CLEP 代数/多项式

多项式

多项式 是包含任意数量的变量和常数的表达式。变量通过加、减和乘来组合。变量本身可以被提高到正整数幂。

类型

单项式 是任意数量的变量的乘积，每个变量都提高到任何正整数幂。因此，单项式不包含加法或减法。单项式可以乘以常数。

这些都是单项式

$25x^{2}$
$7xyz^{3}$
$x$

二项式 是两个单项式的和。

$x+y$
$3x^{2}y-z^{5}$
$2z+5$

三项式 是三个单项式的和（或一个二项式和一个单项式）。

$x^{2}+4x+4$
$x^{2}+xy+y^{2}$
$5x+4y-8z$

简化

简化多项式（或“合并同类项”）是将多项式简化为最简形式的过程。项前的数字是该项的系数。将具有相同变量组合的项的系数加减。也就是说，将同类项的系数加减。

为了便于单项式的交流，我们通常使用以下约定：将每个项的变量按字母顺序排列，并使用指数表示法，以便每个字母在每个项中只出现一次。我们喜欢将数字（数值系数）放在项的开头。

如果每个项都以这种方式表达，我们就可以快速识别同类项。两个项是“同类项”，如果当您遮住每个项的系数时，其余的项彼此相同。

我们不能合并“不同类”项。也就是说，我们把它们单独保留。

$3x+5y+7x+2=(3+7)x+5y+2=10x+5y+2$
$4x^{2}-2x-x^{2}+x+4+x=(4+-1)x^{2}+(-2+1+1)x+4=3x^{2}+4$

多项式必须在被分类为单项式/二项式/三项式/多项式之前进行简化。

次数

我们可以讨论一个项的次数，或者一个多项式在某个变量上的次数。在这个语境下，我用 "多项式" 来包括单项式、二项式和三项式。

大多数情况下，我们讨论的是只包含一个变量的多项式的次数。在这种情况下，单个项的次数就是该项中变量的指数。例如

$-5=-5x^{0}$ 的次数是零。
$4x=4x^{1}$ 的次数是一。
$-12x^{5}$ 的次数是五。

对于单个变量的多项式，多项式的次数是在该变量上出现的最大指数。 $6-2x^{3}+12x+50x^{2}$ 的次数是三。

要找到多项式的最高次项系数，找出具有最大次数的项的数字系数。 $6-2x^{3}+12x+50x^{2}$ 的最高次项系数是负二。
(记住， $6-2x^{3}+12x+50x^{2}=6+-2x^{3}+12x+50x^{2}$ .)

为了方便，我们经常喜欢按升序或降序排列多项式。升序意味着项的次数随着你从左到右的移动而升高（变大）
而降序意味着项的次数随着你从左到右的移动而下降（变小）。当我们写 $6-2x^{3}+12x+50x^{2}$
按降序排列，我们得到 $-2x^{3}+50x^{2}+12x+6$ .

如果一个多项式按降序排列，那么多项式的次数就是第一项的次数，最高次项系数就是前面的数字。

检查你的理解

注意：这些问题很简单 - 它们不是 CLEP 类型的问题。因此，将这些问题视为可以判断你是否理解基本知识的问题。

下面 1-2 题涉及以下表达式：

2x^{2}-5x+x^{3}+2\left(5-x^{2}\right)

.

	多项式
	三项式
	二项式
	单项式

以下第 3-4 题都与以下表达式有关：

\left({\frac {50x^{-2}y^{4}}{5xyz}}\right)^{0}\left({\frac {5x^{-9}}{10x^{4}}}\right)^{4}

