细胞自动机/可激介质

可激介质简介

可激介质是非线性动态系统，以表现出复杂的行为而闻名，这些行为可以被观察到为模式形成。它们通常由反应-扩散微分方程定义。

$u_{t}(\mathbf {r} ,t)=D\nabla ^{2}u(\mathbf {r} ,t)+f(u(\mathbf {r} ,t))$

扩散部分提供稳定性和信息传播，反应部分提供有趣的局部动力学。

可激介质的常见例子是捕食者-猎物系统。这种系统由微分方程组来描述，每个观察到的主角对应一个函数。

$u_{t}(\mathbf {r} ,t)=D_{u}\nabla ^{2}u(\mathbf {r} ,t)+f(u,v)$

$v_{t}(\mathbf {r} ,t)=D_{v}\nabla ^{2}v(\mathbf {r} ,t)+g(u,v)$

我们将讨论两种不同的建模可激介质的方法。微分方程离散化和使用细胞自动机建模。

边界条件

有不同的方法来定义反应-扩散方程的边界条件。

狄利克雷边界条件

边界上函数的值是显式给出的 $u(\mathbf {r_{0}} ,t)$.

循环边界

如果初始条件 $u(x,0)$ 假设在空间上是周期性的，则可以使用循环边界条件。

零通量边界条件

如果边界处预计为零通量，则函数一阶导数在边界处垂直于边界的分量为零 ${\vec {n}}\cdot \nabla {u}=0$。这可以通过将函数值从内部反射到边界之外来实现。

使用显式 FTCS 方法对微分方程进行离散化

模拟可激介质的传统方法是离散化和对控制偏微分方程进行数值计算。首先介绍 FTCS（前向时间中心空间方法）离散化方法。显式方法是最简单的，方程类似于细胞自动机，但由于稳定性和收敛性问题而不足。

单个偏微分方程

我们首先观察一个描述单个函数的单个偏微分方程。

$u_{t}(\mathbf {r} ,t)=D\nabla ^{2}u(\mathbf {r} ,t)+f(u(\mathbf {r} ,t))$

一维问题

在一维情况下，空间向量变为单个变量 $\mathbf {r} =x$。nabla 算子变为 $\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial {x^{2}}}}$.

${\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}+f(u(x,t))$

该偏微分方程被离散化。

${\frac {u(x,t+\Delta {t})-u(x,t)}{\Delta {t}}}=$

$\quad D{\frac {u(x+\Delta {x},t)-2u(x,t)+u(x-\Delta {x},t)}{\Delta {x}^{2}}}$

$\quad +f(u(x,t))$

前向时间中心空间法

时间为 $t+\Delta {t}$ 的每个有限元都是根据时间为 $t$ 的三个相邻元计算出来的（参见右侧的图）。

$u(x,t+\Delta {t})=u(x,t)+\,$

$\quad +d(u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t))$

$\quad +\Delta {t}f(u(x,t))$

其中， *扩散数* 为

$d=D{\frac {\Delta {t}}{\Delta {x}^{2}}}$

稳定性

当以下条件满足时，FTCS 方法是稳定的：

$d\leq 1/2$

边界条件

对于周期性边界条件，左侧边界上的值 $x=0$ 可以用来计算右侧边界上的未来值 $x=L_{x}$，反之亦然。

$u(0,t+\Delta {t})=u(0,t)+d(u(0+\Delta x,t)-2u(0,t)+u(L_{x},t))+\Delta {t}f(u(0,t))\,$

$u(L_{x},t+\Delta {t})=u(L_{x},t)+d(u(0,t)-2u(L_{x},t)+u(L_{x}-\Delta x,t))+\Delta {t}f(u(L_{x},t))\,$

如果边界处存在零通量 $\nabla u(0,t)=0$，则边界外的值是边界内值在边界上的反射 $u(0+\Delta x,t)=u(0-\Delta x,t)$.

$u(0,t+\Delta {t})=u(0,t)+2d(u(0+\Delta x,t)-u(0,t))+\Delta {t}f(u(0,t))\,$

$u(L_{x},t+\Delta {t})=u(L_{x},t)+2d(u(L_{x},t)+u(L_{x}-\Delta x,t))+\Delta {t}f(u(L_{x},t))\,$

二维问题

在二维情况下，空间向量变为一个变量对 $\mathbf {r} =[x,y]$。nabla 算子变为 $\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {y^{2}}}}$.

${\frac {\partial u(x,y,t)}{\partial t}}=D\left({\frac {\partial ^{2}u(x,y,t)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u(x,y,t)}{\partial y^{2}}}\right)+f(u(x,y,t))$

该偏微分方程使用前向时间中心空间方法进行离散化。

${\frac {u(x,y,t+\Delta {t})-u(x,y,t)}{\Delta {t}}}=$

$\quad =D{\frac {u(x+\Delta {x},y,t)-2u(x,y,t)+u(x-\Delta {x},y,t)}{\Delta {x}^{2}}}+$

$\quad +D{\frac {u(x,y+\Delta {y},t)-2u(x,y,t)+u(x,y-\Delta {y},t)}{\Delta {y}^{2}}}+$

$\quad +f(u(x,y,t))$

前向时间中心空间法

每个时间为 $t+\Delta {t}$ 的有限元，都是由时间为 $t$ 的五个相邻元素计算得到（见右侧图）。

$u(x,y,t+\Delta {t})=u(x,t)+\,$

$\quad +d_{x}(u(x+\Delta {x},y,t)-2u(x,y,t)+u(x-\Delta {x},y,t))+$

$\quad +d_{y}(u(x,y+\Delta {y},t)-2u(x,y,t)+u(x,y-\Delta {y},t))+$

$\quad +\Delta {t}f(u(x,y,t))$

其中，扩散数为

$d_{x}=D{\frac {\Delta {t}}{\Delta {x}^{2}}}\quad d_{y}=D{\frac {\Delta {t}}{\Delta {y}^{2}}}$

稳定性

当以下条件满足时，FTCS 方法是稳定的：

$d_{x}\leq 1/2$ 以及 $d_{y}\leq 1/2$

边界条件

一维情况下的相同思想可以用于二维情况。

偏微分方程组

偏微分方程组描述了两个相互作用的函数（捕食者-猎物）。

$u_{t}(\mathbf {r} ,t)=D_{u}\nabla ^{2}u(\mathbf {r} ,t)+f(u,v)$

$v_{t}(\mathbf {r} ,t)=D_{v}\nabla ^{2}v(\mathbf {r} ,t)+g(u,v)$

相互作用是局部的，这意味着，可以分别计算每个方程的色散部分，然后将反应部分添加到结果中。

参考文献

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