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认知与教学/学习数学

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数学包含许多研究领域，如几何、代数、微积分和概率；每个领域都需要掌握专门的概念和程序。通过分析认知过程，可以理解和克服教学和学习数学的挑战。在本章中，我们研究了为数学教育实践提供信息的认知理论和研究。我们讨论了皮亚杰的认知发展理论的相关方面以及它所受到的批评。我们解释了影响个体学生学习数学能力的因素，以及教师在设计课程时如何考虑这些因素。


什么是数学？

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数学是对数字、数量、几何和空间以及它们之间的关系和函数的研究。它利用概念性、程序性和陈述性知识的组合。[1] 为了成功解决数学问题，学生需要获得这套知识。为了充分参与数学学习，学生首先必须获得概念理解，这需要利用已学概念的背景知识。数学概念理解导致更多数学知识的获得，有助于构建数学能力的其他方面：积极的态度、程序熟练度、策略能力和适应性推理。每个能力的增长都会导致其他能力的增长，并导致更多知识。也就是说，概念知识增强程序性知识，等等。[2] 例如，数学中有许多不同的算法，学生需要熟悉它们。当学生清楚地理解数学原理和概念时，他们将能够为任何数学问题选择和重新创建适当的算法。这证明了概念知识和程序性知识之间的联系，因为学生可以拥有许多已学的策略，但他们必须选择正确的策略并在此基础上进行构建。[3] 此外，在使用某些程序解决复杂的数学问题时，学生常常能够学到更多。学生可以通过自我质疑错误从失败中吸取教训，并重建现有的知识。结果，这会增加他们的概念知识。陈述性知识肯定与概念知识和程序性知识有关，因为它要求学生从长期记忆中检索数学概念（即概念知识）和具体的数学算法（即程序性知识）。任何一个或所有这些知识领域的不足都可能导致数学学习困难。[4] 因此，这种概念性、程序性和陈述性知识的组合影响着学习，因为它们彼此相关。

认知理论与数学

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皮亚杰的认知发展理论

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让·皮亚杰指出了从出生到青年期四个主要的认知发展阶段，包括感觉运动阶段（从出生到2岁）、前运算阶段（大约2岁到7岁）、具体运算阶段（大约7岁到11岁）和形式运算阶段（大约11岁到15岁）。虽然每个人都以不同的方式经历这些阶段，但皮亚杰认为，每个孩子最终都会按顺序经历每个思维阶段，而且不会错过任何阶段，因为一个人只有理解了前一个阶段才能发展到下一个阶段；这只是一个时间问题。

皮亚杰还指出，儿童的学习通常是从出生到2岁通过运动和五感发展起来的。在婴儿出生后的头几周，他们开始学习如何追踪物体并通过不断练习来抓住它们，这可以帮助处理和连接视觉和运动行为的大脑部位开始发育。一旦婴儿认识到学习是通过重复进行的，他们就会开始学习如何提前计划并通过更有效的方式去获取他们想要的物体。皮亚杰声称，婴儿在这个阶段能够将数字与物体联系起来[5]，也有证据表明，儿童已经获得了一些关于数字和计数概念的知识[6]。为了在这个阶段发展婴儿的数学技能，教育者可以提供与数字和计数相结合的活动。例如，教育者可以阅读包含象形图的书籍。这不仅帮助儿童将物体的图片与相应的数字联系起来，还帮助培养他们的阅读和理解能力。在此期间，皮亚杰证明婴儿已经能够建立自己的处理物体和对其知识的方法，这可以支持反身智力的增长。[7] 由于皮亚杰认为，一个人需要在先前阶段获得的知识基础上进行构建，因此只有掌握了当前阶段才能进入下一个阶段。因此，为了增强婴儿对数字的理解，教育者可以通过开展包含计数的活动来提供数学的一般基础。

儿童从大约 2 岁到 7 岁开始获得语言能力、符号思维、自我中心视角和一定程度的逻辑能力。在此期间，儿童学习如何运用与物体（如数字、积木等）相结合的解决问题技能。虽然儿童已经掌握了一些数字概念的知识，但他们的逻辑关联有限，无法以逆序处理操作。例如，理解 5+3=8 的孩子可能没有 3+5=8 也成立的思维方式。根据皮亚杰的观点，这是因为儿童只能识别物体的某个方面或维度，而忽略了其他方面。为了在这个时期增强儿童的数学能力，教育工作者可以要求他们用积木搭建特定的物体。在搭建过程中，他们可以学习如何根据相同特征对积木进行分组，并帮助他们理解将积木组合在一起总是有多种方法。[8]

