化学动力学/静电学/傅里叶变换

傅里叶变换是一种有用的数学变换，经常被许多科学和工程领域使用。在这里，我们提取了傅里叶变换的有用概念，并将其逻辑地排列起来，为 Ewald 求和和其他相关的静电学方法奠定基础。读者可以查看关于傅里叶变换的其他更正式的数学介绍。

定义

我们在以下约定中使用傅里叶变换，它是在 3 维笛卡尔空间 R³ 上的酉变换，傅里叶变换及其逆变换是对称的

{\hat {f}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {r}

f(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int {\hat {f}}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {k}

给定一个固定的位置向量 R₀，如果 g(r) = ƒ(r − R₀)，那么

${\hat {g}}(\mathbf {k} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{0}}{\hat {f}}(\mathbf {k} ).$

证明

{\hat {g}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int g(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {r}

={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int f(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{0})e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {r}

={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int f(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{0})e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {r}

现在，将 r 更改为一个新的变量： $\mathbf {r'} =\mathbf {r} -\mathbf {R} _{0}$

{\hat {g}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int f(\mathbf {r'} )e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r'} +\mathbf {R} _{0})}\,d^{3}\mathbf {r'}

={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{0}}\int f(\mathbf {r'} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r'} }\,d^{3}\mathbf {r'}

={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{0}}\int f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {r}

=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{0}}{\hat {f}}(\mathbf {k} ).

f 和 g 的卷积通常用 * 表示为 f*g。它定义为两个函数的乘积的积分，其中一个函数被反转并平移

(f*g)(t){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau

傅里叶变换的卷积定理指出

如果

h(\mathbf {r} )=(f*g)(\mathbf {r} )

那么

{\hat {h}}(\mathbf {k} )={\hat {f}}(\mathbf {k} )\cdot {\hat {g}}(\mathbf {k} )

.

证明

{\hat {h}}(\mathbf {k} )=\int {e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }h(\mathbf {r} )}d\mathbf {r}

=\int {e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\int f(\mathbf {r} )g(\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}d^{3}\mathbf {r'} d^{3}\mathbf {r}