，其中

x\neq 0

。

	多项式
	三项式
	二项式
	单项式

如果你能正确地回答所有这些问题。你理解了这一部分，可以继续进行。

因式分解

公因式

因式分解多项式涉及找出公因式。就像之前我们对实数进行因式分解一样，我们对二项式、三项式和其他多项式应用相同的思想。我们假设你不知道如何对变量进行因式分解，因此我们将通过将问题分解成越来越小的部分来介绍这个概念，以 *进一步理解* 以下示例问题。对于那些知道如何做到这一点的人来说，这可能显得有点过分，但完全理解这些类型的问题的含义很重要。另外，在数学中，当问题非常困难时，你会把它分解成更容易的部分，直到你最终能够解决这个大难题。

**示例 2.1.a**：对表达式

x^{8}+x^{5}

进行因式分解。

注意，表达式中的每一项都包含一个 $x$ ，没有系数。如果你没有记住指数法则，请务必记住！记住这些法则可以简化过程。当将两个项相乘时，例如 $a^{p}a^{q}$ ，表达式的结果是 $a^{p+q}$ 。因此，你需要找到一些 $x^{n}$ ，当它被分配到括号中的每一项时，你将得到上面相同的表达式。现在让我们来建立一下

x^{n}\left(x^{a}+x^{b}\right)

.

虽然这看起来像是一种复杂的方式，但实际上你所要求的只是一个简单的任务。简而言之， $x^{n}\left(x^{a}+x^{b}\right)=x^{n}x^{a}+x^{n}x^{b}$ 。因为 $a^{p}a^{q}=a^{p+q}$ ， $x^{n}x^{a}+x^{n}x^{b}$ 中的每一项都具有相同的基本结构。所以，

x^{n+a}+x^{n+b}

.

这里，我们得到了问题实际要求我们弄清楚的内容： $x^{n+a}+x^{n+b}=x^{8}+x^{5}$ 。因为 $x$ 始终等于自身，但指数不同，我们可以进一步重写问题，如下所示

{\begin{cases}n+a=8\\n+b=5\end{cases}}

由于 $n$ 在方程组中出现了两次，所以消除 $n$ 会更容易。在这种情况下，将方程 (2) 乘以 $-1$ 。然后，将方程 (1) 加到方程 (2) 上。

(3):

a-b=3

你可以继续往下做，但是你会发现一些残酷的真相，而且你可能没有时间浪费在完成所有事情上。如果你想证明你正在做的事情是徒劳的，请阅读注释。^{[注释 1.]} 大多数问题在对表达式进行因式分解时，只是为了使方程 (3) 易于求解。也就是说，令 $b=0$ 。从那里开始

a-(0)=3

a=3

因为我们允许这两个真相存在，所以我们可以将这两个值代入系统中，发现 $n=5$ 。这个选择非常随意（如果你读了注释 1，你就会明白）。尽管如此，这正是大多数问题在对没有系数的表达式进行因式分解时希望你做的事情。允许 $n$ 等于表达式中最小幂值。无论哪种方式

x^{5+3}+x^{5+0}=x^{8}+x^{5}

x^{5}x^{3}+x^{5}x^{0}=x^{5}\left(x^{3}+1\right)=x^{8}+x^{5}\blacksquare

.

你应该学到的最重要的真相是，对没有系数的表达式进行因式分解时，实际上是在被要求找到最大公因数，而你可以通过将问题中的变量因式分解为最小幂值（用 ${\color {Red}{\text{red}}}$ 突出显示）来完成。以下是一些示例

$b^{18}+b^{3}-b^{\color {Red}2}=b^{2}\left(b^{16}+b-1\right)$
$x^{8}+x^{5}+x^{\color {Red}4}=x^{4}\left(x^{4}+x+1\right)$
$z^{6}+z^{\color {Red}3}=z^{3}\left(z^{3}+1\right)$
$p^{\frac {1}{3}}+p^{\color {Red}{\frac {1}{4}}}=p^{\frac {1}{4}}\left(p^{\frac {4}{3}}+1\right)$

但是，当涉及系数时，分解会更复杂一些，但原理是一样的。

例 2.1.b：分解表达式

42x^{3}+12x^{2}+24x

.

这里，我们应该先关注指数前的系数。如果我们要这样做，我们首先要分析这个小问题

{\text{GCF}}(42,12,24)

.

