CLEP 代数/二项式定理

快速问题：$(2x-4)^{2}$ 等于什么？嗯，要找到它，我们需要将 $(2x-4)$ 乘以两次，因为指数表示你将任何值 $a$ 乘以 $n$ 次，我们表示为 $a^{n}$。令 $a=(2x-4)$ 且 $n=2$。

$a^{n}=(2x-4)^{2}=(2x-4)(2x-4)=4x^{2}+-8x+16=4(x^{2}-2x+4)$.

如果这是多项选择题的一部分，你可能很快就能得到答案。但是，如果你必须做这个问题的修改版本呢？

求 $(2x-4)^{10}$。

你可能可以在一段时间后完成这个问题，但是在你完成 CLEP 代数考试之前可能已经太晚了。即使没有太晚，你可能也无法在完成后做其他问题，或者你可能会得到错误的答案，因为以这种方式做这个问题太难了。所以，我们如何解决这个问题？这就是 **二项式展开定理** 发挥作用的地方。在我们先了解公式的基础之后，我们将说明定义。

排列与组合

阶乘符号

例 1.1：使用标准英语字母表（A-Z），你最多可以制作多少个 26 个字母的单词，每个字母只能使用一次？ 让我们从小处开始。试着想象一下所有可能的 $1$ 字母单词的列表，使用标准字母表。在这个列表中，你会看到所有字母表的字母。 现在试着想象一下，用标准字母表可以组成所有可能的 $2$ 个字母的单词列表。如果你仔细想想，这其实就是 $26{\text{ letters}}\cdot 25{\text{ letters}}$。毕竟，你有 $26$ 个字母可以选择，但由于不允许重复使用字母，现在你只有 $25$ 个字母可以选择。这适用于任何 $2$ 个字母的单词组合（AB、AC、AD、$\ldots$、BA、BC、$\ldots$、ZA、ZB、$\ldots$、ZY）。 如果你仔细想想，这种模式会持续下去。数字会变大，但它变大的方式是乘以之前的数字减去 $1$。如果你想随机生成一个 $26$ 个字母长的单词，其中每个字母只能使用一次，那么 $$\underbrace {26\cdot 25\cdot 24\cdots 2\cdot 1} _{26}{\text{ words can be created from the standard English alphabet.}}$$

在示例 2.1 中，我们想要找到可以生成的 26 个字母的单词数量，前提是每个字母只能使用一次。写下 $\underbrace {26\cdot 25\cdot 24\cdots 2\cdot 1} _{26}$ 作为你的答案可能会有点繁琐。但是，数学家已经找到了一种简写方法。

新符号。

对于任何整数 $x$ 的乘积，其中 $\underbrace {(x)\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdots 2\cdot 1} _{x}$ 为真，令 $\underbrace {(x)\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdots 2\cdot 1} _{x}=x!$，其中“！”读作阶乘。根据定义，$0!=1$。

另一种理解阶乘的方式是将当前整数 $x$ 乘以 1。

为了使上述定义更清晰，这里列举了一些示例

$${\begin{array}{|c|c|}x!&f(x)\\\hline 2!&\underbrace {2\cdot 1} _{2}=2\\\hline 3!&\underbrace {3\cdot 2\cdot 1} _{3}=6\\\hline 4!&\underbrace {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} _{4}=24\\\hline 5!&\underbrace {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} _{5}=120\\\hline \vdots &\vdots \\\end{array}}$$

在示例 1.1 中，答案可以改写为：
$$\underbrace {26\cdot 25\cdot 24\cdots 2\cdot 1} _{26}=26!$$

阶乘符号不仅仅用于特定情况下的乘法表示，它在列出*可能性*或*排列*数量时非常有用。假设你想找出安排 4 名学生在一个小组中的方法数。将每个学生分别称为 A、B、C 或 D，每个学生只能出现一次。以下是几种排列方式：

