CLEP 代数/数列与级数

在数学中，寻找模式非常重要。这就是数学家几乎每天都在做的事情。他们如何确定模式取决于他们所从事数学类型的不同。对于大学代数来说，确定模式是课程的一部分。下面的问题展示了一种确定这些模式的方法。请记住，下面的问题是一个探索，可能不代表你可能在 CLEP 大学代数考试中看到的题目类型。

探索 0-1：想象一下标准英文字母表在一页纸上，按顺序从左到右排列。在标准英文字母表最后一个字母 ${\text{Z}}$ 后，定义一个新的字母 ${\text{AA}}$ 将添加到标准英文字母表中。继续像往常一样列出字母表 (${\text{AB}},\,{\text{AC}},\,\ldots ,\,{\text{BA}},\,{\text{BB}},\ldots$) 直到得到字母 ${\text{ZZ}}$，这个“新字母表”的最后一个字母。假设字母 ${\text{A}}$ 被定义为这个“新字母表”中的第一个字母。你会在“新字母表”的哪个位置找到字母 ${\text{HY}}$？

在标准英文字母表中，共有 $26$ 个字母。让我们将所有字母 A-Z 的列表定义为“旧字母表”。

将字母 ${\text{A}}$ 连接到 ${\text{A}}$ 将给我们一个新的字母 ${\text{AA}}$。将其添加到“旧字母表”中显然不再是旧集合，因此让我们将你向旧字母表中添加新字母的字母表定义为“新字母表”。这个集合中有多少个新字母？好吧，从“旧字母表”中的每个字母都需要另外加一个字母才能构成“新字母表”。因此，对于每个字母来说，$26$ 个字母被添加到旧字母表中（例如，字母“A”将具有字母“A”、“B”、“C”，...，“Z”连接到“A”，因此每个字母都添加了 26 个字母“旧字母表”）。由于每个字母都被使用，因此在“新字母表”中正好创建了 $26^{2}{\text{ new letters}}$。下面的图可能有助于说明这个新事实。

$${26{\begin{cases}\overbrace {AA,\,AB,\,AC,\ldots ,\,AY,\,AZ} ^{26}\\\overbrace {BA,\,BB,\,BC,\ldots ,\,BY,\,BZ} ^{26}\\{\text{ }}\qquad \qquad \quad \;\;\vdots \\\overbrace {YA,\,YB,\,YC,\ldots ,\,YY,\,YZ} ^{26}\\\overbrace {ZA,\,ZB,\,ZC,\ldots ,\,ZY,\,ZZ} ^{26}\end{cases}}}\!$$

左边的花括号告诉我们“旧字母表”中有多少个字母；每行上面的花括号告诉我们每增加一个字母会生成多少个新字母。由于每个“旧字母表”字母都会生成 26 个字母，所以将所有新生成的字母添加到“新字母表”的这个子集中。由于有 $26$ 行，每行生成 $26$ 个新字母，
$${\underbrace {26+26+26+...+26+26} _{26}=26\cdot 26=26^{2}=676{\text{ letters in the subset of the New Alphabet.}}}$$

记住，在上面的图形中，“旧字母表”中还有 26 个其他字母未包括。因此，将 26 加到上面的答案，得到“新字母表”中的字母总数。

既然我们知道“新字母表”中的字母总数，我们可以找出字母 HY 在“新字母表”的这个子集中所处的位置。首先，字母 H 的位置是 $8$。其次，字母 Y 的位置是 $25$。由于上面的图形显示的是表格，所以我们可以通过查找该“坐标”来找到 HY。由于 HY 的位置包含该区域中所有项，所以我们可以将这两个值相乘得到面积（即它是一个包含所有这些字母的矩形）。然而，这不是最终答案。请注意，我们通过在该块和子集中相乘，排除了 $7+26$ 个其他字母；因此，字母 ${\text{HY}}$ 的位置是

$$8\cdot 25+(7+26)=233.$$

我们在上面的问题中做了什么？从本质上讲，我们只是试图找到某个“项”在列表中的位置。看到数学试图在列表中找到某个“项”的位置，你是否感到好奇？我们作为数学家会遇到这些问题，因为“数字列表”中潜在的模式可以帮助我们确定数学的新事实。毕竟，我们在使用函数时做了什么？我们试图使用模式（函数）来找到一个数字。然而，与前几节不同的是，我们没有给出公式。幸运的是，为给定的“数字列表”创建公式并不难。在我们深入探讨这些新问题之前，建立一些定义很有帮助。

定义。

**序列**是指按照一定模式排列的元素列表，例如数字、图形或字母。

序列中的对象。

**项**是指序列中出现的元素。

在我们尝试解决一些问题之前，先要说明一些免责声明。首先，一个数列可以没有任何规律。但是，为了我们的目的，我们将不考虑任何没有规律的数字列表。其次，即使在简单的数列中，任何类型的数字，如果它们遵循数列规则，都可以被命名。例如，这里有一个数列，其规则是列出质数：${\left\{{\mathit {2}},{\mathit {3}},{\mathit {5}},{\mathit {7}},{\mathit {11}},\ldots \right\}}$ 如果你像大多数人一样，你可能会按顺序说出质数。但是，你也可以这样完成这个数列：${\left\{{\mathit {2}},{\mathit {3}},{\mathit {5}},{\mathit {7}},{\mathit {11}},{\mathit {13}},{\mathit {23}},{\mathit {2011}},{\mathit {(2^{82,589,933}-1)}},\ldots \right\}}$ 为了我们标准化的目的，我们将按照一个模式，说明你必须先找到哪个数字，或者确定模式。

让我们开始探索数列与级数的世界。

数列

如你所知，一个数列是一个通常遵循某种模式的对象列表。然而，所描述的模式类型将把数列分类为等差数列或等比数列。在接下来的章节中，我们将深入探讨每种类型。

等差数列

项的位置。

一个索引是数列中一个项的位置，通常用$i$或$k$表示。

等差数列的定义。

一个等差数列是一个数列${\left\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},x_{k+1},\ldots \right\}}$，其中一个添加的实数$d$，称为公差，被加到每个连续的项上，除了第一个项$x_{1}$，使得这个数列以一对一的方式形成${\left\{x_{1},x_{1}+d,x_{1}+2d,x_{1}+3d,\ldots \right\}}$。

举个例子，也许可以帮助您理解上面的正式定义：序列 ${\left\{2,4,6,8,10,\ldots \right\}}$ 与一般序列 ${\left\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},\ldots \right\}}$ 存在一一对应关系，因为第一项 $x_{1}=2$，第二项 $x_{2}=4$，第三项 $x_{3}=6$，以此类推。差值是在每项之前加上的值以获得新项的值。对于 $x_{2}$，$x_{1}+d=x_{2}$ 或者 $2+d=4$。求解 $d$ 是两项之差。在这个例子中，差值为 $d=2$。这就是我们定义等差数列的方式。

递推公式

很多时候，我们希望使用公式来生成序列（毕竟我们是数学家，我们喜欢研究序列，看看是否存在任何一般规律）。如果我们想找到 $x_{i}$，我们可以使用以下公式

$$x_{i}=x_{i-1}+d.$$

但是，上面的公式可以描述任何具有该一般模式的序列。为了解决这个问题，我们在使用上面的公式时需要描述第一项。有两种方法可以描述这个公式

1. 我们用水平方式划分： $x_{1}=a;x_{i}=x_{i-1}+d$.
2. 我们用垂直方式划分： ${\begin{cases}x_{1}=a\\x_{i}=x_{i-1}+d\end{cases}}$

为了节省空间，在本维基百科中，我们将使用水平方式划分等差数列的公式。

在公式中，第一项与一个方程一起确定，在该方程中，前一项加上 $d$ 来获得下一项，称为递推公式。

递推公式是一个描述如何通过给出序列的起始值或值以及每个前一项或项，并向每个后续项添加差值 $d$，来获得序列中一项或多项的公式。

等差数列的递推公式

给定一个初始值 $a$ 和常数差 $d$，等差数列中的第 $i$^th 项由数列中的前 $(i-1)$^th 项给出

$x_{1}=a;x_{i}=x_{i-1}+d$ 或者

${\begin{cases}x_{1}=a\\x_{i}=x_{i-1}+d\end{cases}}$

示例 1.1.1.a：求等差数列 ${\left\{19,18.25,17.5,16.75,16,\ldots \right\}}$ 中的第 $7$th 项。 为了确定下一项，我们首先需要找到差值 $d$。请注意，等差数列的下一项将加上 $d$ 到前一项。由于这是等差数列的工作原理，$19+d=18.25$ 是找到两项之间差值的有效方法。求解 $d$，我们发现常数差为 $d=-{3 \over 4}=-0.75$。由于每个给定项在数列中的差值都相同，我们可以通过添加 $d=-0.75$ 到 $16$ 来找到第 7th 项，结果为 $16-0.75=15.25$。最后，将 $d$ 添加到下一项以得到最终答案 $$15.25-0.75=14.5.$$

有许多原因说明为什么递归公式更重要。它并不总是很慢；它可能更容易理解。下一个例子说明了为什么这正是事实

示例 1.1.1.b：写出数列 ${\left\{1,1,2,3,5,7,13,\ldots \right\}}$ 的递归公式。 可能许多人已经熟悉这个著名的模式，即斐波那契数列。对于那些不了解这个数列的人来说，我们通过使用前两项并将其相加来确定下一项。用我们的表示法，我们可以说索引为$i$ 的项$a$，$a_{i}$ 等于 $a_{i-2}+a_{i-1}$。然而，请记住，我们还没有完成。如果一位数学家看到数列 ${\left\{2,4,6,10,16,26,42,\ldots \right\}}$，他（或她）会确定 $a_{i}=a_{i-2}+a_{i-1}$ 也可以描述这个数列。因此，我们必须列出前两项，因为仅列出第一项将无法让我们得到下一项。这意味着我们的最终答案是 $$a_{1}=1,a_{2}=1;a_{i}=a_{i-2}+a_{i-1}.$$

请注意，示例 1.1.b 不是等差数列的示例。您的下一个探索将是确定为什么这是真的。除此之外，您将使用您的批判性思维能力在随后的探索中赞成或反对某些事情。

探索 1-1：解释为什么斐波那契数列不被认为是等差数列。确定如何改变斐波那契数列的公式，使其成为等差递归公式；解释为什么必须以这种方式编写公式。

索引为$i$ 的项$x$ 不是通过公差$d$ 相加的，其中$d$ 必须保持不变。根据定义，斐波那契数列没有一个常数差来得到下一项，因为公式$a_{1}=1,a_{2}=1;a_{i}=a_{i-2}+a_{i-1}.$ 没有一个常数差。因此，斐波那契数列公式不是等差数列，但它是递归的。为了使其成为等差数列，只需确定第一项，因为我们可以使用公差 $d$ 来找到第二项，然后将前一项$i$，$a_{i-1}$，加上常数差$d$：$a_{1}=1;a_{i}=a_{i-1}+d$.