根据皮亚杰的观点，儿童的认知发展在 7 岁到 11 岁之间加速。他们可以开始用五种感官来区分物体，这可以帮助他们同时识别两个或三个维度的方面。例如，皮亚杰做了一个实验，将相同量的液体倒入不同大小的容器中。在这个阶段的儿童能够注意到，根据容器的尺寸，液体的液面高度将不同。在这个时期发生的另一个主要的认知发展是 **分类** 和 **排序** 分隔物体的能力。[9]儿童通过根据相似特征对物体进行分组来学习分类，并通过根据物体的增加或减少的值（如长度、宽度、体积等）对物体进行分类来获得排序能力。尽管他们可能在这个阶段已经掌握了一些基本的算术运算，但他们不知道如何将这些概念应用于解决数学问题。例如，当要求他们计算由 3 行 5 块积木组成的积木块数量时，他们不知道如何在计数时应用乘法。换句话说，算术的抽象概念必须直接与物理上可用的元素和操作相关联。这也意味着在这个阶段他们仍然无法建立一个基于测量的稳定体系。

认知发展的最后阶段通常发生在大约 11 岁到 15 岁之间。在这个阶段，儿童能够形成自己的理论并构建自己的数学概念。他们现在也可以将抽象概念与具体情况联系起来。例如，当他们遇到代数问题时，他们现在能够独立地解决它，而不是像以前一样需要老师来参考具体情况。他们现在能够将抽象思维模式发展成具体情况的原因是，他们开始建立自己的推理能力，包括 **澄清**、**推断**、**评估** 和 **应用**。为了让学生适应这些概念，老师可以教学生如何将文字题分开，并理解题中相关信息和不相关信息的差异。

皮亚杰认为，如果孩子理解一个概念有困难，那是因为他们从问题的定性结构到数学公式的转换过于迅速。根据皮亚杰的观点，为了帮助孩子理解这个概念，老师应该找到一种积极的方法，让孩子自发地探索，这样他们就可以学习并重构自己的概念，而不是让老师直接给出答案。[10]

皮亚杰理论的批评

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皮亚杰对认知发展的看法 批评
1）儿童开始发展对客体永久性的理解
  • 皮亚杰忽视了儿童对动机的需求
  • 儿童的记忆容量有所增加
2）儿童的感觉能力和认知发展发生在他们出生后的头六个月
  • 并非所有学习者都是一样的，他们可能会根据自己的独特能力被归入更高的或更低的类别
3）每个孩子都会以特定的顺序经历这四个阶段
  • 皮亚杰忽视了外部因素，如遗传文化和教育
4）皮亚杰将认知发展划分为明确的阶段
  • 认知发展的阶段应该被视为一个渐进和持续的过程

尽管皮亚杰的理论被教师广泛用于如今课堂上监测学生的认知发展，但他的理论存在争议。许多教育工作者依靠皮亚杰的理论来衡量学生学习数学的准备程度。另一方面，希伯特和卡彭特建议皮亚杰的理论不是一个有用的指南，因为许多研究已经证明，那些没有遵循皮亚杰理论的孩子仍然能够学习数学概念和技能。[11]虽然皮亚杰专注于儿童对知识的内部探索，并认为儿童从出生到 2 岁开始发展对客体永久性的理解（例如如何跟踪隐藏的物体），但其他研究人员认为皮亚杰忽视了儿童对动机的需求。伯格认为，外部动机和教学也起着重要的作用。[12]卡根认为，婴儿即使物体发生位移也能伸手去抓的原因是他们的记忆容量有所增加，而不是像皮亚杰指出的那样，是新的认知结构。[13]皮亚杰也因对儿童能力进行笼统的描述而受到批评。他推断儿童的感觉能力和认知发展发生在他们出生后的头六个月。虽然皮亚杰认为每个孩子都必须以特定的顺序经历这些阶段，但 Heuvel-Panhuize 认为皮亚杰的理论低估了幼儿的能力。例如，他发现，由于早期儿童教师对认知发展阶段的认识深深地依赖于皮亚杰的理论，他们对儿童对符号、计数序列和算术运算的知识的期望可能低于儿童实际的能力。[14] Beger 还认为，他们的感知学习实际上可能在出生前就开始了。[15]尽管根据孩子的年龄，孩子应该处于某个特定的阶段，但并非所有学习者都是一样的。他们可能会根据自己的独特能力被归入更高的或更低的阶段。例如，Gelman 和 Gallistel 指出，处于前运算阶段的儿童能够在计数物体方面进行抽象思考。此外，皮亚杰没有阐述儿童的情感和性格发展方面。尽管皮亚杰的理论解释了一种有效的方法，可以衡量儿童的智力和记忆力发展，但他忽略了个人创造力和社会互动的显著方面。[16] Christina Erneling 认为，只有在孩子处于正确环境中才能确定发展模式。她认为，任何学习概念都需要一个扩展的教育理论，认知发展的一个基本部分是承认个人社会和文化背景的差异。换句话说，皮亚杰似乎忽视了文化的影响。由于他的研究是在西方国家进行的，他的认知发展理论可能只代表西方社会和文化。根据皮亚杰的观点，科学思维和形式运算只能在某个特定阶段达到。另一方面，Edwards 等人认为，皮亚杰的研究不可靠，因为缺乏控制和样本量小。他认为，在其他文化中，对具体运算的基本水平可能会有更高的重视。[17] Beger 也反驳了皮亚杰的明确阶段，他认为皮亚杰明确地解释了儿童对知识的内部探索，但他倾向于忽视外部因素，如遗传、文化和教育。他建议，皮亚杰的认知发展阶段应该被视为一个渐进和持续的过程，而不是被分为明确的阶段。[18]皮亚杰的理论也因没有提供对他最后阶段认知发展的充分描述而受到批评。他认为每个人都将在 11 岁到 15 岁之间发展抽象推理能力。另一方面，Paplia 等人认为，并非每个人都能在这个阶段获得形式运算的技能。即使他们可能没有获得这种能力，也不意味着他们不成熟。我们只能得出结论，他们拥有成熟思维的不同阶段。[19]因此，更具说服力的认知发展观点应该被视为一个不规则的过程，因为儿童在每个阶段都会独立地获得新的技能和不同的行为。[20]

