微积分课程/积分/不定积分

不定积分

不定积分是对非线性函数在不定边界上的数学运算。

$\int f(x)dx=Lim_{\Delta x\to 0}\Sigma \Delta x[f(x)+{\frac {f(x+\Delta x)}{2}}]$

不定积分法则

由于反微分是微分的逆运算，因此反微分定理和法则是从微分定理和法则中得到的。因此，以下定理可以从相应的微分定理中证明。

• 一般反微分法则

$\int dx=x+C$

• 常数乘以函数的一般反导数等于常数乘以该函数的一般反导数。

$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx+C$

• 如果ƒ和g在同一区间上定义，则ƒ和g之和的一般反导数等于ƒ和g的一般反导数之和。

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx+C$

• 如果n是实数，

$\int x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&{\text{if }}n\neq -1\\[6pt]\ln |x|+C,&{\text{if }}n=-1\end{cases}}$

$\int f(x)dx=f^{'}(x)+C$

$\int {\frac {f^{'}(x)}{f(x)}}{\rm {d}}x=\ln |f(x)|+c$

$\int {UV}=U\int {V}-\int {\left(U^{'}\int {V}\right)}$

$e^{x}$ 也能生成自身，并适用于相同的处理方式。

$\int {e^{-x}\sin x}~dx=(-e^{-x})\sin x-\int {(-e^{-x})\cos x}~dx$

$=-e^{-x}\sin x+\int {e^{-x}\cos x}~dx$

$=-e^{-x}(\sin x+\cos x)-\int {e^{-x}\sin x}~dx+c$

现在方程两边都有我们所需的积分，所以

$=-{\frac {1}{2}}e^{-x}(\sin x+\cos x)+c$

• $f(x)=m$

$\int mdx=mx+C$

• $f(x)=x^{n}$

$\int {f(x)}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+c$

• $f(x)={\frac {1}{x}}$

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x$

导数积分列表

1. 有理函数积分列表
2. 无理函数积分列表
3. 三角函数积分列表
4. 反三角函数积分列表
5. 双曲函数积分列表
6. 反双曲函数积分列表
7. 指数函数积分列表
8. 对数函数积分列表
9. 高斯函数积分列表