探究 1-2：令数列的前两项为 $x_{1}=a$ 和 $x_{2}=b$，其中 $a\neq b$。

• 论证以下论点是否正确：递归公式 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 是等差且递归的。

• 如果你不同意 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 是等差且递归的，写出一个既是等差又是递归的公式。
• 如果你同意 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 是等差且递归的，解释为什么它是这样。

最后，如果 $x_{1}=a$，$x_{2}=b$，且 $a=b$，

• 论证以下观点是否正确：公式 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 是等差且递归的。

* 使用公式生成的序列为 ${\left\{a,b,\left(a+d\right),\left(b+d\right),\left(a+2d\right),\left(b+2d\right),\left(a+3d\right),\left(b+3d\right),\ldots \right\}}$ 为了使一个序列为等差数列，公差 $d$ 必须为常数。 虽然公差是常数，但该序列必须是 ${\left\{a,\left(a+d\right),\left(a+2d\right),\left(a+3d\right),\left(a+4d\right)\ldots \right\}}$ 的形式；否则，它不是等差数列。 因此，递归公式 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 不是等差数列。 为了使它成为等差递归公式，请更改前面的公式，使 $x_{1}=a;x_{i}=x_{i-1}+d$.

如果 $a=b$，则使用公式 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 生成的序列为 ${\left\{b,b,\left(b+d\right),\left(b+2d\right),\left(b+3d\right),\left(b+4d\right),\left(b+5d\right),\ldots \right\}}$ 然而，为了使一个序列为等差数列，每个项都必须加上公差。 由于索引 $i=2$ 的项没有加上 $d$，因此该公式不是等差数列。

探索 1-3：令第一项为 $x_{1}=a$。 论证 支持 OR 反对 以下想法：将序列 ${\left\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \right\}}$ 更改为 ${\left\{a,a,a,\ldots \right\}}$ 后，它将是等差数列。

因为 ${x_{1}=a;x_{i}=x_{i-1}+d}$ 是等差数列的递推公式，$a=a+d$ 成立。要使 $a=a+d$ 为真，唯一的方法是让 $d=0$。然而，由于你是通过使用一个常数差 $d$ 来添加每一项，并且你使用前一项来进行添加，新序列将形成：${a,a+1\cdot 0,a+2\cdot 0,a+3\cdot 0,a+4\cdot 0,\ldots }$ 根据定义，形成的序列是等差数列。

直接公式

现在，你可能想知道是否有方法可以直接找到等差数列的项。答案是肯定的。在给出公式之前，让我们先看一下我们的通项递推等差公式 ${x_{1}=a;x_{k}=x_{k-1}+d}$。让我们用图表来表示这个递推等差公式。

$${\begin{array}{|c|c|}k&x\\\hline 1&a\\\hline 2&a+d\\\hline 3&a+2d\\\hline 4&a+3d\\\hline \vdots &\vdots \end{array}}\!$$

如果你仔细想想，上面的表格实际上是一个线性函数，只是它从 $k=1$ 而不是 $k=0$ 开始。将函数写成 $x=a+kd$。我们接近答案了。我们的自变量 $k$ 向右平移了 $1$，所以 $x=a+(k-1)d$ 就是我们的函数。事实上，我们找到了直接的关系。以我们通常的写法改写它，我们找到了我们的 **直接公式**：$x_{k}=a+(k-1)d$。

**直接公式** 描述了如何仅使用直接查找特定值的公式来获得序列的项或多个项，而无需说明序列的第一项或项。

等差数列的直接公式

给定初始值 $a$ 和常数差 $d$，算术序列中的第 $i$^th 项由直接公式给出

$$x_{i}=a+(i-1)d.$$

示例 1.1.2.a：发现一个算术序列 ${\left\{22.4,29.2,36,42.8,49.6,\ldots \right\}}$。该序列的第 $450$th 项是多少？ 和往常一样，在确定答案之前，我们需要找到序列的“变化率”。由于 $a=22.4$，我们知道 $x_{i}=22.4+(i-1)d$。第二项是 $29.2$，所以当 $i=2$ 时，$29.2=22.4+(2-1)d$。当然，现在我们可以求解 $d$ $29.2=22.4+(2-1)d$; $29.2=d$; $6.8=d$. 既然我们现在知道了公差，我们可以找到序列中最小的 $450$th 项。通过使用算术序列的直接公式，我们可以找到它可能存在的索引。由于 $x_{i}=22.4-6.8(i-1)$，我们通过代入 $i=450$ 来找到第 $450$th 项。因此，$x_{450}=22.4-6.8(450-1)$。求解 $x_{450}$ 以获得最终答案。 $x_{450}=22.4-6.8(450-1)$; $x_{450}=22.4-6.8(449)$; $x_{450}=22.4-3121.2$; $$x_{450}=-3030.8.$$

上面这个例子在 CLEP 大学代数考试中将是一个常规的、直接的问题。 然而，由于熟能生巧，我们还将遇到一些非常规问题，这些问题涉及对主题、概念和所学技能的透彻理解，这将占考试的 50%。 这就是为什么进行探索非常重要的原因。 虽然它们可能不会出现在 CLEP 考试中，但它们对于让你像数学家一样思考至关重要。 下一个问题将是非常规问题。

例 1.1.2.b：在等差数列 ${\left\{22.4,21.2,20,17.6,16.4,\ldots \right\}}$ 中，需要找到负项的最小索引是多少？ 与往常一样，在我们确定答案之前，我们需要找到数列的“变化率”。 由于 $a=22.4$，我们知道 $x_{i}=22.4+(i-1)d$。 我们知道第二项是 $21.2$，所以当 $i=2$ 时， $21.2=22.4+(2-1)d$。 当然，现在我们可以求解 $d$ $21.2=22.4+(2-1)d$; $21.2=22.4+d$; $-1.2=d$. 由于我们现在知道了公差，我们可以找到数列中达到负数所需的最小项。 通过使用等差数列的直接公式，我们可以通过求解 $i$ 来找到索引。 由于 $x_{i}=22.4-1.2(i-1)$，我们找到了使数字小于零的最小索引。 因此， $0\geq 22.4-1.2(i-1)$。 现在我们要做的就是求解 $i$。 $22.4-1.2(i-1)\leq 0$; $-1.2(i-1)\leq -22.4$; $i-1\geq {-22.4 \over -1.2}$; $i\geq {22.4 \over 1.2}+1$; $i\geq 19.{\overline {6}}$. 由于索引 $i$ 必须大于 $19.{\overline {6}}$，找到负项所需的最小索引位于 $$i=20.$$

CLEP 练习题：检验你的理解

1 在算术级数 ${\left\{2,\,6,\,10,\,14,\ldots ,\,398\right\}}$ 中，$398$ 是最后一项，该序列中有多少项？

项。（注意：键入逗号会得到小数，因此不要键入逗号。）

2 一个学区建立了一个系统，每个学校工作日（周一到周五）都被归类为“A 日”或“B 日”。阿比盖尔厌倦了她的铅笔没有被归还。她决定设计一个系统，每个学生都将记录自己的姓和名。铅笔可以自由借用。但是，如果一个学生在放学前忘记把铅笔还给阿比盖尔，她将先收取该学生 $25$ 美分的罚款。之后，每隔一个循环的块日铅笔没有被归还，就会收取 $25$ 美分的罚款——例如，如果一个学生不小心忘记把阿比盖尔的铅笔还回来，他们将在 B 日之后的下一个 A 日被罚款。约瑟夫忘记把铅笔还了 $60$ 个学校工作日。根据阿比盖尔的系统，约瑟夫欠阿比盖尔多少钱？

	$$15.00$
	$$14.75$
	$$7.75$
	$$7.50$
	$$7.25$

3 以下列出了算术序列：${\left\{-{1 \over 3},\,0,\,{1 \over 3},\,{2 \over 3},\,1,\,1{1 \over 3},1{2 \over 3},\,2,\ldots \right\}}$ 以下哪一个公式直接使用任何索引 $i$ 来找到项 $x_{i}$？

	$x_{i}={1 \over 3}-{1 \over 3}(i+1)$
	$x_{i}={1 \over 3}-{1 \over 3}(i-1)$
	$x_{i}=-{1 \over 3}+{1 \over 3}i$
	$x_{i}=-{1 \over 3}+{1 \over 3}(i-1)$
	$x_{i}=-{1 \over 3}+{1 \over 3}(i+1)$

4 如果一个数列的首项是 $x$，最后一个 $501$^st 项是 $9,000$，公差是 $20$，那么这个数列的第二项是多少？

	$-1,000$
	$-980$
	$-1,020$
	$1,000$
	$980$

5 给定 $a_{i}$ 是一个数列中索引为 $i$ 的项，一个数列的首项是 $x$，公差是 $d$，以下哪些陈述 必须 为真？请指明 所有 这样的陈述。

	$a_{1}=x;a_{i}=x+d(i-2)+d$
	${x-a_{i} \over d}-1=i$
	$a_{i}-x+d=di$

等比数列

等比数列的定义。

一个等比数列是一个数列 ${\left\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},x_{k+1},\ldots \right\}}$，其中一个实数 $r$，称为公比，被乘以每一项的后续项，除了第一项 $x_{1}$，使得数列形成 ${\left\{x_{1},x_{1}r,x_{1}r^{2},x_{1}r^{3},\ldots \right\}}$

像往常一样，如果你不明白，试着在脑海中想几个数字的例子。设公比 $r=2$ 并且设 $x_{1}=1.5$。下一项 ${x_{2}=x_{1}r}$，因此 $x_{2}=1.5\cdot 2=3$。如果你保持这种模式，你将得到以下数列：${\left\{1.5,3,6,12,24,48,\ldots \right\}}$

递推公式

与算术公式一样，你可以找到等比数列的递推公式和通项公式。由于每一项都乘以公比 $r$，设任何索引为 $i$ 的项由 $x_{i}$ 表示。要找到下一项，需要知道前一项。因此，$x_{i}=rx_{i-1}$

等比数列的递推公式

给定一个初始值 $a$ 和常数差 $d$，等差数列中的第 $i$^th 项由数列中的前 $(i-1)$^th 项给出

$x_{1}=a;x_{i}=rx_{i-1}$ 或

${\begin{cases}x_{1}=a\\x_{i}=rx_{i-1}\end{cases}}$

直接公式

与算术数列一样，让我们绘制递归几何公式的图表。${x_{1}=a;x_{k}=rx_{k-1}}$.

$${\begin{array}{|c|c|}k&x\\\hline 1&a\\\hline 2&ar\\\hline 3&ar^{2}\\\hline 4&ar^{3}\\\hline \vdots &\vdots \end{array}}\!$$

如果你仔细想想，上面的表格实际上是一个指数函数，$f(k)=ab^{k}$，从$k=1$开始。写出函数为$x=ar^{k}$。我们接近了答案。我们的自变量$k$向右平移了$1$个单位，所以$x=ar^{k-1}$ 是我们的函数。实际上，我们找到了直接关系。以我们通常的书写方式重新写出来，我们就找到了直接公式：$x_{k}=ar^{k-1}$.