如果你注意到（或使用计算器），这些数字的最大公因数是 $6$ 。让我们将它分解到表达式中

6\left(7x^{3}+2x^{2}+4x\right)

如果你分解系数，它们不应该影响结果，因为根据结合律，当将表达式 $\left(ca^{p}\right)a^{q}$ 相乘时，其中 $c$ 是一个常数，有 $\left(ca^{p}\right)a^{q}=c\left(a^{p}a^{q}\right)$ 。从那里，用一个常数乘以一项并不重要： $c\left(a^{p}a^{q}\right)=c\left(a^{p+q}\right)=ca^{p+q}$ 。*

因此，我们可以应用我们在例 2.1.a 中发现的相同的一般规则： $42x^{3}+12x^{2}+24x=6x(7x^{2}+2x+4)\blacksquare$

*即使另一个值乘以另一个任意常数

d

，只要交换律成立，

\left(ca^{p}\right)\left(da^{q}\right)=ca^{p}da^{q}=cda^{p}a^{q}=cda^{p+q}

.

上面概述的这个过程似乎适用于任何多项式。让我们在一些例子上试试

$3b^{18}+12b^{3}-6b^{2}=3b^{2}\left(b^{16}+4b-2\right)$
$12x^{8}+{\frac {1}{16}}x^{5}-{\frac {1}{4}}=4\left(3x^{8}+{\frac {1}{64}}x^{5}-{\frac {1}{16}}\right)$
$6z^{6}4z^{3}+2=2\left(3z^{6}+2z^{3}+1\right)$

我们现在可以将从这两个问题中学到的信息综合起来，概述一个一般性的过程

分解任何具有公因式的多项式（步骤）

给定一个具有系数和变量的多项式，应遵循以下步骤。

找到每个系数的最大公因数。
如果没有常数（没有变量附加的值），将变量分解到表达式中的最低次幂值。如果有常数，只需将最大公因数保留在括号之外。

您现在可以完全分解任何具有公因式的表达式。

分组

当整个多项式没有贯穿始终的公因式时，您可以通过分组来分解。当通过分组分解时，您需要将多项式分成两个二项式。

例 2.2.a：分解表达式

x^{3}+x^{2}+2x+4

.

在我们分组之前，我们需要快速检查一下，看看我们是否可以使用括号外的单个项来分解整个表达式。如果 "4" 不是一个常数，我们可以使用步骤二中的过程来分解表达式。另一件事是 ${\text{GCF}}\left(1,1,2,4\right)=1$ ，如果我们要分解，这意味着我们将同一个东西乘以 1，这不是很有用。

那我们该怎么办呢？我们可以通过将表达式中具有相似之处的部分放在一起进行分组分解。这比做起来更难解释，所以跟着我们一起做。首先，我们将重新写表达式。但是，我们将用两种颜色组来重新绘制表达式，红色和绿色

{\color {Red}x^{3}+x^{2}}+{\color {Green}2x+4}

.

首先，我们将分解红色部分， ${\color {Red}x^{3}+x^{2}}$ 。请注意，表达式这部分有一个公因式 $x^{2}$ 。将该部分分解出来，并放在一边

x^{3}+x^{2}

\Rightarrow {\color {Red}x^{2}\left(x+1\right)}

从这里，我们将多项式中的第二个二项式（绿色）分组： ${\color {Green}2x+4}$ 。注意公因子是 $2$ ，所以将这一部分进行因式分解。

2x+4

\Rightarrow {\color {Green}2\left(x+4\right)}

将这两个分解的部分放在一起，毕竟它们是同一个表达式的部分。

{\color {Red}x^{3}+x^{2}}+{\color {Green}2x+4}

.

\Rightarrow {\color {Red}x^{2}\left(x+1\right)}+{\color {Green}2\left(x+4\right)}\blacksquare

.