认知领域

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自皮亚杰以来，认知理论及其与学习数学的相关性已经取得了长足的进步。已经进行了大量研究，证明了不同的认知能力与数学能力之间的关系。早在 1978 年，研究人员就开始研究学术能力与大脑相关行为模式之间的关系。1978 年，Rourke 和 Finlayson 研究了 9 到 14 岁的有学习障碍的儿童，发现缺乏算术能力的儿童的表现与他们右半球没有正常运作时的预期一致。[21]最近的研究已经能够识别出更具体的认知能力和数学功能缺陷之间重复出现的模式。

2001 年，Hanich、Jordan、Kaplan 和 Dick 研究了二年级学生的数学表现。[22]。孩子们被分成四组，包括正常成绩的学生、数学学习有困难的学生、阅读学习有困难的学生，以及数学和阅读学习都有困难的学生。每组中的孩子按相同的顺序接受七项数学测试，以评估他们在以下方面的表现：a）算术组合的精确计算，b）应用题，c）近似算术，d）位值，e）计算原理，f）强制性数字事实提取，以及 g）书面计算。他们发现，数学和阅读学习都有困难的孩子在应用题和标准计算（如数字事实、数字组合和程序计算）方面都遇到了困难；而仅仅数学学习有困难的孩子则只在标准计算技能方面遇到了困难。这项研究以及随后的研究让研究人员得出结论，数学存在多个认知领域，每个领域使用不同的脑部过程。

Fuchs、Fuchs、Stuebing、Fletcher、Hamlett 和 Lambert 指出，许多研究一直发现，计算成功的预测因素包括：a）工作记忆，b）视觉空间工作记忆，c）注意力评分，d）语音加工（检测和区分语音中的差异），以及 e）词汇量知识（2008 年）[23]。在一项针对随机抽取的学生进行的长期大型研究中，作者着手确定解决问题和计算是否是数学的不同方面。作者评估了学生的计算能力和应用题解决能力、语音技能、非语言问题解决能力、工作记忆、注意力行为、处理速度和阅读技能。他们发现，注意力行为和处理速度在计算难度中起着主导作用。

此外，Fuchs 等人还指出，工作记忆、短期记忆、非语言问题解决能力（完成视觉呈现的图案的能力）、概念形成和语言能力（包括阅读）都是解决问题能力的预测因素。他们还指出，语言技能的不足是学生表现出解决问题困难的一个辨别因素。

每个认知数学领域的大脑过程

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计算认知能力 解决问题认知能力
计算成功的预测因素 解决问题成功的预测因素
• 工作记忆
  1. 听觉工作记忆
  2. 视觉空间工作记忆

