剑桥 O 水平数学 (大纲 D)/函数符号

关系

简单来说，关系是指一组输入与一组输出之间的联系方式。就像在计算机系统中，关系由输入、处理和输出组成。以下是一个例子

$2+3=5$

这里的数字“2”是输入，处理过程是加上 3 (“+3”)。因此，输出是“5”。

${\begin{aligned}&2\times 2=4\\&3\times 2=6\\&4\times 2=8\\&5\times 2=10\end{aligned}}$

这里，处理过程是乘以 2，输入是 2、3、4 和 5。这些信息可以用下面的图表表示。

<图表占位符>

一般来说，有四种关系

1. 一对一关系（一个输入对应一个输出，例如上面的简单算术）
2. 一对多关系（一个输入对应多个输出，例如二次方程）
3. 多对一关系（多个输入对应同一个输出，例如平方负数）
4. 多对多关系（多个输入对应多个输出，有些相似）

函数

函数是一种关系，对于每个输入都有**唯一的输出**。这意味着只有**一对一**和**多对一**关系才是函数。函数的表示方式如下

$f(x)=3x+5\ {\mbox{or}}~f:x\mapsto 3x+5$

在考试中，他们可能会使用两种符号中的任何一种，所以最好熟悉两种符号。这里，‘x’是表示输入的变量，函数‘f’是处理过程（即 3x+5）。所以，如果我们输入 x=3，那么

$f(3)=3(3)+5=9+5=14$

因此，当输入为 3 时，输出为 14。

更多函数示例

${\begin{aligned}&f(x)=2x+3\\&h(p)=9p-12\\&d(r)\mapsto 8-12r\end{aligned}}$

反函数

先修知识：在开始本节之前，请确保您了解主题 22 和 23 中概述的概念。这些内容可能已在初中课程中教授过您。

以下是一个例子

${\begin{aligned}f(x)&=4x-3\\f(2)&=4(2)-3\\&=8-3\\&=5\end{aligned}}$

当我们将 2 输入函数时，我们得到输出 5。现在，让我们将 ‘x’ 作为方程的主题。

${\begin{aligned}f(x)&=4x-3\\f(x)+3&=4x\\{\frac {f(x)+3}{4}}&=x\end{aligned}}$

假设 f(x) 是一个变量，我们输入 f(x)=5，即之前计算的输出

${\begin{aligned}x&={\frac {5+3}{4}}\\&={\frac {8}{4}}\\&=2\end{aligned}}$

结果是 2，也就是之前计算的输入。基本上，所做的是，将一个值放到输出应该出现的位置，然后对其求解‘x’，‘x’是应该放置输入的位置

${\begin{aligned}f(x)&=4x-3\\5&=4x-3\\5+3&=4x\\{\frac {8}{4}}&=x\\x&=2\end{aligned}}$

公式

$x={\frac {f(x)+3}{4}}$

被称为逆函数，因为函数反向运行，从输出到输入。这通常表示为

$f^{-1}(x)={\frac {x+3}{4}}$ 或 $f^{-1}:x\mapsto {\frac {x+3}{4}}$

求逆函数

求函数的逆函数，例如，以下函数：

$f(x)={\frac {12}{x-3}}-7,x\neq 3$

1. 写下以下陈述

"${\mbox{Let}}~y=f(x)\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x$"

2. 然后让 y = f(x)

$y={\frac {12}{x-3}}-7$

3. 将 'x' 作为公式的主题

${\begin{aligned}y+7&={\frac {12}{x-3}}\\(y+7)(x-3)&=12\\x-3&={\frac {12}{y+7}}\\x&={\frac {12}{y+7}}+3\end{aligned}}$

4. 将 x 更改为 f^(-1) (y) (输入为 y 的逆函数)