现在你已经完成了。这个概念很简单，尽管有些问题可能比其他问题稍微难一些。

请注意，我们对两个二项式进行了因式分解。如果我们对一个三项式和一个二项式进行因式分解，它会奏效吗？我们稍后会解答这个问题。现在，尝试下面下一个问题，在这个问题中，我们将具有不同变量的多项式分组。

示例 2.2.b：分解表达式

x^{2}y^{3}+2x^{2}y+4xy^{3}+8xy

。

和之前一样，我们需要进行快速检查，看看是否可以用括号外的单个项分解整个表达式。首先， ${\text{GCF}}\left(1,2,4,8\right)=1$ ，这意味着如果我们进行因式分解，我们将用 1 乘以同一个东西，这并没有什么帮助。然而，由于表达式中以某种形式存在 $xy$ ，我们可以像这样分解整个表达式。

xy\left(xy^{2}+2x+4y^{2}+8\right)

.

然而，我们还没有完成。请注意，你仍然可以将括号内的多项式与公项分组。 $xy$ 似乎会使问题变得复杂；然而，你可以简单地忽略它，并说你正在处理括号内的部分。如果你在纸上或屏幕上出现太多东西时很容易感到困惑，忽略它们可能会有所帮助，但一定要回到它们。让我们以与示例 2.2.a相同的方式重写括号内的表达式。

{\color {Red}xy^{2}+2x}+{\color {Green}4y^{2}+8}

.

观察红色项 $\left({\color {Red}xy^{2}+2x}\right)$ ，两项有公因式 $x$ ，并且 ${\text{GCF}}\left(1,2\right)=1$ ，所以我们将 $1x=x$ 提取到红色项之外

\left(xy^{2}+2x\right)

{\color {Red}x\left(y^{2}+2\right)}

和之前一样，我们来处理绿色项 ${\color {Green}4y^{2}+8}$ 。首先观察系数和常数项： ${\text{GCF}}\left(4,8\right)=4$ 。我们找到了一个公因式！根据常数的定义，它没有变量，因此没有可以提取的公因式。因此，我们可以对这一部分进行因式分解

4y^{2}+8

.

{\color {Green}4\left(y^{2}+2\right)}

.

最后，把所有东西都放在一起，包括我们在问题的大部分时间里忽略的 $xy$ 项。为了避免混淆读者，红色和绿色部分将放在方括号 "[]" 中

xy\left[{\color {Red}x\left(y^{2}+2\right)}+{\color {Green}4\left(y^{2}+2\right)}\right]

.

对于更细心的读者，您可能已经注意到 $y^{2}+2$ 被乘到方括号内的每一项上。如果您没有看到这一点，令 $y^{2}+2=C$ 。如果我们将方括号里面的部分替换为以下形式（我们忽略了颜色，因为它们对于这部分问题来说是不必要的）

xy\left(xC+4C\right){\text{,}}

我们会注意到每一项都乘以 C，C 是表达式的公因式，需要分离出来

xy\left[C\left(x+4\right)\right]

.

记住我们令 $y^{2}+2=C$ ，我们将它代入并得到

xy\left[\left(y^{2}+2\right)\left(x+4\right)\right]

.

最后，由于结合律，我们可以忽略大括号（但保留括号，因为括号内的任何内容必须在乘法之前先运算）

xy\left(y^{2}+2\right)\left(x+4\right)\blacksquare

这个问题比预期要复杂一些。是否有更简单的方法来解决绿色和红色的部分？是的，它被称为 **F.O.I.L**（首项，外项，内项，末项）方法。以下是我们所说的箔片（见右）

Two binomials is multiplied to form a polynomial whereby the first terms of the parentheses are multiplied, then the outsides, then insides, then lasts. — 由 Brandenads (talk) - 公共领域，归 Brandenade 所有并归属。

通过记住箔片方法，我们可以 *向后移动* 并解决这个问题： $xy^{2}+2x+4y^{2}+8$ .

我们知道我们用没有系数的“首项”相乘。这更容易

\left(x+\right)\left(y^{2}+\right)

.