几何数列的直接公式

给定初始值$a$和公比$r$，几何数列中的第$i$^th 项由直接公式给出

$$x_{i}=ar^{i-1}$$

示例 1.2.2.a：发现了几何数列${\left\{22.4,11.2,5.6,2.8,1.4,\ldots \right\}}$。该数列的第$18$th 项是多少？ 为了找到答案，我们需要知道上面数列的公比$r$。从数列中选择任何任意项，并将其应用于直接几何公式：$x_{2}=ar^{2-1}$。求$r$ $11.2=22.4r.$ $r=0.5={1 \over 2}.$ 已知 $r$ 的值，可以使用直接公式求出该序列的第 $18$ 项。 $x_{18}=22.4\left({\frac {1}{2}}\right)^{18-1}$ $x_{18}=22.4\left(0.00000762939\right)$ $$x_{18}=0.00017089843$$

当然，您可以自己完成这些示例，或者跟着步骤进行，以便了解如何解决问题。

探究 1-4: 令首项为 $x_{1}=a$。论证序列 ${a,-2a,4a,\ldots }$ 是否为等比数列。

等比数列的各项必须乘以一个公比 $r$。如果该序列是等差数列，则必须添加一个公差 $d$，这样才能使前一项加上一个常数差得到正负交替的项。由于这是不可能的，因此您必须将上述序列中的项乘以一个公比 $r$。

探究 1-5: 幂函数是指函数 $f$，其幂项 $p$ 为任意实数 $\mathbb {R}$ 或 $p\in \mathbb {R}$，其中 $f(x)=ax^{p}$。令 $p={1 \over 2}$ 且 $a=2$。如果 $f(x)=ax^{p}$，

• 将 $x$ 的每个值乘以一个公比 $r$。**确定**通过使用任何 $r$ 的值，**举例**，该范围是否也是一个几何序列。
• **证明**将定义域 $x$ 乘以一个公比 $r$ 将会得到一个几何范围（其中定义域的公比为 $r_{f})$）。

* 由于 $f$ 的定义域必须是一个乘以一个公比 $r$ 的几何序列，将 $x$ 的每个值乘以 $r=2$。将形成以下几何序列：由于 $x\cdot 2$，给定 $f(2x)=2{\sqrt {2x}}$，$f(2x)$ 将会形成 ${2{\sqrt {2}},\,4,\,2{\sqrt {6}},\,2{\sqrt {8}},\ldots }$。每个序列的值必须乘以 ${\sqrt {2}}$。因此，对于给定的 $r$ 值，$f$ 的范围必须是几何的。

• The question is asking whether or not $f(xr)$ will give a range for $f(x)$ such that you multiply by a constant. Let's define that constant as $r_{f}$. Let $f(x)=f\left(x_{1}\right)$. Since $f\left(x_{1}\right)=a\left(x_{1}\right)^{p}$, if $x_{2}=x_{1}r$, then $f\left(x_{2}\right)=a\left(x_{2}\right)^{p}$. Since $x_{2}=x_{1}r$, function $f\left(x_{2}\right)=a\left(x_{1}r\right)^{p}$. Since any term $(ab)^{m}$ will give $a^{m}b^{m}$, function $f\left(x_{2}\right)=ax_{1}^{p}r^{p}$. Since $ax_{1}^{p}=f\left(x_{1}\right)$, function $f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)r^{p}$. Since $r$ and $p$ are constant, the expression $r^{p}$ will be constant. Since you are multiplying the range, $f\left(x_{1}\right)$, by a common ratio (otherwise known as a geometric sequence), given the constant $r^{p}=r_{f}$, then when multiplying the values of the domain, the range must be multiplied by a constant

$$f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)r_{f}.$$

级数

找到这些序列的模式固然很棒，但这些序列的唯一用途仅仅是模式吗？答案永远是“不”。数学中，任何事物都有着巨大的实用价值。函数不仅描述了与数字相关的模式，还能预测当使用 $x$ 作为输入， $y$ 作为输出绘制图形时所创建的图形。利用序列中的术语，我们能否确定一个总和？可以，我们称之为 **级数**。

级数的定义。

**级数** 是一个序列中所有项的总和。

通过强力方法总是可以找到一个序列的总和：将所有项逐一加起来，得到答案。数学家是懒人，不想做不必要的额外工作。也就是说，数学家们 *聪明地工作，而不是努力地工作*。

等差级数

示例 2.1.1.a： ${1+2+3+\ldots +97+98+99+100}$ 是多少？ 这是许多数学家中的一个经典示例。你可能会伸手去拿你的计算器，但这将花费很长时间才能输入所有这些数字，并且在写出表达式时可能会不小心犯错误。问题是，如何在 CLEP 考试给定的短时间内解决这个问题？请注意，这里有一个模式：级数的第一项， $1$，加上级数的最后一项， $100$，将得到 $101$。级数的第二项， $2$，加上级数的倒数第二项， $99$，将得到 $101$。事实上，对于级数中的所有 $100$ 项，每对数字根据其 "位置" 相加都得到 $101$。由于级数中有 $50$ 对，并且每对数字的总和总是得到 $101$， $$101\cdot 50=5050{\text{ 是上面表达式的总和。}}$$

让我们对上面的陈述做一个推测。毕竟，我们不是仅仅被输入一种方法并以相同的方式做事的机器人。我们将缩短上面问题中表达式的一部分，看看我们的方法是否对任意数量的项有用。设 $n$ 为等差数列 $A_{E}$ 中的项数，设 $S$ 为 $A_{E}$ 的和，设 $S_{m}$ 为我们将在示例 2.1.1.a 中使用的相同方法希望能够得到和 $S$ 的列。

$${\begin{array}{|c|c|}n&A_{E}&S&S_{m}\\\hline 2&1+2&3&(1+2)\cdot 1=3\\\hline 3&1+2+3&6&(1+3)\cdot 1.5=6\\\hline 4&1+2+3+4&10&(1+4)\cdot 2=10\\\hline 5&1+2+3+4+5&15&(1+5)\cdot 2.5=15\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline n&1+2+\ldots +(n-1)+n&S&(1+n)\cdot {n \over 2}=S\end{array}}\!$$

注意奇数项有一个奇怪的（或者可能是奇怪的）行为，其中不是所有项对的和都相同（因为项对的数量不是偶数）。虽然从上面的表中可以看出，对奇数项使用示例 2.1.1.a 中的方法似乎可以行得通，但对于某些非常大的奇数项，它可能并不适用。因此，重要的是要证明这一点是正确的。现在，让我们简单地定义这个公式对偶数项和奇数项都适用。

求等差数列和的高斯方法。

对于任意有限序列 ${\left\{x_{i}\right\}}$，其中 $x_{i}=a+(i-1)d$，包含 $k$ 项，每项的和为

$$S_{A}={a+x_{k} \over 2}\cdot k.$$

有限集是指其中包含的任何东西的数量是确定的。无限集是指其中包含的数量没有确定数量的集。

注意：上面的公式在数学家中被称为“高斯方法”。这本维基教科书将简单地将此方法称为“高斯方法”。^{[参见脚注 1]}

示例 2.1.1.b：已知等差数列的和为 $600$，首项为 $50$，但末项为 $250$，常差是多少？ 对于不知道高斯方法或等差数列性质的人来说，这似乎是一个不可能解决的问题。然而，由于你已经留心了，你就可以自己算出来。为了举例说明，这本维基教科书将解释一下。我们不知道序列中有多少项，所以让我们来找出有多少项。由于 $$S_{A}={a+x_{k} \over 2}\cdot k,$$ $$600={50+250 \over 2}\cdot k.$$ 这个主题不是白叫“大学代数”的，所以做一些代数运算吧。 $$600={300 \over 2}\cdot k$$ $$600=150k$$ $$40=k$$ 然而，请注意，我们并没有寻找序列中的项数。我们想知道等差序列的公差。因此，使用等差数列直接公式： $x_{k}=a+d(k-1)$！ $$x_{40}=250$$ $$250=50+d(40-1)$$ $$200=39d$$ $${200 \over 39}=d$$ $$5{5 \over 39}=d$$

例 2.2.1.b 帮助我们了解如何找到项数和公差。有时，你可能只是不知道例 2.2.1.b 中需要找到的其中一个或两个信息，更常见的是项数。下一个例子将帮助说明了解等差数列和等差数列性质的有用性。

例 2.1.1.c：等差数列 ${4+9+14+\ldots +2,494+2,499+2,504}$ 的和是多少？ 为了求和，我们需要知道有多少项；否则我们无法使用高斯方法。因为我们不知道级数的和，所以让我们使用等差数列直接公式（因为我们知道哪一项对应于哪个位置）。我们想要找到项数， $k$，所以使用最后一项 ($x_{k}=2,504$）。 首先，找到常数差。从 $4$ 到 $9$，我们需要在 $4$ 上加 $5$。因此，常数差为 $d=5$。更正式地说：如果递归公式 $x_{1}=4;x_{2}=4+d$ 以及 $x_{2}=9$，那么 $x_{1}=4;9=4+d$ 意味着 $d=5$。 第二，找到项数。如果 $x_{k}=2,504$，$d=5$，以及 $x_{1}=a=4$，那么 $2,504=4+5(k-1)$。解出 $k$ $$2,500=5(k-1)$$ $$500=k-1$$ $$501=k.$$ 最后，使用高斯方法 $$S_{A}={4+2,504 \over 2}\cdot 501$$ $$S_{A}={2,508 \over 2}\cdot 501$$ $$S_{A}=1,254\cdot 501$$ $$S_{A}=628,254.$$

正如你所见，等差数列可以用来描述任何类型的序列。现在我们已经充分探索了等差数列，让我们证明高斯方法对于奇数项数是有效的。

注意：你将要学习的内容不是课程要求。如果你不理解这个证明，不要担心，因为它对 CLEP 考试并不重要。这些证明只是为了建立对概念的数学理解。因此，如果你愿意，你可以跳过这些内容。

已知 ${a+x_{k} \over 2}\cdot k$ 可以求出等差数列的和，证明 ${a+x_{k} \over 2}\cdot k$ 对奇数项也适用。

假设等差数列有 $k$ 项，则 $x_{k}=a+d(k-1)$.

