CLEP 代数/指数

想象一下，有一个自然数$a$，它在$b$次重复加到自身。整数$a$被称为被乘数（被乘的东西），而$b$是乘数（你乘以被乘数的东西）。此操作的结果是积。我们将这种特殊操作，$P(a,b)$，称为乘法，这是乘法的定义之一。

$P(a,b)=\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{b}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}a\cdot b=a\times b=a(b)=ab$

这个想法似乎不适用于整数。令$b\in \mathbb {Z} ^{-}$和$a\in \mathbb {Z} ^{+}$是，从现在开始被称为，乘法函数$P(a,b)$的一部分。如果$P(a,b)=\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{b}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}ab$，那么一个数如何能够被加到自身负数次呢？

这个困境需要我们处理一个特殊情况，即 $b\in \mathbb {Z} ^{+}$ 且 $a\in \mathbb {Z} ^{-}$。假设以下情况成立：$a=-p$ 且 $b=q$，其中 $p\in \mathbb {Z} ^{+}$ 且 $q\in \mathbb {Z} ^{+}$。让我们将这两个变量代入我们的乘法函数。

$P(a,b)=\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{b}=\underbrace {(-p)+(-p)+(-p)+\cdots +(-p)+(-p)+(-p)} _{q}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}-pq$

上述定义告诉我们，只需将 $a$ 从自身减去 $b$ 次，即使 $a\in \mathbb {Z} ^{-}$ 为负数。由于 $a$ 减去了 $b$ 次，尽管它为负数。这是我们可以说负数乘以正数为负数（在整数集上）的方式之一。但是，一旦我们交换了数字的角色，这个定义就会失效。我们的下一个例子将尝试证明我们大多数人已经知道的“定理”。

证明 1: 证明将 $a\in \mathbb {Z} ^{+}$ 乘以 $b\in \mathbb {Z} ^{-}$，或者 $x(-y)$，其中 $a=x$ 且 $b=y$，给定 $x\in \mathbb {Z} ^{+}$ 且 $y\in \mathbb {Z} ^{+}$，等价于 $-xy$. 首先，我们需要定义一个数为负数意味着什么。这在我们证明中正式使用它之前至关重要。回想一下，负数的一个性质是它是该数大小的加法逆元。也就是说，给定一个数 $x\in \mathbb {Z} ^{+}$，它的加法逆元是 $-x$。此外，一个数必须等于它本身；这根据定义是正确的。这是等式性质，在我们建立定理时非常重要。 假设我们正在尝试解决问题 $x(-y)+xy$。根据等式性质， (2.0.0.1) $x(-y)+xy=x(-y)+xy$ 在 (2.0.0.1) 中，注意如何 $x$ 是右边两项的公因子。这意味着我们可以将方程改写为以下形式 (2.0.0.2) $x(-y)+xy=x(-y+y)$ 回想一下，我们将负数定义为逆运算。根据加法逆元性质， $-y+y=0$。因此，我们知道 $x(-y+y)=x(0)=0$。我们知道任何数乘以零都等于零，因为我们在上一章证明了这一点。因此，我们得到了一个新的性质 (2.0.0.3) $x(-y)+xy=0$ 根据等式性质的扩展，对等式一边进行的操作必须对另一边进行相同的操作。从这个整数性质，我们可以简单地定义如下 (2.0.0.4) $x(-y)=-xy$ 由此，我们证明了正数乘以负整数等于负整数。 $\blacksquare$

类似的练习可以证明 $-x=(-1)x$ 以及 $(-x)(-y)=xy$。这两个乘法性质使我们能够使乘法的定义对于整数集保持不变。我们将把这两个重要的“定理”留给读者作为非平凡的练习。

有理数开始破坏乘法的“重复加法”概念，因为你如何部分地加一个数呢？让我们演示一下这个问题：令 $a\in \mathbb {Q}$ 以及 $b\in \mathbb {Q}$。允许四个数被定义为一个整数，它们与另一个数互质—— $m$，$n$，$p$，$q$。令 $a={\frac {m}{n}}$ 以及 $b={\frac {p}{q}}$。如果直接应用于我们的旧定义，$P(a,b)$ 会要求我们进行一个奇怪的操作：将一个分数“分数”次地加到自身。这确实很奇怪。虽然我们不会讨论我们是如何在下面确定这个正式定义的，但请记住，数学家花了不止写下这个东西是真的才能被我们今天的词汇接受。

$P(a,b)=ab={\frac {m}{n}}\cdot {\frac {p}{q}}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {mn}{pq}}$.