从那里我们去“外项”。我们看到第一个项 ** $x$ ** 是第二个项的倍数， $2x$ ，在第一个二项式中。所以我们得到

\left(x+\right)\left(y^{2}+2\right)

.

接下来，“内项”：我们看到 ** $y^{2}$ ** 是 $4$ 的倍数。因此，我们得到

$(x+4)(y^{2}+2)$

事实上，我们已经完成了。注意“末项”是 $4\cdot 2$ ，它给了我们 $8$ ，它是多项式的最后一项。

请记住，这个技巧并不总是奏效，因为中间项通常最终具有相同的公变量并被简化。从第一项开始，然后转到最后一项会很有帮助。如果你能得到这两项，你应该能够找到中间项。需要注意的另一件事是，我们必须对 $xy$ 进行因式分解，以使此方法有效。虽然可能可以通过这种方式完成原始问题，但在最后一项没有任何变量的情况下使用 FOIL 方法要容易得多。在我们进入下一节之前，我们必须回答在本节开头提出的最后一个紧迫问题。

分组分解：三项式，然后是二项式？ 这个问题对于好奇的学生来说是至关重要的。让我们使用 示例 2.2.a 来尝试一下。

x^{3}+x^{2}+2x+4

.

让我们对三项式进行因式分解： $x^{3}+x^{2}+2x=x\left(x^{2}+x+2\right)$ 。接下来，对单项式进行因式分解： $4=2\left(2\right)$ 。现在将它们放在一起。

x\left(x^{2}+x+2\right)+2\left(2\right)

.

它似乎在功能上与以前相同。事实上，它给了你相同的答案。这应该是有道理的，因为你如何分组任何东西都不会改变答案（记住，结合律）。然而，将多项式分解成两个二项式是标准的数学语法。由于 CLEP 考试是选择题，因此应该很容易判断问题要求你做什么。无论哪种方式，我们都再次为你概述了一个过程。

分解任何没有公因式的多项式（步骤）

给定一个具有系数和变量的多项式，应遵循以下步骤。

找到每个系数的最大公因数。
如果没有常数（没有变量附加的值），将变量分解到表达式中的最低次幂值。如果有常数，只需将最大公因数保留在括号之外。
将多项式分成两个二项式，并将步骤 1 和 2 应用于不同的分组。分别对两个分组执行此操作。
在完全分解两个二项式后。将它们放在一起。如果两个组合的二项式存在公因式，则对它们进行因式分解。

上面概述的步骤在 示例 2.2.b 中得到了最佳演示，并且它确实有一个新内容：分组分解。只需回顾一下该示例，并将每个步骤都应用到该多项式上。完成这些步骤后，你就完全理解了多项式分组。

三项式

从分解较大的表达式开始，然后回到三项式，这似乎很奇怪。然而，本书的安排方式是有原因的。三项式分解可能是最终解决涉及大于 1 次的方程式的过程中最困难的部分。然而，这个困难的概念对于大学代数学生来说是必要的，特别是对于“分解”部分的接下来的两节。

与以前一样，我们将通过探索数学家可能首先发现用来解决问题的技术的结果和行为来介绍这个概念。首先，让我们应用我们的算法，看看它是否适用于像这样的问题。

示例 2.3.a：分解表达式

x^{2}+x-2

。

${\text{GCF}}(1,1,-2)=1$ .
我们只能对 $x^{0}=1$ 进行因式分解以获得以下表达式。
???
???