因为 $k$ 是奇数，添加一项后数列就变成偶数项：$x_{k+1}=a+d([k+1]-1)=a+dk$.

由于 $x_{k+1}=a+dk$，将 $x_{k+1}$ 加入数列使其成为最后一项，因此 ${a+a+dk \over 2}\cdot (k+1)$.

因为 ${x \over z}=xz^{-1}$ 且 $xz=zx$，则 $2^{-1}\cdot (a+a+dk)\cdot (k+1)=(a+a+dk)\cdot 2^{-1}(k+1)=(a+a+dk)\cdot {k-1 \over 2}$.

$-(a+dk)+(a+a+dk)\cdot {k-1 \over 2}$ 将帮助我们找到我们需要求和的项数。

${{(2a+dk)(k-1) \over 2}-a-dk={2ak+2a+dk+dk^{2} \over 2}-a-dk={2ak+2a+dk+dk^{2} \over 2}-{2a-2dk \over 2}=}$

${{2ak+2a+dk+dk^{2}-2a-2dk \over 2}={2ak-dk+dk^{2} \over 2}={k(2a-d+dk) \over 2}={k \over 2}\cdot (2a-d+dk).}$

由于 $-d+dk$ 两项都有 $d$ 作为公因数，所以 $d(k-1)$.

${[2a+d(k-1)]\cdot {k \over 2}=[a+a+d(k-1)]\cdot {k \over 2}}.$

因为 $x_{k}=a+d(k-1)$，所以 ${[a+a+d(k-1)]\cdot {k \over 2}=\left(a+x_{k}\right)\cdot {k \over 2}={a+x_{k} \over 2}\cdot k}$.

${a+x_{k} \over 2}\cdot k$ 与我们最初的公式相同；因此，同一公式适用于奇数项和偶数项。

CLEP 练习题：检验你的理解

1 给定等差级数 $50+45+30+\ldots -700$，确定等差级数的项数。

. （注意：输入逗号会得到小数，因此不要输入逗号。）

2 给定等差级数 $50+45+30+\ldots -700$，确定等差级数的和。

. （注意：输入逗号会得到小数，因此不要输入逗号。）

3 函数 $S$ 具有以下性质：$S(x)=x{\text{ if }}-20\leq x\leq 50$ 和 ${\displaystyle S(x)=3x+1{\text{ if }}50$。一名学生决定将所有 $x\in \mathbb {Z}$ 的项相加，或将属于整数集的所有 x 的项相加。函数 $S$ 在所有 $x\in \mathbb {Z}$ 上的所有项的和是多少？

	$56,625$
	$57,641$
	$57,690$
	$57,450$
	$56,776$

4 等差数列的首项为 $a<0$。设有两个独立的数列，$\left\{x_{i}\right\}=a+d(i-1)$ 和 $\left\{a_{k}\right\}=a+d(k-1)$，每个数列都有 $500$ 项。如果对于 $\left\{x_{i}\right\}$，公差为 $d<0$，但对于 $\left\{a_{k}\right\}$，公差为 $d>0$，以下哪些必须为真？请指出所有这样的陈述

	$x_{1}-x_{2}-\ldots -x_{499}-x_{500}-a_{1}-\ldots -a_{499}-a_{500}=998a$
	$x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{499}+x_{500}+a_{1}+\ldots +a_{499}+a_{500}=-1,000a$
	$x_{500}<0$

注意，这份练习测验尚未完成。

算术级数的证明

注意：你将要学习的内容不是课程要求。如果你不理解这个证明，不要担心，因为它对 CLEP 考试并不重要。这些证明只是为了建立对概念的数学理解。因此，如果你愿意，你可以跳过这些内容。

几何级数

虽然找到算术序列的和令人惊叹，但几何序列的和呢？幸运的是，数学家已经找到了计算这个概念的方法。这个定理（不是猜想，希望你会在几何级数证明中看到）是数学家们从抽象中找到的问题解决方案的众多方法之一。与往常一样，最好先了解如何使用公式，然后再了解公式。为了更深入地学习，我们要理解概念，而不是在考试中背诵公式并说：“我知道答案。”

例 2.2.1.a：几何级数${1+2+4+8+\ldots +512}$的和是多少？ 我们定义一个和$S$ 来表示几何序列：${1+2+4+8+\ldots +512=S}$ 注意除了$x_{1}=1$以外的所有项都有一个因子$2$。因此，通过减去$1$将第一项移到另一边：${2+4+\ldots +512=S-1}$。然后，在左边提取2：$${2(1+2+4+\ldots +256)=S-1}$$ 这个练习的关键发现是注意到${1+2+4+\ldots +256}$是$S$，但没有$512$，因此，考虑到${S=1+2+4+8+\ldots +512}$， $${1+2+4+\ldots +256}=S-512$$ 使用初等代数解题 $${2S-1024=S-1}$$ $${2S-S=-1+1024}$$ $${S=1023}$$

请注意我们是如何解决这个问题的。我们说这个和必须等于一个正数，所以我们确定，如果它确实等于某个东西，我们可以通过某种方式计算出来，而无需进行任何冗长的计算。我们能否将这种方法应用于一些一般的几何序列？这就是我们如何确定公式的方法。在您的探索中，您将被要求对几何级数公式进行证明。我们仍然会给出公式，但您必须在下一个探索中自己证明。当然，我们也将在下一节中介绍另一种证明几何级数公式的方法。

探索 2-1：给定：首项为 $a$，公比为 $r$ 的几何级数，共 $k$ 项。
证明：几何级数的和 $S={a\left(1-r^{k}\right) \over 1-r}$.

给定 $k$ 项，几何序列 $\left\{a_{i}\right\}=ar^{i-1}$ 将会把所有项加起来到 $k$ 项，以这种形式表示：$S=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-1}$.

我们知道 $S-a$ 将使得等号右侧的所有项都具有因子 $r$。因此，

$$S-a=r\left(a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}\right).$$

请注意 $S-ar^{k-1}=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}$，所以用 $r$ 除，并将等式应用于表达式，得到

$${S-a \over r}=S-ar^{k-1}.$$

减去 $S$，并将左侧表达式写成分数形式

$${S-a \over r}-{S \over 1}={S-a-Sr \over r}=-ar^{k-1}.$$

乘以 $r$，并加上 $a$

$$S-Sr=a-ar^{k}.$$

左侧提取 $S$，右侧提取 $a$，并除以 $1-r$

$$S={a\left(1-r^{k}\right) \over 1-r}.$$

等比数列公式。

对于任何有限的等比数列 ${\left\{x_{i}\right\}}$，其中 $x_{i}=ar^{i-1}$，包含 $k$ 项，每项的乘积为

$$S_{G}={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$$

对于这个维基教科书^{[见脚注 2]}。

等比数列证明

注意：你将要学到的东西在课程中是**不**需要的。如果你不明白这些概念，不用担心，因为它们对 CLEP 考试无关紧要。这些证明只是为了帮助你对这些概念建立数学理解。因此，如果你愿意，可以跳过这些内容。

给定一个具有 $k$ 项的等比数列，公比为 $r$，证明该数列的和， $S$，等于 ${a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$.

根据定义，等比数列的通项公式为 $x_{i}=x_{1}\cdot r^{i-1}$，其中 $x_{1}=a$。因此，以下等式成立：$a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}$.

令 $a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}=S$.

在等式两边加上 $ar^{k}$
$$a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}+ar^{k}=S+ar^{k}.$$

将 $a$ 移到等式另一边
$$ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}+ar^{k}=S+ar^{k}-a.$$

将等式左侧所有项的公比 $r$ 提取出来
$$r\left(a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}\right)=S+ar^{k}-a.$$

将等式右侧表达式 $ar^{k}-a$ 中的 $a$ 提取出来
$$r\left(a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}\right)=S+a\left(r^{k}-1\right).$$

注意，因为 $a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}=S$，我们可以将其代入左侧的表达式。
$$rS=S+a\left(r^{k}-1\right).$$

最后，求解 $S$
$$rS-S=a\left(r^{k}-1\right)$$

$$S(r-1)=a\left(r^{k}-1\right)$$

$$S={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}.$$

因此，等比数列的和必须是 $S={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$.