有理数的定义没有与旧定义矛盾，因为其中每一项都是整数，因此各项的分母都是 $1$。这意味着 $ab=mn=\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{b}=\underbrace {m+m+m+\cdots +m+m+m} _{n}$。我们将跳过定义实数，因为它涉及引入一些纯数学，除非你学习过大学代数甚至微积分，否则你将不会学到这些信息。

这种递归加法定义了一个新的运算，要求我们定义越来越多的特殊情况。这种递归加法的思想可以扩展到减法（构成除法），然后是乘法本身。通过递归乘法，人们得到了指数的概念。正如你过去一样，参考乘法的性质来帮助你进行运算表达式，你也会运用这些思想来学习关于指数性质的知识。

指数的定义（形式一）

正如我们在本页引言中提到的，指数是对底数 $a$ 重复乘以自身 $p$ 次的操作。这个表达式通常读作 $a$ **的** $p$ **次方**。使用函数 $e_{a}(p)$，其中 $a\in \mathbb {N}$ 且 $p\in \mathbb {N}$，我们可以用以下方式表示指数运算，

$e_{a}(p)=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{p}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}a^{p}$

这将帮助我们了解自然数可能具有的性质。通过进一步的阐明，这个幂函数，可以说，将导致一些规则。

指数的性质（在形式一之下）

零次幂: $e_{a}(0)=1$ 当 $a>0$。

函数 $e_{a}(0)=a^{0}$ 对于非零的 $a$ 导致以下结果

$e_{a}(0)=a^{0}=1$

尽管我们可以用另一种方式来思考这个函数，但上述结果是根据定义成立的。这种思考方式将在后面给出。现在，只需简单地认为它是正确的。

幂的乘积: $e_{a}(n)\cdot e_{a}(m)$，其中 $n,m\in \mathbb {N}$。

给定两个指数 $e_{a}(n)=a^{n}$ 和 $e_{a}(m)=a^{m}$，将两者相乘得到以下结果

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

证明 2: $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$ 其中 $a,n,m\in \mathbb {N}$. 指数的这一性质可以通过使用本文中定义的指数定义来证明。根据定义， $e_{a}(n)=a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}$ $e_{a}(m)=a^{m}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{m}$ 因此，在将两个不同的函数相乘时， $a^{n}\cdot a^{m}=\left(\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\right)\cdot \left(\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{m}\right)$ 因为有 $n$ 项被乘以 $m$ 项，其中每一项的底数都是 $a$，并且乘法是结合的，因此可以推断出有 $n+m$ 项 $a$ 相乘在一起。因此，$$a^{n}\cdot a^{m}=\underbrace {\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\cdot \overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{m}} _{n+m}=a^{n+m}$$

幂的商: ${\frac {e_{a}(n)}{e_{a}(m)}}$ 其中 $n,m\in \mathbb {N}$.

给定两个指数 $e_{a}(n)=a^{n}$ 和 $e_{a}(m)=a^{m}$，当 $n>m$ 时，用 $a^{m}$ 除以 $a^{n}$ 将得到以下结果

