经典力学/辛空间

与其他可能的变量选择（如“速度”和“位置”的集合）相比，是什么使相空间变量“动量”和“位置”（p，q）如此特殊？原因是相空间（p，q）具有“辛结构”的附加性质。

让我们定义一个“辛单位矩阵”

$I\equiv {\sqrt {-1}}$

其中 -1 是一个偶数维度的单位矩阵。我们正在讨论的矩阵的维度是相空间维度，它总是偶数（每个位置变量都与一个动量变量配对）。这本质上是我们从复数代数中知道的虚数单位的矩阵推广。简而言之，当单位矩阵在战略性选择的位置被辛矩阵替换时，就会出现辛空间。

这听起来很简单，但有一个问题：矩阵的平方根是什么？正如我们已经从复数代数中知道的，平方根不只有一个答案。在力学中，我们用 I 表示的根是“完全反对称的”。但这仍然不能完全确定 I 是什么。为了进一步了解，我们需要考虑相空间中的物理学。特别是，我们将遇到时间演化下体积保持的现象。