• 注意力评分

• 处理速度

• 语言能力

  2. 语音加工（检测和区分语音中的差异）
  3. 词汇量知识
 • 工作记忆
  1. 听觉工作记忆

• 短期记忆

• 非语言问题解决能力（完成视觉呈现的图案的能力）

• 概念形成

• 语言能力

  2. 第一语言、文化差异
  3. 音素、词汇

工作记忆在数学学习中的重要性

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工作记忆是负责临时保存新信息或先前存储的信息的系统，这些信息被用于完成当前任务。它的容量有限。工作记忆有两种类型：听觉记忆和视觉空间记忆。视觉空间记忆被发现对解决计算问题很重要。听觉记忆被发现对所有数学领域都很重要。个人工作记忆能力的差异可能是由于信息处理速度、知识水平或忽略无关知识的能力不同。[24] 执行处理活动（如计划、组织和灵活思考）也可能影响工作记忆。[25]

另一方面，短期记忆负责临时存储必须使用但并非必须操作的信息。同样，短期记忆的容量有限，可能只有几秒钟。这就是我们存储信息的地方，例如我们只需要记住几秒钟的电话号码，以便我们拨号。

在他们关于工作记忆与有风险和无风险严重数学困难儿童的数学问题解决能力之间关系的研究（2004 年）中，Swanson 和 Beebe-Frankenberger 总结道，工作记忆在解决问题期间整合信息方面起着至关重要的作用。他们认为，工作记忆对解决问题期间整合信息非常重要，因为“（a）它保存最近处理的信息，以便与最新的输入建立联系，以及（b）它维护信息的要点，以便构建问题的整体表示”。[26]

H. Lee Swanson 的一项新研究表明，工作记忆的容量调节着认知策略对问题解决准确性的影响。[27] 作者进行了一项干预研究，以确定工作记忆容量在策略干预结果中所起的作用，以及策略指导对应用题解决准确性的作用。

对研究组的所有儿童都测量了言语工作记忆和视觉空间工作记忆。然后，有数学障碍和无数学障碍的儿童被随机分成三个治疗组，进行随机对照试验。第 1 组接受了应用题解决的言语策略；第 2 组接受了应用题解决的视觉空间策略；第 3 组接受了言语和视觉空间策略的组合。每组还提供了定期增加应用题中无关信息的课程计划。作者添加无关信息的策略旨在教会孩子们只注意相关信息。这项策略是受到许多其他研究的启发，这些研究表明，学会区分相关信息和无关信息与有数学障碍风险的学生的解决问题准确性显着相关。

研究结果支持了策略指导有助于解决准确性的观点。然而，必须注意的是，策略指导的效果受到工作记忆容量个体差异的调节。工作记忆容量低的儿童没有像预期的那样受益。工作记忆容量高、有数学障碍和无数学障碍的儿童更有可能从学习策略中获益。所有有数学障碍的儿童，无论工作记忆容量高低，都从使用视觉信息的策略中获益，但工作记忆容量低的儿童需要言语和视觉策略的组合。最后，结果表明，训练与工作记忆相关的受控注意过程的学术任务实际上可能会影响以后的工作记忆表现。

这项研究的意义表明，应该评估有数学障碍的学生的工作记忆容量，然后根据他们的工作记忆容量确定解决他们个体问题的策略。

影响数学学习和教学的因素

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个体差异

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每个学习者都有自己独特的技能、背景知识、文化和兴趣。这些方面会影响数学的学习和教学，因为教学策略应该相应地进行调整。

技能差异

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所有学习者都有自己的优势和劣势。他们可能在数学的某些方面很擅长，但在另一个领域却可能无能为力。教师了解学生的技能非常重要，因为他们可以利用这些技能来帮助学生改进他们的弱点。如果教师没有认识到学生的优势和劣势，他们可能会给学生提出挑战。学生在给定的任务中会遇到困难，因为他们没有必要的技能。因此，甚至可能影响学生的自我效能，并在学生无法完成任务时造成习得性无助。因此，如果教师知道学生擅长什么，那么学生在学习新的数学知识时就不会遇到问题。数学问题需要一组先决技能，如简单的算术、代数和逻辑推理。例如，解决文字题需要对问题的思维表征和简单的算术，将文字题转化为数学方程式。因此，不擅长构建数学方程式的学生将无法解决文字题。[28] 教师应该根据学生拥有的不同先决技能调整他们的教学实践，因为这些先决技能在解决数学问题中起着重要作用。当学生在数学方面获得更多概念和程序技能时，他们会变得更加胜任和高效地学习数学。[29] 在现代高中，数学课程有不同的级别，例如初级、原理级和高级。学生根据他们的数学技能水平被相应地安置。否则，他们可以选择他们想要在哪一级学习。在这种情况下，教师必须支持和评估学生的表现，以确定他们是否适合所选级别。学生不希望参加难度过高的数学课，否则会不堪重负，也不希望太容易，否则会太无聊。因此，通过了解学生的技能，学生可以获得新的数学知识。