求和符号

你们中有多少人厌倦了写出表达式？你们中有多少人厌倦了计算一个数列中有多少表达式？我们在算术数列或等比数列中方便地使用的简写在哪里？感谢您的所有答案，它们即将到来。

假设您要写出表达式 $\underbrace {1+1+1+1+\ldots +1+1} _{500}$，其中有 $500$ 个项，每个项都是数字 $1$。我们希望能够在不考虑太多的情况下评估该数列，或者甚至在不经过太多思考的情况下立即想到该表达式的简写。但是，这个简单练习的目的是介绍一个新的符号。

设 $\sum$ 表示一个级数的和。符号下方是级数的起始索引 $i=a$（蓝色），符号上方是级数的最后一个索引 $k$（红色）。括号内的项表示级数遵循的序列，$f(i)$（橙色）。下面显示了该符号的使用 $$\sum _{\color {Blue}i=a}^{\color {Red}k}\left({\color {Orange}f\left(i\right)}\right).$$ 这里，我们知道 $\left\{1,1,1,1,\ldots 1,1\right\}$ 必须具有序列 $x_{i}=1+0(i-1)=1=f\left(i\right)$。

解释 $f(i)$ 的含义告诉我们，对于序列中的任何数字，表达式中的第 $i$ 项为 $1$。已知序列从索引 $1$ 开始，意味着 $i=1$，并且有 $500$ 项，意味着 $k=500$，我们可以将 **sigma 表示法** 写成如下形式：$$\sum _{\color {Blue}i=1}^{\color {Red}500}\left({\color {Orange}1}\right).$$

用括号写出包含 $f(i)$ 的 sigma 表示非常重要。通常，如果没有括号，可能会意外地混淆其他项。出于这个原因，本维基教科书建议将 $f(i)$ 项写成括号形式。

一般级数的 sigma 表示

对于任何具有公式 $f(i)$ 的序列，从任意点 $i=a$ 开始，给定 $k$ 项，sigma $\left(\sum \right)$ 表示法写成如下：$$\sum _{i=a}^{k}\left(f\left(i\right)\right).$$

sigma 符号的写法还有其他几种，特别是手写时，通常会采用简写形式。如果你想节省时间，可以使用这种写法。

• $\sum _{i=a}^{k}\left(f(i)\right)=\sum _{a\leq i\leq k}\left(f(i)\right)$
• $\sum _{i=a}^{\infty }\left(f(i)\right)=\sum _{i\geq a}\left(f(i)\right)$

在我们开始探索之前，最好介绍一些可以改写成 sigma 形式等价式的表达式。有些表达式甚至可能不符合我们目前见过的公式。尽管如此，我们还是继续讨论这个概念。

示例 2.3.1.a：将该序列写成其 sigma 形式的等价式：${\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}+{\frac {4}{5}}+\cdots +{\frac {70}{71}}+{\frac {71}{72}}$ 在开始之前，最好先看看是否有任何可能的规律。因为你在使用 sigma 符号，所以检查是否需要一个涉及加法的规律。 观察前两项的分子。假设我们从索引 $i=1$ 开始。要从第一项的分子得到第二项的分子，只需在第一项上加 1。类似地，要从第一项的分母得到第二项的分母，只需在第一项上加 2。这些规律在每一项上都成立。 $f(i)={\frac {i+1}{i+2}}$。很容易验证每一项与其对应索引的规律。 因为这个函数是成立的，所以我们用它来找到表达式中项的个数（即，观察表达式中的最后一项）。 设 $f(k)={\frac {71}{72}}={\frac {k+1}{k+2}}$。在该等式中，有很多方法可以求解 $k$，即表达式的最后一项。我们将展示标准方法。 ${\frac {k+1}{k+2}}={\frac {71}{72}}$ $\Leftrightarrow 72\cdot (k+1)=71\cdot (k+2)$ $\Leftrightarrow 72k+72=71k+142$ $\Leftrightarrow k=70$ 我们已经证明了这个表达式包含 70 项。有了索引、项数和函数，我们现在可以写出 sigma 等价式：$$\sum _{i=1}^{70}\left({\frac {i+1}{i+2}}\right)\blacksquare$$ 或者，可以更改索引来获得完全不同的 sigma 符号。请注意，当索引从 $i>1$ 开始时，公式和最后一项的索引也会发生变化。这里，我们将专门查看 $i=2$。记住，索引表示系列中的位置，从 2 到 3 只是与分子一起改变的问题。因为分母只是同一个想法，只是比索引多 1，所以分母遵循 $i+1$ 的模式。因此，sigma 符号的函数是 $g(i)={\frac {i}{i+1}}$。很容易验证其各自索引中的每一项。 使用此函数来查找最后一项的索引。 设 $f(k)={\frac {71}{72}}={\frac {k}{k+1}}$。我们将以最简单的方式解决这个问题。因为分子和分母都是常数，非零项，并且 $k$ 仅仅是最后一项的索引表达式，可以简单地将分子设置为另一个分子，分母也是如此。也就是说， ${\begin{cases}k=71\\k+1=72\end{cases}}$ 这可能是今年学习大学代数时遇到的最简单的方程组。由此，很明显 $k=71$。 知道了索引的起点、函数和最终索引，此情况的 sigma 形式为 $$\sum _{i=2}^{71}\left({\frac {i}{i+1}}\right)\blacksquare$$ 请注意模式是如何改变的。非常有趣，你说呢？

有些表达式仅凭观察就难以确定。这些表达式很可能涉及乘以另一个因子的因子。确定这种模式的最佳方法是将项除以查看因子是什么。

示例 2.3.1.b：将序列写成其 sigma 形式的等价式：$0-2-2+0+4+10+\ldots$ 这里似乎没有模式。最好的办法是确定项之间的任何相似之处，看看是否从那里找到了模式。 注意到第一个和第四个项为零。这意味着存在一个项，它可以让我们得到零值。让我们假设它们是线性函数。如果$k=0$是第一个项的索引，而$k=3$是第三个项的索引，那么一个可能的求和函数是$\sum _{k\geq 0}\left(k(k-3)\right)$。让我们应用这个函数，看看它是否有效。 $k=0\Rightarrow 0$ $k=1\Rightarrow -2$ $k=2\Rightarrow -2$ $k=3\Rightarrow 0$ $k=4\Rightarrow 4$ $k=5\Rightarrow 10$ 看来这个函数对每个项都适用。因此，它有效。 $\sum _{k=0}^{\infty }\left(k(k-3)\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(k^{2}-3k\right)\blacksquare$

稍后会添加更多示例。 下一个探索将要求你使用西格玛形式写出各种表达式。

探索 2-2：将以下每个表达式改写成其西格玛形式的等价形式。

(a) $1+3+5+7+9+\ldots +541+543$
(b) $1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}$
(c) $1+2+3+\ldots +99+100+102+104+\ldots +200$

(d) $100-20+4-{4 \over 5}+{4 \over 25}-100-120-140$

为了回答每个问题，你需要知道每个级数中包含多少项。确定这一点的唯一方法是确定所应用的序列类型。

(a) 还记得我们要如何找到一个等差数列中的项数和公差来求和吗？这里也是一样的。求和符号，它代表了对数列中每一项的加和。在这种情况下，我们需要知道数列的公差和项数才能确定它的有效性。注意 $\left\{1,\,3,\,5,\,\ldots ,\,543\right\}$ 是一个公差为 2 的等差数列。因此，给定首项为 $1$，等差数列公式为 $x_{i}=1+2(i-1)=f(i)$。由此，我们可以确定最后一项的位置：$543=1+2(i-1)$。解出 $i$ 后，你会发现数列中共有 $i=273$ 项。因此，你可以最终写出最终答案
$$\sum _{i=1}^{273}\left(1+2\left(i-1\right)\right).$$
注意，因为你可以从 $i=0$ 开始计数项，你可以将表达式改写如下
$$\sum _{i=0}^{272}\left(1+2i\right).$$

(b) 使用与 (a) 中相同的思路，将表达式改写成它的求和符号等效形式。注意这个数列是一个公比为 ${1 \over 2}$ 的等比数列，从 $1$ 开始。因此，$f(i)=\left({1 \over 2}\right)^{i-1}$。由于不需要使用公式来找出数列中有多少项，只需数一数，你就能得到答案
$$\sum _{i=1}^{4}\left({1 \over 2}\right)^{i-1}.$$
同样地，你可以从 $i=0$ 开始改写求和符号等效形式
$$\sum _{i=0}^{3}\left({1 \over 2}\right)^{i}.$$

(c) 表达式中显示了两个序列。将每个序列分别表示如下：$f_{1}\left(i\right)=1+2+3+\ldots +99$ 和 $f_{2}\left(i\right)=100+102+104+\ldots +200$。 同时 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 都是等差数列，但公差和首项不同。为了避免逐一解释，我们只提供每个序列的公式：$f_{1}(i)=1+1(i-1)$ 和 $f_{2}(i)=100+2(i-1)$。 注意，首项和末项不适合在同一个求和符号中使用，因此需要将其拆分为两个求和表示式并相加。 因此，该表达式的求和符号表示如下：
$$\sum _{i=1}^{99}(1+1(i-1))+\sum _{i=1}^{51}(100+2(i-1)).$$
你明白为什么我们要求你使用括号来写公式吗？ 另外，你可能对序列的划分方式有所不同。在这种情况下，如果 $f_{1}\left(i\right)=1+2+3+\ldots +99+100$ 和 $f_{2}\left(i\right)=102+104+\ldots +200$， 那么 $f_{1}(i)=1+1(i-1)$ 和 $f_{2}(i)=102+2(i-1)$， 其中 $f_{1}$ 有 $100$ 项，而 $f_{1}$ 有 $50$ 项。 因此，另一种表示法也是合适的
$$\sum _{i=1}^{100}(1+1(i-1))+\sum _{i=1}^{50}(100+2(i-1)).$$

(d) 表达式中显示了两个级数。将每个级数分别写成以下形式：$f_{1}\left(i\right)=100-20+4-{4 \over 5}+{4 \over 25}$ 和 $f_{2}\left(i\right)=-100-120-140$。虽然 $f_{1}$ 是一个公比为 $-{1 \over 5}$ 的等比数列，$f_{2}$ 是一个公差为 $-20$ 的等差数列。不用解释每个数列，只需要给出每个数列的公式：$f_{1}(i)=100\left(-{1 \over 5}\right)^{i-1}$ 和 $f_{2}(i)=-100-20(i-1)$。由于公式不同以及使用的起始数字不同，不可能将它们合并到同一个和中。因此，该级数的西格玛形式为
$$\sum _{i=1}^{5}\left(100\left(-{1 \over 5}\right)^{i-1}\right)+\sum _{i=1}^{3}(-100-20(i-1)).$$
注意，你加上了另一个项，而不是减去它。如果你要减去第二个西格玛表示式，实际上就是把每个第二项的符号翻转了。因此，除非你把它改为以下形式，否则第二个级数表示式是错误的。

$$\sum _{i=1}^{5}\left(100\left(-{1 \over 5}\right)^{i-1}\right)-\sum _{i=1}^{3}(100+20(i-1)).$$

