10}}$

接下来再除以 2

${\frac {6\div 2}{10\div 2}}={\frac {3}{5}}$
没有剩余的整数能被 ${\tfrac {3}{5}}$ 整除，所以问题就完成了。

答案

${\tfrac {12}{20}}$ 化简到最低项是 ${\tfrac {3}{5}}$

例题

将 ${\tfrac {18}{24}}$ 化简到最低项。

解题

将分子和分母都除以 6，如下所示

${\frac {18\div 6}{24\div 6}}={\frac {3}{4}}$

答案

${\tfrac {18}{24}}$ 化简到最低项是 ${\tfrac {3}{4}}$ .

例题

将 ${\tfrac {112}{126}}$ 化简到最低项。

解题

在这个问题中，最大公因数并不立即显而易见，所以我们首先将分子和分母都除以 2，如下所示

${\frac {112\div 2}{126\div 2}}={\frac {56}{63}}$

接下来除以 7

${\frac {56\div 7}{63\div 7}}={\frac {8}{9}}$

答案

${\tfrac {112}{126}}$ 化简到最低项是 ${\tfrac {8}{9}}$ .

最大公因数法

化简分数的第二种方法是找到分子和分母的最大公因数。我们通过将分子和分母分解成它们的质因数来做到这一点（最大公因数 = 2x2 = 4）

${\frac {12}{16}}={\frac {2\times 2\times 3}{2\times 2\times 2\times 2}}={\frac {2\!\!\!/\times 2\!\!\!/\times 3}{2\!\!\!/\times 2\!\!\!/\times 2\times 2}}={\frac {3}{4}}$

任何部分都隐含着乘以1。如果我们从分解的分数中约去2，那么分母中就只剩下一个2。

${\frac {4}{8}}={\frac {1\times 2\!\!\!/\times 2\!\!\!/}{2\times 2\!\!\!/\times 2\!\!\!/}}={\frac {1}{2}}$

最好练习这些简化分数的技巧，直到你对自己能够独立完成感到自信。记住，熟能生巧。

将分数升至更高的项

将分数升至更高的项是指用更大的数字重新写它，同时保持分数的值与原来的等价。从本质上说，这与简化分数完全相反。

例题

将 ${\frac {2}{5}}$ 转换为一个分母为15的分数。

{\frac {2}{5}}={\frac {?}{15}}

步骤1

问问自己：“什么数字乘以5等于15？”要找到答案，只需将5除以15。

{15}\div {5}=3

步骤2

将两个分母相除后，必须将答案乘以你已有的分子。在本例中，我们将2乘以3来求出缺失的分子。

{2}\times {3}={6}

答案

{\frac {2}{5}}={\frac {6}{15}}

将假分数转换为带分数

通常你会遇到假分数。虽然这在某些情况下可能有用，但通常最好将分数转换为最简形式或带分数。

要将假分数转换为带分数，将分母除以分子。

例题

将 ${\frac {13}{2}}$ 转换为带分数。

解题

将13除以2，使用长除法获得商和余数。 ${13}\div {2}={6\ {\mbox{r}}\ 1}$

答案

为了形成答案的真分数部分，我们将除数（**2**）作为分母，将余数（**r1**）作为分子。最后，我们将除法的答案（在本例中为6）用作整数。

因此， ${\frac {13}{2}}$ 的带分数形式是 $6\,\!{\frac {1}{2}}$

加分数

加具有相同分母的分数

要加同分母的分数，只需要将分子相加，而分母保持不变。

{\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}={\frac {1+3}{5}}={\frac {4}{5}}

加同分母的分数是规则，但它引出了一个问题：为什么？为什么我不能（或不应该）将分子和分母都加起来呢？

{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4+4}}={\frac {2}{8}}

为了理解这一点，试着用一把 12 英寸的尺子画一条 3 英寸的水平线（1/4 英尺），然后在末端加上另一条 3 英寸的线（1/4 英尺）。线的总长度是多少？应该是 6 英寸（1/2 英尺），而不是 2/8 英尺（3 英寸）。实质上，似乎我们只能加同类项，而同类项是指分母相同的项，我们通过将分子相加来将它们加起来。