${\frac {e_{a}(n)}{e_{a}(m)}}=a^{n-m}$

证明 3：${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ 对于 $a,n,m\in \mathbb {N}$ 和 $n>m$ 成立。 请记住，因为我们正在处理自然数，所以 $m\ngtr n$。为了使所有内容都保持在自然数范围内，必须应用此限制。无论如何，让我们继续证明该属性。根据定义， $e_{a}(n)=a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{n}$ $e_{a}(m)=a^{m}=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{m}$ 在将这两个不同的函数相除时， ${\frac {e_{a}(n)}{e_{a}(m)}}={\frac {\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{n}}{\underbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} _{m}}}$ 因为有 $n$ 个被 $m$ 个 $a$ 相除的项，其中每个项的底数都是 $a$，并且逆运算的乘法是结合的，因此可以推断出除法后有 $n-m$ 个 $a$。这可以通过以下操作进一步说明：所有红色的项都被抵消了，剩下的就是没有被抵消的项，即 $n-m$ 个。 ${\frac {e_{a}(n)}{e_{a}(m)}}={\frac {{\color {red}\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{m}}\cdot \overbrace {a\cdot a\cdots a} ^{n-m}}{\color {red}\underbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} _{m}}}$ ${\frac {e_{a}(n)}{e_{a}(m)}}=\overbrace {a\cdot a\cdots a} ^{n-m}$ 因此，$${\frac {a^{n}}{a^{m}}}={\frac {\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{n}}{\underbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} _{m}}}=\overbrace {a\cdot a\cdots a} ^{n-m}=a^{n-m}$$

幂的幂：$\left(e_{a}(n)\right)^{m}$ 其中 $n,m\in \mathbb {N}$。

给定指数运算 $e_{a}(n)=a^{n}$，对于任何 $n,m\in \mathbb {N}$ 使得 $n,m>0$

$\left(e_{a}(n)\right)^{m}=\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\cdot m}$.

对于任何导致 $n\cdot m=0$ 的运算，都有 $a\neq 0$.

证明 4: $\left(e_{a}(n)\right)^{m}=\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\cdot m}$ 对于 $a,n,m\in \mathbb {N}$ 且 $n,m>0$. 倒数第二条规则背后的直觉相当复杂。请务必仔细阅读。 $e_{a}(n)=a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}$ $e_{b}(m)=b^{m}=\overbrace {b\cdot b\cdot b\cdots b\cdot b\cdot b} ^{m}$ 如果 $b=a^{n}$，那么 $e_{a^{n}}(m)=\left(a^{n}\right)^{m}$。根据上面的第二点 $e_{a^{n}}(m)=\left(a^{n}\right)^{m}=\overbrace {a^{n}\cdot a^{n}\cdot a^{n}\cdots a^{n}\cdot a^{n}\cdot a^{n}} ^{m}=\overbrace {\left(\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\right)\cdots \left(\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\right)} ^{m}$ 请仔细注意此操作告诉我们的内容：存在$n$个常数$a$自乘，此操作重复$m$次。因为$n$个$a$的因子被再次自乘作为其操作$m$次，总共有$n\cdot m$个这样的因子。因此：$$\left(a^{n}\right)^{m}=\overbrace {a^{n}\cdot a^{n}\cdot a^{n}\cdots a^{n}\cdot a^{n}\cdot a^{n}} ^{m}=\overbrace {\left(\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\right)\cdots \left(\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\right)} ^{m}=a^{n\cdot m}$$

底数的倍数：$e_{ab}(n)$，其中$a,b,n\in \mathbb {N}$。

给定指数运算$e_{ab}(n)=(ab)^{n}$，对于任何$a,b,n\in \mathbb {N}$

$e_{ab}(n)=a^{n}b^{n}$.

证明 5：$e_{ab}(n)=a^{n}b^{n}$ 对于$a,b,n\in \mathbb {N}$。 这将是本章中最简单的证明。只需要指数的定义；具体来说，就是说明该运算只是重复的乘法。我们给出以下内容 $e_{ab}(n)=(ab)^{n}=\overbrace {ab\cdot ab\cdots ab\cdot ab} ^{n}$ 因为乘法是结合的， $\overbrace {ab\cdot ab\cdots ab\cdot ab} ^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\cdot \overbrace {b\cdot b\cdots b\cdot b} ^{n}$ 由此我们得知 $$(ab)^{n}=\overbrace {ab\cdot ab\cdots ab\cdot ab} ^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\cdot \overbrace {b\cdot b\cdots b\cdot b} ^{n}=a^{n}b^{n}$$