背景知识的差异

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学生的数学知识可能会受到他们的背景知识的影响。事实上，所有学生都有不同的背景知识，因为他们在社会世界中都有不同的经历。这些现实生活中的经验至关重要，因为他们从这些观察中了解了数学符号的功能。例如，学生可以从购物中学习简单的算术，这涉及到处理金钱。学生可以学习如何估计商品的总成本以及他们应该收到的找零。因此，当以与学生背景知识相关的方式教授数学概念时，学生将能够更容易地理解这些概念。[30] 此外，当他们的数学学习与他们的现实世界情况相关时，学生会更有动力和参与。这是因为他们发现获得的学习非常有意义和重要，因为它们适用于他们的日常生活。[31] 例如，许多学生可能会发现从教科书中学习数学很无聊或很困难。但是，如果教授数学来解决现实生活中的问题，例如计算银行的利息收益、生活费用的总成本或扑克游戏中获胜的概率。因此，当这些学习与学生先前的经历相关时，学生将对数学符号和概念有更好的理解。此外，具有挑战性的数学问题不仅需要数学背景知识，还需要其他学科的一些知识，例如物理术语或化学术语。[32] 数学文字题需要在解决问题之前对文本含义有很好的理解，这意味着学生需要能够利用他们的语言知识来理解文本。因此，学生的背景知识会影响他们学习数学。例如，大学的许多数学课程都要求先修课程，因为高级数学课程需要对一些基本的数学知识的理解。如果没有这些背景知识，学生将难以理解新的数学材料。

兴趣的差异

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每个人都有不同的兴趣。有些学生可能喜欢数学，因为他们天生就拥有或从小就被教导了强大的数学技能，而另一些学生可能讨厌数学，因为他们总是面对数学的失败，这让他们不愿继续学习。对数学感兴趣可以提高学生的学习数学的动力。这个概念是内在动机，因为学生出于自己的兴趣想要学习数学。[33] 因此，他们更加投入到任务中，会尽力解决挑战。学生的兴趣与他们对自己认知、能力和学业成就的信念有关。[34] 因此，为了提高学生的学习成绩，培养他们对数学的兴趣非常重要。事实上，有很多方法可以提高学生对数学的兴趣，例如家庭、同学和老师。[35] 家人可以在家里向学生表达对数学的支持和鼓励，这可以提高学生对数学的重视。学生通常会进行社会比较，并且喜欢效仿其他同学的行为。因此，同学的影响在学生中起着重要作用。当学生看到他们的同学喜欢解决数学问题或游戏，例如数独或拼图时，学生也会对解决问题感兴趣。最重要的是，教师可以在课堂上组织有趣且互动性强的游戏，同时在教学中表现出热情。[36] 这将增强学生对学习他们不喜欢学科的兴趣。因此，重要的是教师要为学生创造一个愉快的学习环境，以培养他们对数学的兴趣。如果学习者讨厌数学，那么教授他们数学将非常困难。他们不会想学习这些材料，而只会因为必须学习而学习。

文化差异

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来自不同文化背景的学生有不同的学业成就水平和不同的目标。[37] 此外，他们对数学的重视程度可能因文化而异。当一种文化重视某个特定学科，例如数学时，这些孩子往往从很小的时候就开始在学校和家里接受训练。因此，这些学生将具有更高的数学表现效率。定期学习数学的学生可能具有较高的自动性水平，因为他们对数学问题的练习足够。他们将能够选择合适的策略并更有效地解决数学问题。[38] 反之，当一种文化不认为数学很重要时，这些孩子可能不会受到严格的教育，并且会表现出较低的熟练程度。为了在一个学科领域取得优异成绩，在学校和家里练习很重要。仅仅在学校由老师支持下练习数学技能的学生，训练不足，因为他们在家中没有得到积极和密集学习的鼓励。此外，对表现持积极信念的文化，例如高标准、努力和积极态度，会导致高学业水平。[39] 不同的文化有不同的语言。当然，他们表达数学问题的措辞方式也可能有所不同。研究表明，汉语数字语言（例如，15 是十个五）的结构比印欧语系数字语言（例如，英语 12 是 twelve，而 -teens 词语经常不一致）更容易学习。[40] 汉语数字语言的读音通常比英语更快，这会影响学生的数学效率。因此，汉语能够在短期记忆中更长时间地保留这些数字，尤其是在包含多位数的复杂数学问题中。[41] 在设计教学实践时，应考虑文化差异，因为不同的学生有不同的文化，这会影响他们解决数学问题的方式。