$f^{-1}(y)={\frac {12}{y+7}}+3$

5. 将输入变量更改回 x

$\therefore f^{-1}(x)={\frac {12}{x+7}}+3,x\neq -7$

自逆函数

当逆函数与函数本身相同时，该函数称为自逆函数，即 f(x) = f^-1(x)。

一个简单的自逆函数是 f(x) = x。

例外

假设你被要求找到以下多对一函数的逆函数。

$f(x)=x^{2}-1$

令 y = f(x) $\Leftrightarrow$ f^-1(y) = x

${\begin{aligned}y&=x^{2}-1\\y+1&=x^{2}\\\pm {\sqrt {y+1}}&=x\end{aligned}}$

此方程有两个输出，一个正数，一个负数。根据函数的定义，此方程不是一个函数。让我们看看另一个多对一函数。

$f(x)=\sin x$

如果你用计算器求 sin 90 的值，它等于 1。然而，sin 450 也等于 1，sin 810 也等于 1，sin 1170 也等于 1，等等。实际上，所有三角函数都是多对一函数，不应有逆函数，但是你的计算器上有一个 'sin^-1' 按钮。其背后的原因在进阶数学大纲中有所解释，所以不用担心。只需记住**多对一函数没有逆函数**。

捷径

假设你在考试中遇到了以下问题。

一个函数定义为$f(x)=7x-9$.
(a) 不求$f^{-1}(x)$的值，求$f^{-1}(19)$的值。

你如何回答这个问题？

还记得当求函数的逆函数时，输入和输出会互换吗？你可以利用这一知识来解决问题。逆函数的输入本质上是函数本身的输出，因此，如果

$x=f^{-1}(19)$

那么，

${\begin{aligned}f(x)&=19\\7x-9&=19\\7x&=19+9\\x&={\frac {28}{7}}\\&=4\end{aligned}}$

$\therefore f^{-1}(19)=4$

这就是关系$y=f(x)\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x$的推导过程。出题人知道很多考生不了解或没有注意到这种关系，因此可以根据这一点出题。

总结

• 有 4 种关系：一对一、一对多、多对一和多对多。
• 函数是关系的一种特殊形式，对任何一个输入只有一个输出（即一对一和多对一）。
• 函数用$f(x)=$ 或 $f:x\mapsto$ 表示。
• 逆函数是与普通函数方向相反的函数（输入和输出互换）。
• 反函数用 $f^{-1}(x)=$ 或 $f^{-1}:x\mapsto$ 表示。
• 多对一函数没有反函数（因为一对多关系不是函数）。

往年试题

1996年5/6月 第1卷

8. 设 $f:x\mapsto {\frac {2x-7}{3}}$，求

(a) f(2)

(b) f^-1 的表达式

(a) 要解决这个问题，将 'x' 替换为 2。

${\begin{aligned}f(2)&={\frac {2(2)-7}{3}}\\&={\frac {4-7}{3}}\\&={\frac {-3}{3}}\\&=-1\end{aligned}}$

(b) 使用上面描述的求反函数的方法。

"${\mbox{Let}}~y=f(x)\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x$"

${\begin{aligned}y&={\frac {2x-7}{3}}\\3y&=2x-7\\3y+7&=2x\\{\frac {3y+7}{2}}&=x\\{\frac {3y+7}{2}}&=f^{-1}(y)\end{aligned}}$

$\therefore f^{-1}(x)={\frac {3x+7}{2}}$

1999年10/11月 第1卷

9. 设 $f(x)={\frac {3x+2}{x}}$

(a) 求 f(-4)

(b) 求 f(x) = 4 时 x 的值

(c) **写出** f^-1(4) 的值

(a)
${\begin{aligned}f(-4)&={\frac {3(-4)+2}{-4}}\\&={\frac {-12+2}{-4}}\\&={\frac {-10}{-4}}\\&=2{\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

(b)
${\begin{aligned}f(x)&=4\\{\frac {3x+2}{x}}&=4\\3x+2&=4x\\2&=4x-3x\\x&=2\end{aligned}}$

(c) 注意到“写下”这两个词。这表示不需要进行运算，只需要写出答案，答案将被标记。前两个问题暗示了应该使用之前答案中的一个。还记得求逆函数值的捷径吗？这个概念可以应用于此。

${\mbox{If}}~x=f^{-1}(4){\mbox{, then}}~f(x)=4$

$\therefore f^{-1}(4)=2$（部分（b）中的答案）