经典力学/拉格朗日练习

物理学 - 经典力学

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建立拉格朗日函数和推导运动方程的练习

我建议您完成以下所有练习（除非您立即知道如何解决每个练习）。这些练习并不难，但将为您提供处理拉格朗日函数的经验。除非您能够毫不费力地解决这些标准问题，否则您并不真正理解拉格朗日形式主义。

以下每个练习都提出了相同的问题：a) 引入广义坐标并为下面描述的系统写出拉格朗日函数。b) 推导出欧拉-拉格朗日运动方程。（没有必要求解它们！）每个情况都设置在地球附近的重力场中。所有提到的杆都是无质量且完全刚性的。所有提到的弹簧都是无质量且完全弹性的（无摩擦），并具有弹性系数 $k$。弹簧在静止状态下的长度在练习中给出。

1. 一个质点 $m$ 通过一根长度为 $l$ 的杆悬挂在天花板上。它只能在 $x-z$ 垂直平面内移动。

2. 两个质点 $m$ 悬挂在天花板上（彼此距离很远），两根杆的长度均为 $l$。它们都只能在 $x-z$ 垂直平面内移动。

3. 两个质点 $m$ 悬挂在天花板上，两根杆的长度均为 $l$。它们都只能在 $x-z$ 垂直平面内移动。此外，还有一个静止长度为 $l$ 的弹簧连接这两个质点。杆连接到天花板的点彼此相距 $l$。（您可能会发现 这个插图 有用。）

4. 一个点质量 $m$ 通过一根长度为 $l$ 的棍子悬挂在天花板上。另一个点质量 $m$ 通过一根长度为 $L$ 的棍子连接到第一个点质量上。两个质量只能在 $x-z$ 垂直平面内移动。

5. 一个点质量 $m$ 通过一根长度为 $l$ 的棍子悬挂在天花板上。另一个点质量 $m$ 通过一个自然长度为 $L$ 的弹簧连接到第一个点质量上。两个质量只能在 $x-z$ 垂直平面内移动。

6. 两个点质量 $m$ 连接到一根长度为 $2l$ 的棍子的两端。棍子的中点通过一根长度为 $l$ 的棍子连接到天花板。整个装置只能在 $x-z$ 垂直平面内移动。

7. 一个点质量 $m$ 通过一根长度为 $l$ 的棍子连接到天花板上。该点质量可以向所有方向移动。

8. 一个点质量 $m$ 通过一个自然长度为 $l$ 的弹簧连接到天花板上。该点质量可以向所有方向移动。

9. 两辆质量相同的滑车，质量为 $m$，可以沿着 $x$ 轴上的轨道上无摩擦地滚动。它们通过一个自然长度为 $l$ 的弹簧连接在一起。

10. 一个质量为 $m$ 的手推车可以在轨道上无摩擦地滚动，轨道沿 $x$ 轴。一个摆锤，由一根长度为 $l$ 的杆和一个点质量为 $m$ 的点质量组成，刚性地安装在手推车上，可以在 $x-z$ 垂直平面内自由移动。