元胞自动机/偏微分方程

我们通常用微分方程来描述现象，但我们希望使用数值方法来模拟并最终预测其行为。这可以通过传统的自上而下的方法或不太常见的自下而上的方法来实现。

一种反向方法是从自下而上构建一个元胞自动机，它与观察到的现象微分方程具有相同的特性。

自上而下的方法

将微分方程转换为可在计算机上模拟的离散系统被称为自上而下的方法。让我们尝试一个简单的例子。一维扩散方程

{\frac {\partial C}{\partial t}}=\kappa {\frac {\partial ^{2}C}{\partial x^{2}}}

在时间上向前离散，在空间上对称

c_{x}^{t}=c_{x}^{t-1}+k\left(c_{x+1}^{t-1}-2c_{x}^{t-1}+c_{x-1}^{t-1}\right)=c_{x}^{t}=k\,c_{x+1}^{t-1}+\left(1-2k\right)c_{x}^{t-1}+k\,c_{x-1}^{t-1}

其中 $k:=\kappa \,{\Delta t}\,({\Delta x})^{-2}$ . 生成的离散方程可以看作是元胞自动机局部转移函数

c_{x}^{t}=f\left(c_{x+1}^{t-1}c_{x}^{t-1}c_{x-1}^{t-1}\right)

时间和空间离散化对这两个系统都是相同的，但在变量离散化方面存在关键差异。在普通计算机上，变量使用 64 位浮点数表示，而元胞自动机则具有 2 到 8 位的变量。

由于数值近似误差是使用浮点数的一个重要问题，并且仅使用几位数字将难以忍受。我们看到，没有直接的方法将微分方程转换为元胞自动机，必须使用不同的方法。

这种方法从选择一个离散系统开始，该系统固有地拥有原始问题简化模型所需的一些基本特性。这些基本特性的一个例子是可逆性和保存数量，例如质量、动量和能量。然后修改和修剪模型，直到它足够接近原始问题。

基本模型通常尽可能简单。如果元胞自动机用于基本模型，它们的邻域