西格玛简化技巧

在某些教科书中，这部分被称为规则。我们称它们为真正的名称：简化常见西格玛表示式的技巧。

对于任何常数项为 $c$，从索引 $i=1$ 开始，并给定 $k$ 项，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(c\right)=ck.$$

和以往一样，如果你感到困惑，请写出一些术语。上面的求和符号表示，对于任何常数项$c$，将其加$k$ 次，得到的总和等于$\underbrace {c+c+c+\ldots +c+c+c} _{k}=ck$。永远不要忘记，乘法就是重复加法。你在小学学到的这条公理至今仍然很重要。

对于任何具有常数项$c$ 乘以变化的下标 $i$ 的级数，从下标 $i=1$ 开始，并给定$k$ 个总项，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(ci\right)=c\sum _{i=1}^{k}\left(i\right).$$

这条第二条“规则”可以简化为以下内容。由于$\sum _{i=1}^{k}\left(ci\right)$，我们可以得出结论，$\sum _{i=1}^{k}\left(ci\right)=1c+2c+3c+\ldots +c(k-2)+c(k-1)+ck$。表达式 $1c+2c+3c+\ldots +c(k-2)+c(k-1)+ck$ 中的每一项都有公因数 $c$，因此$c(1+2+3+\ldots +(k-2)+(k-1)+k)$。请注意，括号内部的每一项都是一个基本级数，其中$i$ 从 $1$ 开始，到最后一项 $k$，作为总和，因此

$$\sum _{i=1}^{k}\left(ci\right)=c\sum _{i=1}^{k}\left(i\right).$$

对于任何具有常数项$c$的级数，除了改变索引$i$，从索引$i=1$开始，并给定$k$个总项，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(c+i\right)=kc+\sum _{i=1}^{k}\left(i\right).$$

这个结论可能不太容易理解，但我们可以通过手动计算来验证。请记住，sigma 符号只是具有某种公式的求和的简写形式，因此在遇到困惑时，可以尝试将其中一项写出来。注意，$\sum _{i=1}^{k}\left(c+i\right)=(c+1)+(c+2)+(c+3)+(c+4)+\ldots +(c+k-1)+(c+k)$。由于加法是可交换的，并且括号不会改变级数的和，我们可以将项分组，使得$(c+1)+(c+2)+(c+3)+(c+4)+\ldots +(c+k-1)+(c+k)=\underbrace {c+c+c+c+\ldots +c+c} _{k}+(1+2+3+\ldots +k-1+k)$。我们已经确定了每个分组的sigma 符号，因此我们可以将其组合在一起，从而得出以下结论是正确的。

$$\sum _{i=1}^{k}\left(c+i\right)=kc+\sum _{i=1}^{k}\left(i\right).$$

对于任何具有常数项$c$的级数，除了$i$或$f\left(i\right)$函数范围，从索引$i=1$开始，并给定$k$个总项，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(c+f\left(i\right)\right)=kc+\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)\right).$$

请注意，上面的“规则”只是之前规则的扩展。如果 $f(i)=i$，那么 $\sum _{i=1}^{k}\left(c+f\left(i\right)\right)=kc+\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)\right)$。请注意，任何函数都可以符合这条规则。作为扩展，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(cf\left(i\right)\right)=c\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)\right)$$

利用这些一般知识，我们还可以证明下一个“规则”。

对于任何以常数项 $a$ 乘以 $i$ 或 $f\left(i\right)$ 的函数构成的级数，从索引 $i=1$ 开始，在将常数 $c$ 加到乘积中，并给定 $k$ 个总项时，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(c+af\left(i\right)\right)=kc+a\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)\right).$$

鉴于我们找到相同恒等式的方式，您可以自己完成此恒等式的证明，作为求和符号的练习。(当然，本维基教科书将提供大量练习。)

除了这些练习之外，您也可以尝试证明下一个“规则”的恒等式也是正确的。

对于任何公式由两个不同的任意函数组成的级数：$f\left(i\right)$ 和 $g\left(i\right)$ 构成的级数，从索引 $i=1$ 开始，并给定 $k$ 个总项时，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)+g\left(i\right)\right)=\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)\right)+\sum _{i=1}^{k}\left(g\left(i\right)\right).$$

有了这些，您现在已经为证明和反驳陈述以及创建自己的恒等式所必需的工具奠定了充分的基础。在我们进入下一节之前，我们必须提及本维基教科书中学习的每种级数类型的求和恒等式。

级数类型的求和恒等式

等差级数的求和恒等式是什么？在我们给出恒等式之前，了解等差级数非常重要。如果您正在阅读本维基教科书，并且从一节跳到另一节，我们建议您阅读前面的任何内容，如果当前的推理似乎没有意义。首先，我们如何使用公式写出等差数列？像这样
$$x_{k}=a+(k-1)d.$$
求算术级数的公式如下
$$S_{a}={a+x_{k} \over 2}k.$$
注意 $x_{k}$ 出现在两个公式中，所以将 $x_{k}$ 代入 $a+(k-1)d$，则得到
$$S_{a}={2a+(k-1)d \over 2}k=ak+{(k-1)d \over 2}k=\left[2a+(k-1)d\right]{k \over 2}.$$
因为 $x_{k}=a+(k-1)d.$ 也是一个帮助我们求级数中每一项的公式，我们终于得到了我们的 sigma 恒等式

算术级数的 sigma 形式公式

一个算术级数，其公式为 $f(i)=a+(i-1)d$，从索引 $i=1$ 开始，给定 $k$ 个总项，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(a+(i-1)d\right)={2a+(k-1)d \over 2}\cdot k.$$

我们可以使用同样的过程来求几何级数的和。你可以将此作为你的下一个练习，证明几何级数的 sigma 形式与下面所示的相同。

几何级数的 sigma 形式公式

一个几何级数，其公式为 $f(i)=ar^{i-1}$，从索引 $i=1$ 开始，给定 $k$ 个总项，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}.$$

检验你的理解

以下问题主要是理解题。如果你能解决以下所有问题，就说明你已经理解了关于求和符号所需的所有知识。请记住，这些问题比一般的 CLEP 问题要难得多；但是，能够熟练地解决这些问题证明了你对材料的更深入理解，这意味着你将更好地准备应对更简单的题目和更难的题目。

非计算器问题。预计完成时间：30 分钟。

1. 找到最小的 $x$，以使以下表达式的最小实数值。然后，简化并计算最小实数值。不要对你的答案进行四舍五入，也不要使用计算器或程序。

$$\log _{5}\left(\sum _{i=1}^{x}\left(-500+{1 \over 3}i\right)\right)$$

请记住，$\log _{a}c=b$ 是指数方程 $a^{b}=c$ 的逆。其性质如下： $\left\{a\vert a>0,\,a\neq 1\right\},\,\left\{b\vert b>0,\,b\in \mathbb {R} \right\}{\text{ and}},\,c>0$。实数要求以 $c>0$ 的形式出现，也就是说对数内部必须大于零（不能等于零）。这是解决问题的第一步。

$$\sum _{i=1}^{x}\left(-500+{1 \over 3}i\right)>0$$
通过应用属性规则，将求和符号内的两个表达式分开，给定常数 $C=-500$ 和 $f(i)={1 \over 3}i$
$$\sum _{i=1}^{x}\left(-500+{1 \over 3}i\right)=-500x+\sum _{i=1}^{x}{1 \over 3}i>0$$
由于 $\sum _{k=1}^{n}Cf(i)=C\sum _{k=1}^{n}f(i)$，并且 $f(i)$ 是算术级数，那么必须有
$$\sum _{i=1}^{x}{1 \over 3}i={1 \over 3}\cdot {1+x \over 2}x={1 \over 3}\cdot {x(x+1) \over 2}={x(x+1) \over 6}.$$
然后，将两个表达式的和放在同一个分母上，并化简

$-500x+{x(x+1) \over 6}>0$

$\Rightarrow {-3000x \over 6}+{x(x+1) \over 6}>0$

$\Rightarrow {-3000x+x^{2}+x \over 6}>0$

$\Rightarrow {-2999x+x^{2} \over 6}>0$

$\Rightarrow -2999x+x^{2}>0$

$\Rightarrow x(x-2999)>0$

最后，请注意零因子性质得出 $ab=0$ 当且仅当 $a=0$ 或者 $b=0$ 或两者。然而，对于两个乘数相乘得到正积的零因子性质，必须是 $a$ 和 $b$ 都是正数，或者 $a$ 和 $b$ 都是负数。通过这种逻辑，我们可以确定四种可能的解：$x>0$ 且 $x>2999$，或者 $x<0$ 且 $x<2999$。尽管有四种解，但只有一个解是正确的：$x>2999$，因为求和符号仅在 $x\in \mathbb {Z^{+}}$ 或 $x$ 是问题中描述情况下的正整数集合。因此，所有 $x$ *大于* $2999$ 都可以得到可接受的解。但是，这只是问题的第一个部分。现在是简单的部分。

在上述情况中，最小的数字必须是 $x=3000$

${\begin{aligned}\log _{5}\left(\sum _{i=1}^{3,000}\left(-500+{1 \over 3}i\right)\right)&=\log _{5}\left(-500(3,000)+{3,000(3,000+1) \over 6}\right)\\&=\log _{5}\left(-1,500,000+500(3000+1)\right)\\&=\log _{5}\left(-1,500,000+1,500,000+500)\right)\\&=\log _{5}\left(500\right)\end{aligned}}$

最后，简化$\log _{5}\left(500\right)$ 以获得最终答案。

${\begin{aligned}\log _{5}\left(500\right)&=\log _{5}\left(100\cdot 5\right)\\&=\log _{5}\left(10^{2}\cdot 5\right)\\&=\log _{5}\left((5\cdot 2)^{2}\cdot 5\right)\\&=\log _{5}\left(5^{2}\cdot 2^{2}\cdot 5\right)\\&=\log _{5}\left(2^{2}\cdot 5^{3}\right)\\&=3\log _{5}\left(5\right)+2\log _{5}\left(2\right)+1\\&=3+2\log _{5}\left(2\right)\blacksquare \end{aligned}}$