数学自我效能

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学生在数学上的自我效能是指他们对自己解决数学问题的信心。自我效能高的学生相信自己有能力解决数学问题，他们更有可能参与数学相关任务，并在数学方面取得更高的学业成绩。另一方面，自我效能低的学生认为自己没有能力解决数学问题，他们会在解决数学问题时感到焦虑，并在数学方面取得较低的学业成绩。因此，学生在数学上的自我效能与他们在数学上的参与度和学业成绩密切相关。

自我效能对数学的影响

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自我效能可以影响学生对数学学习的思考、理解和感受方式。自我效能高的学生相信自己有能力和技能在数学方面取得好成绩。[42] 由于他们认为自己有能力解决数学问题，他们会更有动力学习和研究数学。这样做，学生会遇到自我实现预言，当他们学习后数学成绩提高时，这符合他们对自己在数学方面的能力的信念。另一方面，自我效能低的数学学生会认为自己没有能力在数学方面取得好成绩。[43] 带着这种信念，学生可能会认为即使他们非常努力，也无法取得数学成就。因此，他们在做数学题时动力不足。此外，自我效能低的数学学生在尝试几次问题后可能会轻易放弃，因为他们认为自己没有能力得到正确答案。当他们这样做时，就会强化他们对自己在数学方面无能为力的信念。学生会遇到自我实现预言，他们会以一种符合他们对自己在数学方面能力低下的信念的方式行事。

评估学生的自我效能

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评估学生的自我效能，了解他们在学习特定数学主题时是否有信心很重要，因为这可能会影响他们的表现。评估学生自我效能的一种方法是编制一个第一人称陈述列表，让学生为每个陈述评价他们的自我效能。[44] 首先，教师必须确定他们想评估学生在哪个主题上的自我效能。例如，如果主题是求表面积，教师会编制一个关于该主题的第一人称陈述列表。然后教师可以要求学生使用 0-100 的评分范围来对陈述进行评分（0 表示陈述不真实，100 表示陈述真实）。[45] 下面的图表是一个学生对他自己在表面积主题上的自我效能进行评分的示例。

评分（0-100） 陈述
80 我知道为了求平行四边形的表面积，我需要哪些信息。
100 如果给出长和宽，我能求出矩形的表面积。
60 我能写出梯形表面积的公式。
50 我能向我的同学解释为什么三角形表面积的公式是 bxh ÷2。
90 我能计算边长为 4cm 的正方形的面积。

在学生对陈述进行评分后，教师可以通过将分数加起来来估计学生对该主题的信心程度。对于上面的例子，分数将是 80+100+60+50+90。从分数中，教师可以了解学生在该主题上的自我效能程度。此外，教师可以将学生在特定主题上的自我效能与他们总体上的数学效能进行比较。此外，在评估学生的自我效能时，教师应该牢记，学生的自我效能可能会影响他们的学习动机和学习行为。因此，教师应该调整他们的教学方法，以提高学生的自我效能，并根据他们的水平进行匹配。

学生自我效能的发展

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班杜拉提出了影响自我效能发展的四大因素。[46] 第一个影响是学生的掌握经验。[47] 例如，当学生在数学测试中取得成功时，他们在该领域数学的信心水平就会提高。这将对学生未来的表现产生积极的影响，学生会更有信心，因为他们认为自己有能力解决类似的问题。第二个影响是学生的各种经验。[48] 通过观察他人，尤其是能力相似的同伴，学生完成特定任务的自我效能会提高。当教师介绍一个新的数学主题时，学生对该主题的难度级别不确定，通过观察他们的同伴完成问题，他们对理解和完成新主题中问题的信心水平会提高。此外，即使观看关于数学家做数学的纪录片也会提高学生的数学自我效能。[49] 第三个影响是社会说服。[50] 这可能是学生与之互动的人（例如他们的父母、同伴或教师）所说的话。教师的积极反馈，例如“你解代数题越来越好了”会增强学生解代数题的信心。第四个影响是学生的生理状态。[51] 这指的是学生对某种情况的情绪反应。例如，一个学生可能会认为她在数学考试中失败是因为她没有数学能力，而实际上是由于她的焦虑。在这种情况下，学生误判了自己的能力，降低了她对数学的信心。另一种情况可能是学生将她在数学考试中的成功表现视为运气，而不是她表现良好的能力。在这种情况下，学生失去了建立对数学信心的机会。因此，学生对积极和消极情况的感知都会影响他们建立自我效能的能力。提高学生通过此途径的自我效能的方法是让他们认识到自己在数学方面的真实能力，并增强他们对自己能力的积极感受。

