微积分课程/微分

导数

导数是用来求函数变化率的数学运算。

公式

对于非线性函数 $f(x)=y$ 。 $f(x)$ 的变化率对应于 $x$ 的变化，等于 $f(x)$ 变化量与 $x$ 变化量的比值。

{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

然后函数的导数定义为

{\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {y}{x}}

但是，导数必须在点 x 处唯一存在。看似行为良好的函数可能在某些点没有导数。例如， $f(x)={\frac {1}{x}}$ 在 $x=0$ 处没有导数； $F(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处有两个可能的结果（对于任何 $x<0$ 的值，结果为 -1，对于任何 $x>0$ 的值，结果为 1）。另一方面，一个函数可能在 $x$ 处没有值，但有一个 $x$ 的导数，例如， $f(x)={\frac {x}{x}}$ 在 $x=0$ 处。该函数在 $x=0$ 处未定义，但导数在 $x=0$ 处为 0，与其他任何 $x$ 值一样。

实际上，几乎所有规则都直接或间接地来自于对函数的广义处理。

导数表

维基百科在 导数表 中提供相关信息。

一般规则

${\frac {d}{dx}}(f+g)={\frac {df}{dx}}+{\frac {dg}{dx}}$

${\frac {d}{dx}}(c\cdot f)=c\cdot {\frac {df}{dx}}$

${\frac {d}{dx}}(f\cdot g)=f\cdot {\frac {dg}{dx}}+g\cdot {\frac {df}{dx}}$

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\cdot {\frac {df}{dx}}-f\cdot {\frac {dg}{dx}}}{g^{2}}}$

幂函数和多项式

${\frac {d}{dx}}(c)=0$

${\frac {d}{dx}}x=1$

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

${\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$

${{\frac {d}{dx}}(c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})=nc_{n}x^{n-1}+(n-1)c_{n-1}x^{n-2}+(n-2)c_{n-2}x^{n-3}+\cdots +2c_{2}x+c_{1}}$

三角函数

${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$

${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)$

${\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)$

${\frac {d}{dx}}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)$

${\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$

${\frac {d}{dx}}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$

指数函数和对数函数

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)\qquad {\mbox{if }}a>0$

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$

${\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{\ln(a)x}}\qquad {\mbox{if }}a>0,a\neq 1$

${\frac {d}{dx}}(f^{g})={\frac {d}{dx}}\left(e^{g\ln(f)}\right)=f^{g}\left({\frac {df}{dx}}\cdot {\frac {g}{f}}+{\frac {dg}{dx}}\cdot \ln(f)\right),\qquad f>0$