计算器 问题。预计完成时间：30 分钟。
3. 在 $xy$ 平面的第一象限中绘制一个 $58\times 1$ 的矩形。剪切和粘贴 是一种迭代过程，原始矩形被复制，复制的宽度减少 $3$ 个单位，复制的高度增加 $1$ 个单位。这个新的矩形被移到原始矩形的顶部，其最左侧的高度与原始矩形的左侧相连。然后对复制的矩形进行剪切和粘贴。此过程持续进行，直到最终复制的宽度至少为 $1$ 个单位，或最多 $3$ 个单位。长度必须是整数。给定 $58\times 1$ 的矩形，剪切和粘贴图形的累积面积是多少？用求和形式写出这个面积，然后写出最终答案。展示你的工作过程。

回答这个问题最简单的方法是写出矩形面积的求和；只要宽度和高度一起增加，就可以一起计算，整个面积也可以一起计算。首先，列出一种错误的答案

$A(20)=\sum _{i=1}^{19}\left(-500+{1 \over 3}i\right)\cdot \sum _{i=1}^{19}\left(i\right)=5900$

注意为什么上面的答案是错误的。乘以两个和的积并不意味着积是每个索引的和。它是所有索引的和与给定函数的积。意识到这个错误的学生很快就会意识到这个问题比它看起来更难。

如果修正括号，问题可以很容易地解决。回顾一下我们总是说要注意括号。这正是其中一个重要原因。犯了上述错误的学生意识到了一个技巧，但没有正确地利用它。因此，上面的答案是对正确应用解决方案的高估。

设每个索引的长度为 $l(i)$，宽度为 $w(i)$。分析上述过程的模式，可以洞悉每个索引的累积面积的最终结果。我们想要找到最终结果，某个 $k$，它允许宽度为以下值

$1\leq l(k)\leq 3$.

首先，注意函数 $l(i)$ 是算术的，并且是递减的。我们从 $l(1)=58$ 开始，差值为 $3$，因此

$l(i)=58-3(i-1)$.

$w(i)$ 也是如此。因为宽度从 $i=1$ 开始，到 $i=k$ 结束，

$w(i)=i$

鉴于我们知道 $1\leq l(k)\leq 3$，

$1\leq 58-3(k-1)\leq 3$

$-57\leq -3(k-1)\leq -55$

$19\leq k-1\leq {\frac {55}{3}}$

$20\leq k\leq {\frac {55}{3}}+1$

对于 $l(k)\in \mathbb {Z} ^{+}$，$k=20$。因此，$w(20)$ 也是最大值。累积面积函数由下式给出

$A(k)=\sum _{i=1}^{k}\left[w(i)\cdot l(i)\right]$

剩下的就是应用公式并使用计算器找到答案

${\begin{aligned}A(k)&=\sum _{i=1}^{k}\left[(i)\cdot \left(58-3(i-1)\right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{k}\left[58i-3i(i-1)\right]\\&=\sum _{i=1}^{k}\left(58i-3i^{2}-3i\right)\\&=\sum _{i=1}^{k}\left(55i-3i^{2}\right)\end{aligned}}$

$A(20)=2940{\text{ units}}^{2}\blacksquare$

无限等比级数

有一个古老而著名的悖论，让许多听到它的人都感到困惑。这个问题起源于希腊思想家芝诺。这个古老的格言是归谬法（通过证明陈述的应用会导致矛盾来反驳一个陈述，因此原始陈述不能成立）的第一个例子。然而，今天，一个版本不再是一个悖论，它需要微积分的发明来证明这个谜团不是一个谜团^{[参见脚注 3]}。

证明并展示了证明这个谜团的版本如下。

注意：悖论很快就会出现。

大多数数学学生的古老问题出现了：“我们什么时候需要这个？”接下来的探索给出一个问题，你学到的所有东西都将被测试。这绝对比许多 CLEP 考试问题更难；然而，问题是让你在数学上变得更好。你边做边学，所以你必须做。

探索 2-3：鉴于每个表达式收敛到一个有限的值，评估项目 (a) - (c) 中的每个表达式。使用无限等比级数求和恒等式来解决这些问题。

(a) $10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}$
(b) $10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{\ldots }}}}}}}}}}}}$

(i) 给定表达式 (b) 的一般形式 $a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{\ldots }}}}}}}}}}}}$，找到至少两个整数，$a$ 和 $n$，使得该一般表达式等于一个完全立方数。如果不可能，请证明其不可能。

(c) $3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}}}$

(i) 给定表达式 (c) 的一般形式 $a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}}}$，证明存在无穷多个不同的整数 $a$ 和 $b$，使得该一般表达式等于一个完全平方数。给出至少一个例子。

请注意，这些问题是按顺序排列的，从一个具体的例子开始，然后在问题首次提出后以某种方式进行概括。如果个人点击这里以获得求解问题的提示，请查看第一个项目的解决方案。在你理解这个维基教科书是如何得出结论后，关闭它并尝试其他问题。

(a)

由于每一项都必须收敛到某个有限值，并且由于序列中的每一项都乘以 ${\sqrt {10}}$，最好将这个问题看作序列中的一项。找出规律，你就可以计算出每个级数的值。令 $x_{1}=10$。注意

${\begin{aligned}x_{2}&=10{\sqrt {x_{1}}}\\&=10{\sqrt {10}}\\&=10\cdot 10^{1 \over 2}\\&=10^{1+{1 \over 2}}\end{aligned}}$

如果我们继续按照每个项的模式，我们发现 $x_{n}=10{\sqrt {x_{n-1}}}=10^{1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+\ldots +{1 \over 2^{n}}}$。这只是一个递归几何序列，所以实际上，当我们在指数中不断地添加项到无穷时，$10^{1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+\ldots +{1 \over 2^{n}}+\ldots }$。请注意，$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+\ldots$ 是一个无限几何级数，因此我们可以使用求和公式

$\sum _{i=1}^{\infty }\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}$。因此，因为 ${1 \over 1-{1 \over 2}}=2$，以下也是正确的：$10^{2}=100$。因此，

$$10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}=100$$

注意： 还有一种方法可以“解决”这种类型的表达式；然而，这种方法并没有“证明”一般收敛到某个数字，只是表示问题的一个可能的解。使用上述方法将证明明确的收敛，而不是其他方法。

(b)

使用与 (a) 相同的想法。唯一的区别是该序列表示一个平方根内给定项的一般模式。请注意，第一项 $a=10$ 以及第二项 $a_{2}=10{\sqrt[{n}]{10}}$。鉴于 ${\sqrt[{k}]{a^{m}}}=a^{m \over k}$，以下必须为真：$a_{2}=10^{1+{\frac {1}{n}}}$。如果我们继续按照模式，我们发现以下为真：$a_{L}=10^{1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{L-1}}}}$。当您不断向无穷大迈进时，幂具有一个无限几何级数，该级数具有

$\sum _{i=1}^{\infty }\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}={1 \over 1-{\frac {1}{n}}}$。注意：${1 \over 1-{\frac {1}{n}}}={1 \over {\frac {n}{n}}-{\frac {1}{n}}}={1 \over {\frac {n-1}{n}}}={\frac {n}{n-1}}$，以下也是真的：$10^{\frac {n}{n-1}}$。因此，

$$10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{\ldots }}}}}}}}}}}}=10^{\frac {n}{n-1}}.$$

(i)

令$x\in \mathbb {Z} ^{+}$ 为一个完全立方数$u^{3}=x$ 对于$u\in \mathbb {Z} ^{+}$。如果$a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{\ldots }}}}}}}}}}}}=x=u^{3}$，那么对于$a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{\ldots }}}}}}}}}}}}=a^{\frac {n}{n-1}}$，$a=u$。

鉴于此信息，

${\frac {n}{n-1}}=3\Leftrightarrow 3(n-1)=n$

$\Leftrightarrow 3n-3=n\Leftrightarrow n={\frac {2}{3}}$

因为 $n$ 不属于整数集，因此此给定问题没有可能的解。 $\blacksquare$

(c)

同样，与 (a) 中类似的思路用于解决表达式，尽管这一项可能是最困难的。 这里，不同之处在于你不能简单地使用 $3$，因为 $5$ 在平方根内。 相反，使用 $x_{1}=3{\sqrt {5}}$。 为了继续第二个序列，$x_{2}=3{\sqrt {5{\sqrt {x_{1}}}}}$。 事实上，递归公式会继续下去：$x_{n}=3{\sqrt {5{\sqrt {x_{n-1}}}}}$。 集中在 $x_{2}$

$x_{2}=3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {5}}}}}}=3\left(5\left[3\left(5\right)^{\frac {1}{2}}\right]^{\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=3\cdot 5^{\frac {1}{8}}\cdot 3^{\frac {1}{4}}\cdot 5^{\frac {1}{2}}$

因为乘法是可交换的，所以将所有包含相同底数的项乘到一起，并将其分组如下

$3\cdot 5^{\frac {1}{8}}\cdot 3^{\frac {1}{4}}\cdot 5^{\frac {1}{2}}=\left(3\cdot 3^{\frac {1}{4}}\right)\cdot \left(5^{\frac {1}{2}}\cdot 5^{\frac {1}{8}}\right)=\left(3^{1+{\frac {1}{4}}}\right)\left(5^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}}\right)$.

从这里可以很容易地看出表达式 $\left(3^{1+{\frac {1}{4}}}\right)\left(5^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}}\right)$ 在下一个模式中将是 $\left(3^{1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}}\right)\left(5^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}}\right)$。 这是因为给定平方根内的值交替出现。 当一个值的平方根交替时，每个平方根的值都会增加 ${\frac {1}{2}}$。 由于每个数字的倍数并不关心其乘法的顺序（即乘法是可交换的），将公共底数的乘数放在一起，得到我们发现的结果。 因此，出现了一种可以利用的模式。
$$\left(3^{f(n)}\right)\left(5^{g(n)}\right){\text{, where }}f(n)=\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{4}}\right)^{n}{\text{ and }}g(n)=\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{4}}\right]^{n}\right).$$

令 $k$ 趋向无穷大。 评估每个函数以找到最终值。

$f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{n}={\frac {1}{\frac {3}{4}}}={\frac {4}{3}}.$

$g(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{4}}\right]^{n}\right)={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}}={\frac {2}{3}}.$

因此，(c) 的最终值为
$$3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}}}=\left(3^{\frac {4}{3}}\right)\left(5^{\frac {2}{3}}\right).$$

(i)

正如从项目 (c) 中很容易推断出的那样，$a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}}}=a^{\frac {4}{3}}b^{\frac {2}{3}}$。为了使结果成为正整数，其中$a^{\frac {4}{3}}b^{\frac {2}{3}}\in \mathbb {Z} ^{+}$，它需要是$a=u^{3}$ 且 $b=v^{3}$，对于 $u,v\in \mathbb {Z} ^{+}$。

令 $a^{\frac {4}{3}}b^{\frac {2}{3}}=t^{2}\in \mathbb {Z} ^{+}$。将我们已知的信息代入，

$u^{4}v^{2}=t^{2}$.