Usher 对测量初中生数学自我效能发展四个不同来源进行了研究，他采访了学生、家长和教师。[52] 研究结果与班杜拉提出的关于自我效能发展的观点一致，即掌握表现、替代经验、社会说服和生理状态都与学生的数学信心有关。对于掌握表现，它表明与学生的自我效能发展有很强的关系。Usher 建议数学教师可以用来通过掌握表现来提高学生信心的策略是“以最大程度地提高掌握经验的机会来进行教学，无论这些经验有多小”。[53] 例如，教师可以教学生关于数学主题（如算法和代数）的校正策略。一个示例问题是 18 ÷ 6 =?。教师可以教学生通过将商乘以除数 (3 x 6= 18) 来自我检查答案，如果答案与被除数相同，则答案正确。被教导并使用校正策略的学生提高了他们在数学方面的掌握表现。[54] 为学生布置他们在能力范围内可以完成的具有挑战性的作业也会提高学生的掌握经验。

此外，Usher 研究中的一些证据表明，这四个来源之间也存在联系。对于替代经验，研究结果表明，父母和教师的数学经验都与学生的数学信心有关。研究中一个引人注目的发现是，一个学生将他的父母在数学方面的失败解释为他可以不同的证据。[55] 这表明，不仅成功的经验，与数学有关的不成功的经验也可能与学生的数学信心有关。研究结果还表明，学生的生理状态会影响他们如何解释他人的经验。对于社会说服，研究结果表明，父母和教师对孩子传达的信息可能会极大地影响学生对自己能力的信念。[56] 例如，认为数学是一种固定能力的信息会导致学生缺乏动力。因此，如果父母告诉他们的孩子，他们要么有数学能力，要么没有，他们的孩子最终可能会相信自己没有能力表现出色，从而降低了他们对数学的信心。在这种情况下，社会说服可能会影响学生的生理状态。

教师效能

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教师的教学效能指的是他们相信自己能够对学生产生重大影响，[57]例如学生的学业成绩、自我效能、学习动机、态度和兴趣。为了建立高水平的教学效能，教师需要对自己的教学科目持有积极的态度、丰富的教学法知识和内容知识。教师对数学的态度可能会对学生的学习态度和学业成绩产生重大影响。一项研究通过对教师进行访谈并让他们完成教师态度量表，考察了四组教师对数学的态度。[58] 这四组分别是 K-4 年级教师、初中教师、其他教育工作者（校长、其他管理人员）和特殊教育教师。结果表明，在四组教师中，初中教师对数学的态度最为积极（60% 强烈积极，30% 中立，10% 强烈消极），而 K-4 年级教师对数学的态度最为消极（43% 强烈积极，23% 中立，34% 强烈消极）。[59] 结果表明，数学在小学阶段的重视程度低于初中阶段。当教师对数学持有消极态度时，他们不太可能相信自己能够改变学生的学习，这与他们的教学效能相关。教师的数学教学法知识和内容知识也是影响他们教学效能的因素。一项最新研究考察了教师的数学教学法知识和数学内容知识与教师的教学效能和学生在代数 I 课程中的成绩之间的关系。[60] 研究结果发现，教师的教学效能与他们的教学法知识和内容知识之间存在很强的相关性，这表明，拥有丰富的教学法知识和内容知识的教师对自己的教学更有信心，也更有可能相信自己能够对学生的学习产生重大影响。[61]

教师的教学效能会以多种不同的方式影响学生的学习。其中一个比较明显的因素是学生的学业成绩。一项研究对 K-12 年级学校教师的自我效能信念进行了考察，发现他们的自我效能信念与学生的成绩呈正相关。[62] 除了学生的成绩之外，教师的教学效能还会影响学生的学习动机、兴趣和学习策略的使用。这是因为教学效能较高的教师更有可能使用表扬而不是批评，更有可能接受学生，更有可能以任务为导向。[63] 另一项研究发现，效能更高的教师会教授给学生更多的学习策略，并拥有更多集中性的学术学习时间，从而提高学生的成绩。[64]

自我调节学习

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人们可能认为学生的数学成绩低下是由于他们的数学能力低下或没有学习的结果。但在所有情况下可能并非如此。有时，学生的数学成绩低下可能是由于他们缺乏 **自我调节学习** 技能，而没有使用最合适的学习策略。自我调节学习是指学生能够控制他们学习的所有方面，从提前计划到事后如何评价自己的表现。[65] 自我调节学习有三个核心组成部分。第一个是元认知意识，指的是学生如何设定目标以及他们实现目标的计划。[66] 第二个是策略使用，指的是学生可以应用于学习的一系列自我调节策略。熟练的学习者在学习时会使用更有效的策略。[67] 第三个是动机控制，指的是学生设定目标以及他们对自己学术能力和表现的积极信念。[68] 自我调节学习的能力对学生的数学成绩有很大影响。当学生的自我调节学习技能提高时，他们会使用更好的策略，并更好地理解如何学习数学，从而提高他们的数学成绩。

