生物物理学/热机、冰箱和效率

效率

效率的一般定义是效益与成本之比。

因此，由于效率 = 效益 / 成本，要达到 100% 的效率，效益 / 成本需要等于 1。

我们知道， $q_{H}=w+q_{C}$ 适用于热机（参见下图）。重新排列得到 $w=q_{H}-q_{C}$ 。效率是指我们从发动机中获得的功与输入发动机的热量之比。效率 $efficiency={\frac {w}{q_{H}}}={\frac {(q_{H}-q_{C})}{q_{H}}}={\frac {1-q_{C}}{q_{H}}}$ 。我们还想证明 $efficiency={\frac {1-q_{C}}{q_{H}}}\leq {\frac {1-T_{C}}{T_{H}}}.$ 。这意味着效率将与高温和低温以及热量 $q$ 相关。

利用理想气体方程，我们知道 $PV=Nk_{B}T$ 。根据卡诺循环（图 #），我们知道 ${\frac {q_{c}}{q_{H}}}={\frac {(Nk_{B}T_{C}ln(V_{4}/V_{3}))}{(Nk_{B}T_{H}ln(V_{2}/V_{1}))}}$ 。 $Nk_{B}$ 项被抵消，只剩下 ${\frac {q_{C}}{q_{H}}}={\frac {T_{C}ln(V_{4}/V_{3})}{T_{H}ln(V_{2}/V_{1})}}$ 。

为了证明这种关系可以让我们联系 ${\frac {q_{C}}{q_{H}}}={\frac {T_{C}}{T_{H}}}$ ，我们观察 $\Delta U=w={\frac {f}{2}}Nk_{B}\Delta T$ 。对于绝热过程，这是成立的，因为 Q = 0。所以 $\Delta U=-P\Delta V$ 。这里存在 ΔT 和 ΔV，因此需要进行小的增量变化，从而导致积分。（数字，#，）表示推导中的步骤）。

1.) ${\frac {f}{2}}Nk_{B}\Delta T=-{\frac {Nk_{B}T}{V}}\Delta V$

2.) ${\frac {f}{2}}{\frac {\Delta T}{T}}=-{\frac {\Delta V}{V}}$

然后，我们对两边进行积分

3.) $\int _{T_{i}}^{T_{f}}{\frac {f}{2}}{\frac {1}{T}}dT=-\int _{V_{i}}^{V_{f}}{\frac {1}{V}}dV$

4.) ${\frac {f}{2}}ln(T_{f}/T_{i})=ln(V_{i}/V_{f})$ （注意符号变化导致方程左侧自然对数内部的项翻转）。

如果我们对两边取指数，那么 ln() 中的项将被释放。

5.) $e^{{\frac {f}{2}}ln(T_{f}/T_{i})}=e^{ln(V_{i}/V_{f})}$

6.) $e^{ln(T_{f}/T_{i})^{\frac {f}{2}}}=e^{ln(V_{i}/V_{f})}$

7.) ${\frac {T_{f}^{\frac {f}{2}}}{T_{i}^{\frac {f}{2}}}}={\frac {V_{i}}{V_{f}}}$

将最终项和初始项分组

8.) $T_{f}^{\frac {f}{2}}V_{f}=T_{i}^{\frac {f}{2}}V_{i}$

我们知道，对于绝热过程， $T^{\frac {f}{2}}V$ 是一个常数。由于它们相等，我们可以对两边进行除法，并消去 $T_{H}$ 和 $T_{C}$ .

9.) ${\frac {T_{H}^{\frac {f}{2}}V_{2}}{T_{H}^{\frac {f}{2}}V_{1}}}={\frac {T_{C}^{\frac {f}{2}}V_{3}}{T_{C}^{\frac {f}{2}}V_{4}}}$

这将得到

10.) ${\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {V_{3}}{V_{4}}}$

如果我们将这些分数代入原始公式 ${\frac {q_{C}}{q_{H}}}={\frac {T_{C}ln(V_{4}/V_{3})}{T_{H}ln(V_{2}/V_{1})}}$ 中，我们知道根据我们刚刚推导出的等式， ${\frac {ln(V_{4}/V_{3})}{ln(V_{2}/V_{1}}}=1$ 。