令 $u^{4}=s^{2}$。

$s^{2}v^{2}=t^{2}\Leftrightarrow (sv)^{2}=t^{2}\Rightarrow sv=t$.

存在一些$a,b\in \mathbb {Z} ^{+}$，使表达式成为平方。因为每个值只需要立方，所以存在无限多种可能性。$\blacksquare$ 一个非平凡的例子是 $(a,b)=(29\,791,887\,503\,681)$，这将得到完全平方 $8.52891037\cdot 10^{11}$，其平方根为 $923\,521$。进一步开平方得到 $961$；进一步进行这种操作得到 $31$。

无穷等比级数的证明

$\sum _{i=1}^{\infty }\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}{\text{ if }}0<\left|r\right\vert <1$。我们如何证明这是真的？同样，这远远超出了大多数教科书要求的课程范围。然而，许多数学教科书的目标是激发用户对数学的兴趣，并将其概念应用到其他兴趣领域。无论一个人进入哪个领域，他们都需要解决问题：历史专业的学生需要理解一个人的意思；英语专业的学生需要找到合适的词语来帮助他们表达自己的想法；科学专业的学生需要运用数学概念来传达有关科学的想法。因此，学会热爱问题，因为征服问题会让你变得更强大。

注意：你将要学到的东西在课程中是**不**需要的。如果你不明白这些概念，不用担心，因为它们对 CLEP 考试无关紧要。这些证明只是为了帮助你对这些概念建立数学理解。因此，如果你愿意，可以跳过这些内容。

证明的先决条件：假设我们想要找到某个函数 $f(x)$ 的值。将此函数定义为 $f(x)={x^{2}-4 \over x-2}$。如果 $x=2$，那么 $f(2)={(2)^{2}-4 \over (2)-2}={0 \over 0}$。好吧，似乎当 $x=2$ 时，该值是未定义的，因此它似乎不等于任何东西。但是，让我们尝试绘制这个有理函数的图像。

首先，让我们进行除法：${x^{2}-4 \over x-2}={(x-2)(x+2) \over x-2}=x+2$。看起来一旦我们简化了这个有理表达式，我们就剩下$x+2$。然而，这并不完全正确，因为我们的函数在$x=2$处仍然未定义，所以我们必须添加一个约束条件：$f(x)=x+2{\text{ if }}x\neq 2$。更正式地说

$$f(x)={\begin{cases}x+2,&{\text{if}}&-\infty <x<2\\{x^{2}-4 \over x-2},&{\text{if}}&x=2\\x+2,&{\text{if}}&2<x<\infty \end{cases}}$$

如果我们绘制关系图，我们发现函数中在该点处有一个“洞”。让我们使用接近 2 的值，以便我们遵守这些规则。

$${\begin{array}{|c|c|}x&f(x)\\\hline 1.9&(1.9)+2=3.9\\\hline 1.99&(1.99)+2=3.99\\\hline 1.999&(1.999)+2=3.999\\\hline 2&{\text{undefined}}\\\hline 2.001&(2.001)+2=4.001\\\hline 2.01&(2.01)+2=4.01\\\hline 2.1&(2.1)+2=4.1\end{array}}\!$$

很明显，当值越来越“接近”$2$时，$f(2)$“接近”$4$。什么是“接近”？你的眼睛距离屏幕有多近？我们很可能会说，“它距离屏幕 45 厘米”。在这种情况下，让我们使用距离（即绝对值）来定义“接近”这个词：$|2.001-2|=0.001$ 和 $|1.999-2|=0.001$。（回答这个问题：我们为什么要使用绝对值？）

让我们使用两个变量 $x_{1}$ 和 $x$ 来定义这个过程：如果 $0<\left|x_{1}-x\right\vert <n$，那么这两个值是“接近”的或“接近于函数 $f(x)$ 的 $L$”，“其中 $n$ 可以是您想要的任何值，只要它符合我们的定义。我们可以得出以下结论：$\left|f(x)-L\right\vert$ 是“接近”的，当 $\left|x_{1}-x\right\vert$ 是接近的，前提是 $0<\left|f(x)-L\right\vert <n_{f}$。如果我们仔细思考，我们已经充分证明了“接近”的含义。让我们把这个定义^{[见脚注 4]} 放在最前面

对于任何 $0<\left|f(x)-L\right\vert <n_{f}$，存在一个 $0<\left|x_{1}-x\right\vert <n$。

正如我们提到的，数学家喜欢“更聪明地工作，而不是更努力地工作”，因此数学家不想写出“当 $x$ 趋近于 $2$ 时，$f(x)$ 趋近于 $4$”。相反，我们使用我们特殊的符号写成：$\lim _{x\to 2}f(x)=4$。这个 $\lim$ 称为“极限”。所有这些符号的意思是“当我们将 $x$ 的值限制在接近 ($\to$) $2$ 时，我们发现 $f(x)$ 趋近于 $4$”。现在，你对极限有了足够的了解，可以开始证明了。

已知 $\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$ 可以求出有限等比数列的和，证明 $\sum _{i=1}^{\infty }\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}{\text{ if }}0\leq \left|r\right\vert <1$ 是无限等比数列的和。

阅读先决条件以理解此证明。

如果我们想知道当 $k$ 趋于无穷大 ($\infty$) 会发生什么，我们可以这样写：$$\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$$

注意：${a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}={ar^{k}-a \over r-1}$.

当 $|r|>1$ 会发生什么？对于 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={ar^{k}-a \over r-1}$，分子将会有值 $ar^{k}$ 越来越接近无穷大，当 $r$ 和 $k$ 变大，因此，它们不会收敛到一个有限的值。

当 $|r|=1$ 会发生什么？对于 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={ar^{k}-a \over r-1}$，分母将会有值 $(1)-1=0$，这将导致 ${a-a \over 0}={0 \over 0}$。它是未定的，没有办法找到它收敛到的值。因此，当 $|r|=1$ 时，极限是未定的。

当 $0\leq |r|<1$ 时会发生什么？ 对于 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={ar^{k}-a \over r-1}$，分子将具有值 $ar^{k}$ 接近 $0$ 因为 $r$ 和 $k$ 变大。此外，分母将永远不会是 $0$，所以一切顺利。如果 $\lim _{k\to \infty }ar^{k}=0$，考虑到 $0\leq |r|<1$，那么 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={-a \over r-1}$.

注意：${-a \over r-1}={-a \over -(-r+1)}={a \over -r+1}={a \over 1-r}$。因此：$$\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}{\text{ if }}0\leq \left|r\right\vert <1.$$

请注意，通过证明极限的以下事实，我们也“证明”了求和表示^{[参见脚注 5]}。

脚注

1. WikiBooks 只是将使用的公式称为“高斯方法”，因为这是一个著名的数学故事。有一个名叫卡尔·弗里德里希·高斯的聪明数学家，他在二年级的时候被要求求和 $1+2+3+4+\ldots +99+100$。布置这个题目的老师只是想获得片刻宁静。然而，高斯能够使用示例 1.3.1.a 中的相同方法得出答案。传说他并没有写下这个方法，而是在脑子里完成了所有的计算；他只是递交了一张写着答案的纸。尽管如此，老师还是不得不检查一下他是否正确。结果证明，他确实是正确的。如果读者需要将此公式介绍给其他数学家，只需将其称为“算术级数求和公式”，尽管它不如之前的名称那么朗朗上口。
2. 许多教科书通常使用以下公式来表示等比数列：$S_{g}={a\left(1-r^{k}\right) \over 1-r}$。两者在技术上都是正确的；然而，本维基教科书决定使用 $S_{g}={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$，因为更容易记住从索引 $k$的最后一项中减去第一项。
3. 尽管描述在技术上是正确的，但微积分只是解决该问题的拼图中的一块。描述的版本在示例中显示，但原始问题确实涉及微积分概念，在本维基教科书中不会讨论，因为它不能帮助我们理解无穷等比数列。
4. 注意，形式定义在技术上是完整的；但是，提到的距离变量略有不同。而不是 $0<\left|x_{1}-x\right\vert <n$，写成 $0<\left|x_{1}-x\right\vert <\delta$（读作 $\delta$为“delta”）。而不是 $0<\left|f(x)-L\right\vert <n_{f}$，写成 $0<\left|f(x)-L\right\vert <\epsilon$（读作 $\epsilon$为“epsilon”）。因此，对“接近”的定义发生了变化：“对于任何 $0<\left|f(x)-L\right\vert <\epsilon$，存在一个 $0<\left|x_{1}-x\right\vert <\delta$。” 还要注意，定义可以略有不同，例如“对于任何 $\epsilon >0$，存在一个 $\delta >0$，使得 $\left|f(x)-L\right\vert <\epsilon$ 且 $\left|x_{1}-x\right\vert <\delta$。” 为了避免读者混淆，我们决定使定义更易于理解。
5. 请注意，极限可以应用于任何函数。设 $L(x)=2x$。假设我们要找出 $\lim _{x\to 10}L(x)$。我们可以通过以下方法找到：当x越来越接近 $10$ 时，我们发现 $L(x)$ 越来越接近 $20$。然而，我们可以通过以下简化过程来表示： $\lim _{x\to L}f(x)=f(L)$，前提是函数是连续的。因为在 $f(i)=\left(ar^{i-1}\right)$ 中不存在跳跃或渐近线，只要 $0\leq |r|<1$，我们可以得出结论 $\sum _{i=1}^{\infty }f(i)={a \over 1-r}{\text{ if }}0\leq \left|r\right\vert <1$。这就是为什么我们可以使用极限并得出结论 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}{\text{ if }}0\leq \left|r\right\vert <1$。