注意我们的算法在步骤 3 和 4 中是如何混乱的。它应该这样，因为我们的算法假设我们正在进行分组分解，而分组分解并不总是适用于所有情况，例如这种情况。但是，我们可以“强迫”算法适应这种情况。例如，我们可以尝试将中间项分成两个项。也就是说，我们设置 $x=(f_{1}+f_{2})x=f_{1}x+f_{2}x$ ，其中

(3.2.3.1) $f_{1}+f_{2}=1$

但是，如果我们要从这里有所进展，我们希望中间项具有公因式。这是一个有趣的困境！

我们的最终目标是使用我们之前在上述三项式中使用的算法来获得因式分解的形式，使得以下等式成立

${\begin{aligned}x^{2}+x-2&=x^{2}+f_{1}x+f_{2}x-2\\&=x(x+f_{1})+c(x+f_{1})&{\text{where }}c{\text{ is some constant multiple.}}\\&=(x+c)(x+f_{1})\end{aligned}}$

然而，请注意我们是如何得到这个结果的。如果我们想要将它进行因式分解，那么 $(x+f_{1})$ 必须是这个三项式的因式。问题是， $c$ 是什么？这是最终的问题。为了回答这个问题，我们需要仔细分析该算法的应用。由于 $f_{2}x-2$ 被归为一组，我们想要找到 $x$ 和 $-2$ 的最大公因数。最终，这意味着 $f_{2}$ 是该分组表达式的最大因数。否则，就不可能得到 $(x+f_{1})$ 作为该表达式的因式。

因此， $c=f_{2}$ 。这告诉我们关于对上述表达式进行因式分解的一个非常重要的真理

(3.2.3.2) $f_{1}f_{2}=-2$

这是应用我们算法的结果！利用我们所知道的，让我们根据我们所知道的重写上述问题： $x^{2}+x-2=x^{2}+(f_{1}+f_{2})x-f_{1}f{2}$ ，其中 $-2=f_{1}f_{2}$ 并且 $1=f_{1}+f_{2}$ 。看看这个！我们可以使用方程组！

{\begin{cases}1=f_{1}+f_{2}\\-2=f_{1}f_{2}\end{cases}}

为了节省时间，我们将跳过寻找这些因子的过程。这可以通过“猜测和检查”轻松完成，但稍后将解释一种寻找该因子的方法。现在，当我们告诉你因子是 $f_{1}=-1$ 和 $f_{2}=2$ 时，请感谢我们。

利用这个结果，我们现在可以明确地使用与之前相同的算法，但通过对我们正在求解的基础表达式进行一些“调整”或调整。以下是实际操作的过程

{\begin{aligned}x^{2}+x-2&=x^{2}-x+2x-2\\&=x(x+1)-2(x+1)\\&=(x-2)(x+1)\blacksquare \end{aligned}}

示例 2.3.a 向我们展示了一种在全世界范围内教授的非常重要的算法。它被称为 ac 方法 或 菱形方法，我们将在下面概述其步骤。

三项式因式分解的 ac 方法

给定一个形式为 $ax^{2}+bx+c$ 的三项式，其中 $a\neq 0$ ，应遵循以下步骤。

找到每个系数的最大公因数。
如果没有常数（没有变量附加的值），将变量分解到表达式中的最低次幂值。如果有常数，只需将最大公因数保留在括号之外。
找到两个值 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ ，使得 $ac=f_{1}f_{2}$ 并且 $b=f_{1}+f_{2}$ 。
将三项式改写为 $ax^{2}+f_{1}x+f_{2}x+c$ 的形式；然后，将多项式分成两个二项式，并将步骤 1 和 2 应用于不同的分组。分别对这两个分组执行此操作。
在完全分解两个二项式后。将它们放在一起。如果两个组合的二项式存在公因式，则对它们进行因式分解。

你应该已经意识到，ac 方法是分组分解方法的修改版本。这就是我们决定稍后展示三项式因式分解的原因，因为所涉及的工作实际上超出了你对精心设计的多项式所期望的范围。

【稍后将添加更多示例。】

两平方差

在我们因式分解之旅中，我们尝试分解通常不常见的通用表达式。尽管如此，仍然存在一种几乎总是有效的程序。类似地，在某些特殊情况下存在一个公式。希望这本维基教科书能让你理解为什么公式是这样的，这样你就不必仅仅盲目地应用一些看似无关的关系。

完全平方/立方

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