• A、B、D、C
• A、B、C、D
• A、C、B、D
• A、C、D、B
• A、D、B、C
• A、D、C、B

随着我们继续列出每种排列方式，我们发现排列 4 个学生的方法数是$24$，它等于$4!$。这是有道理的，因为在排列中，同一个学生不能重复出现（不允许克隆！）。

假设你想找出安排 3 个学生在一个小组中的方法数。将每个学生分别称为 B、C 或 D，每个学生只能出现一次。以下是所有学生排列方式。

• B、D、C
• B、C、D
• C、B、D
• C、D、B
• D、B、C
• D、C、B

排列 3 个学生的方法数是$6$，它等于$3!$。

从以上两个示例中，可以清楚地看出阶乘符号非常有用，因为它可以表明排列仅仅是在$n$ 种可能性之间进行选择，然后是$(n-1)$ 种可能性，等等。

组合

示例 1.2：一所高中正在考虑组建一个由 6 名教师组成的委员会，因为学生人数不断增加（之前：500 名学生；之后：700 名学生）。在学校的 200 名教师中，有 15 名教师有资格加入委员会。当增加 6 名教师时，可以组建多少个委员会？ 让我们想象一下一个由 15 名教师组成的群体。我们将从 A 到 O 按顺序分配给他们英文字母。让我们不要将 6 名教师添加到委员会中，而是添加 3 名教师，这样我们就可以了解情况。 在委员会中，我们不关心在桌子旁找到他们的顺序，因为我们只关心他们是否在委员会中。想象一下，我们看到了三位老师，A、B 和 C。 ABC ACB CAB CBA BAC BCA 您上面看到的列表并没有告诉我们有不同的教师，只是顺序不同。但是，我们不关心顺序；因此，我们必须从可能的委员会数量中排除顺序，才能使答案代表委员会的概念。相同数量的教师$x$，排列方式的数量是$x!$。这就是我们“排除”的部分，我们在委员会中找到教师的顺序。 最后要记住的一点是，由于我们从 $15{\text{ teachers}}$ 的一组中选择了 $6{\text{ teachers}}$，我们排除了 $15-6{\text{ teachers}}$ 或 $9{\text{ teachers}}$ 以与我们期望的方式排列到委员会中。因此，我们必须“剔除” $(15-6)!$ 种排列这些老师的方式。由此，我们了解到我们可以安排 $${15! \over (15-6)!6!}={15! \over 9!\cdot 6!}=5005{\text{ teachers into the new committee.}}$$

例子 1.1 和例子 1.2 之间的一个区别是，例子 1.2 中的顺序无关紧要。毕竟，无论你如何排列委员会，你都会计算任何排列，只要相同的元素在其中与其他元素相同。你不能对字母的排列那样做，因为 AB 和 BA 不一样。尽管如此，这个例子并非独立。在很多情况下，无论你如何排列一组东西，可能性数量都不会增加。因此，我们需要一个公式和符号来表示这种情况。

新公式和定义。

在一个排列中，从 $n$ 个对象中选择 $k$ 个对象，其中在计算所有可能性时，选择的顺序无关紧要，可能的排列数量由下式给出：
$${n! \over (n-k)!k!}.$$
这种给定的排列被称为 **组合**。

组合的符号。

${n! \over (n-k)!k!}.$ 的表示方法是 ${\binom {n}{k}}$ 或 $_{n}C_{k}$，大声读出来是 “$n$ 选 $k$”。

我们现在离理解二项式定理又近了一步。在使用一开始学习的公式之前，我们只需要再理解几件事。

多项式和二项式

多项式和推广

看看下面的多项式

$2x^{2}+5x-3$

$-3x^{5}+4x^{4}+5x^{3}-6x$

${12 \over 19}x^{3}+{5 \over 3}x^{2}+{1 \over 12}x-{3 \over 2}$

以上三个多项式共同的特点是它们都是加法运算（记住，实数 $x$ 的加法逆元是 $-x$，所以 $x+(-x)=0$）。这意味着我们有一个级数。为了真正将这个概念牢记于心，我们需要继续将多项式进行推广。以下是对多项式的正式定义。

多项式定义。

多项式是一个项的算术级数，其中索引为 $i$ 的第 $t$ 项为 $t_{i}$。 $t_{i}=a_{i}x^{i}$ 其中 $a_{i}$ 是 $x$ 的系数，而 $i$ 是 $x$ 的幂。设 $k$ 为级数的最后一个索引和系数。一般级数 $t_{0}+t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{k+2}+t_{k+1}+t_{k}$ 的和可以表示为
$$a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{k-2}x^{k-2}+a_{k-1}x^{k-1}+a_{k}x^{k}$$

虽然这个定义看起来很复杂，但不用担心。请记住，每个多项式都必须有度数，在本例中为 $i$。对于每个 $x$，系数是 $a_{i}$。如果 $i=0$，则 $a_{i}x^{i}=a_{0}x^{0}=1\cdot a_{0}=a_{0}$。由于 $i$ 的每次迭代都有不同的系数，一旦 $i=k$，我们就完成了对该级数的书写。因此，每个多项式都具有相同的模式。

多项式的“简写”定义。

多项式是一个算术级数，其中
$${\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{i}=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{k-2}x^{k-2}+a_{k-1}x^{k-1}+a_{k}x^{k}}$$

然而，虽然这是一个令人难以置信的数学事实，但这并不能帮助我们解决最初的问题。毕竟，我们希望能够预测由另一个多项式相乘得到的多项式（因为二项式也是多项式）。然而，上述定义为我们提供了一个巨大的提示，可以帮助我们解决第一个问题。然而，在我们为这种情况创建一个公式之前，我们必须理解另一个概念。

帕斯卡三角形

法国数学家布莱兹·帕斯卡尔，像他之前许多数学家一样，想要研究序列和级数的模式。然而，与我们在本维基教科书中看到的多数模式不同，这种模式不是水平的，而是垂直和对角线的。我们看到的不是一维模式，而是一个二维模式。这种模式呈三角形，如下图所示。