剑桥 O 水平数学（大纲 D）/矩阵

如何乘以矩阵

矩阵是一个数字数组

矩阵 矩阵（这个矩阵有 2 行 3 列）

用一个单个数乘以矩阵很简单

矩阵乘以常数

这些是计算：2×4=8 2×0=0 2×1=2 2×-9=-18 我们把这个数字（本例中为“2”）称为标量，所以这被称为“标量乘法”。

用另一个矩阵乘以矩阵 但是要用另一个矩阵乘以矩阵，你需要进行行和列的“点积”......这是什么意思？让我举个例子给你看

要计算第一行第一列的答案

矩阵乘法

“点积”是指将匹配的成员相乘，然后加起来

(1, 2, 3) • (7, 9, 11) = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58

我们将第一个成员 (1 和 7) 匹配，相乘，对于第二个成员 (2 和 9) 和第三个成员 (3 和 11) 也一样，最后将它们加起来。

想要看另一个例子吗？这是第一行第二列的例子

矩阵乘法

(1, 2, 3) • (8, 10, 12) = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 64

我们可以对第二行第一列做同样的事情

(4, 5, 6) • (7, 9, 11) = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 139

还有第二行第二列

(4, 5, 6) • (8, 10, 12) = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 154

然后我们就得到了

矩阵乘法

完成了！

为什么要这样算？这可能看起来是一种奇怪而复杂的方式，但这是必要的！

我可以给你一个现实生活中的例子来说明我们为什么要用这种方式乘以矩阵。

示例：当地商店出售 3 种馅饼。牛肉馅饼每个 3 美元 鸡肉馅饼每个 4 美元 蔬菜馅饼每个 2 美元 以下是他们 4 天卖出的数量： 矩阵乘以常数 现在想想... 星期一的销售额是这样计算的： 牛肉馅饼价值 + 鸡肉馅饼价值 + 蔬菜馅饼价值 3 美元×13 + 4 美元×8 + 2 美元×6 = 83 美元 所以它实际上是价格和销量之和的“点积”： (3 美元, 4 美元, 2 美元) • (13, 8, 6) = 3 美元×13 + 4 美元×8 + 2 美元×6 = 83 美元 我们将价格与销量相匹配，分别相乘，然后将结果加起来。

换句话说： 星期一的销售额为： 牛肉馅饼：3 美元×13 = 39 美元，鸡肉馅饼：4 美元×8 = 32 美元，蔬菜馅饼：2 美元×6 = 12 美元。加起来是 39 美元 + 32 美元 + 12 美元 = 83 美元 还有星期二：3 美元×9 + 4 美元×7 + 2 美元×4 = 63 美元 还有星期三：3 美元×7 + 4 美元×4 + 2 美元×0 = 37 美元 还有星期四：3 美元×15 + 4 美元×6 + 2 美元×3 = 75 美元 所以将每个价格与每个数量相匹配很重要。

现在你知道我们为什么要使用“点积”了。

以下是矩阵形式的完整结果： 矩阵乘法 他们在星期一卖出了 83 美元的馅饼，星期二卖出了 63 美元等等。（你可以将这些值输入矩阵计算器，看看它们是否有效。） 行和列 要表示矩阵有多少行和列，我们通常写成 行×列。

示例：这个矩阵是 2×3（2 行 3 列）： 矩阵 当我们进行乘法时

第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。结果将与第一个矩阵有相同数量的行，与第二个矩阵有相同数量的列。 示例： 矩阵乘法 在那个例子中，我们用一个 1×3 的矩阵乘以一个 3×4 的矩阵（注意 3 相同），结果是一个 1×4 的矩阵。 总之

要将一个 m×n 的矩阵乘以一个 n×p 的矩阵，n 必须相同，结果是一个 m×p 的矩阵。

乘法顺序 在算术中，我们习惯了

3 × 5 = 5 × 3（乘法的交换律）

但对于矩阵来说，这通常不成立（矩阵乘法不满足交换律）

AB ≠ BA

当您改变乘法的顺序时，答案（通常）会不同。

示例：看看改变顺序如何影响这个乘法： 矩阵乘法顺序 单位矩阵 “单位矩阵” 是数字“1”的矩阵等价物

单位矩阵 一个 3x3 的单位矩阵 它是“正方形”（行数和列数相同）， 对角线上是 1，其他地方是 0。它的符号是大写字母 I。它是一个特殊的矩阵，因为当您用它乘以另一个矩阵时，原始矩阵不会改变

A × I = A

I × A = A