数学自我调节学习项目研究

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一项在东南亚进行的研究建立了一个数学自我调节学习项目，结果表明，当学生被教授自我调节学习技能时，他们的数学成绩会提高。该研究涉及 60 名小学阶段数学成绩较低的学生。30 名学生被安排在实验组，他们需要参加数学自我调节学习项目。

该项目包含 30 个课时，旨在通过提高学生的动机控制和教授他们自我调节策略来提高学生的自我调节学习技能。（第 1-5 课时）项目从培养学生的自我调节信念体系开始。通过讲故事和让学生在小组中分享他们的想法，向学生介绍个人责任、自我效能、学习目标和努力归因的重要性。[69] （第 6-11 课时）然后，他们向学生介绍了 Zimmerman 提出的 14 种自我调节学习策略。[70] 每个策略都通过强调其在学习数学中的用法和重要性来进行解释。随后，学生有机会独立练习每个策略。（第 12-30 课时）最后，学生被指导在他们常规的数学课中应用自我调节学习策略。此外，他们还必须通过完成目标设定、自我评估和自我强化表格来评估自己的学习进度。在学生完成数学自我调节学习项目的 30 个课时后，他们会进行数学成绩测试和自我调节学习测试。结果表明，参加该项目的学生在两项测试中的得分都高于没有参加项目的学生。

在数学中应用自我调节学习策略

策略 在数学中的应用
自我评估 学生通过确保自己用正确的步骤获得了问题的正确答案来进行自我评估。
组织和转换 学生组织数学问题的能力。一些方法包括使用图表、方程式和图形。
目标设定和规划 学生设定目标以及他们实现目标的计划。
记录和监控 课堂笔记。组织方程式。
环境构建 在有利于学习的环境中学习。
自我强化 学生对自己在数学方面的成功或失败进行自我惩罚或奖励。
复习和记忆 学生通过做许多不同形式的数学问题来学习。
寻求信息 学生从非社交资源中寻求信息。
寻求社会帮助 学生向同伴、老师或其他成年人寻求帮助。
回顾记录 学生重新阅读课本、笔记或他们的家庭作业问题。

在参加了 30 个课时的数学自我调节学习项目后，学生在数学成绩和自我调节学习测试中表现出显着提高。[71] 这表明有可能教授数学成绩较低的学生自我调节学习技能。当他们掌握了这些技能并被教导关注过程和策略时，他们的数学解题能力得到了提高。随着能力的提高，学生将逐渐认识到自己能够在数学方面做得更好。表扬和奖励自己在学习方面的进步将使学生在数学方面的进步更加显著。结果，他们的自我效能和他们对数学的兴趣将会提高。这创造了一个积极的循环：当学生相信自己有能力在数学方面取得成就时，他们将更有动力地使用合适的自我调节学习技能努力学习数学。

在传统的课堂上，数学被视为以答案为中心的学科，而不是以过程为中心的学科。通过强调速度和准确性，学生会培养复制和记忆数学事实的技能，而不是理解数学。此外，学习只单向流动，从老师到学生。在这种课堂环境中，学生很难应用自我调节学习策略，因为当学生不被允许对自己的学习进行选择和控制时，他们不太可能学习自我调节的策略，也不太可能自发地启动和控制各种策略的使用。[72] 因此，为了使学生能够应用自我调节技能，课堂环境非常重要。培养自我调节学习技能的最佳方法之一是让学生在一定程度上控制自己的学习。数学老师应该鼓励知识分享和决策。当学生在设定目标、规划活动和评估自己的学习表现方面拥有发言权时，他们有机会练习自我调节学习技能，这将对他们的数学成绩产生积极的影响。

高年级学生比低年级学生更能运用自我调节学习技能。[73]这是因为年龄较大的学生更能理解自我调节学习理论中提出的概念和想法。此外，一些自我调节学习策略需要先前的知识和技能，例如制定计划或整理学习材料。因此，高年级学生更容易学习一些自我调节策略。结果，高年级学生在学习自我调节学习技能后，数学成绩的提高幅度大于低年级学生。

教学启示

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数学学习障碍

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最近对认知、工作记忆和数学学习障碍的研究都表明，需要区分数学中的计算和问题解决学习障碍。到目前为止，数学评估一直是通用的，没有充分考虑每个领域的不同特征。专业人员在诊断学生时，必须分别考虑这两种技能。教师在指导有数学学习障碍的学生时，也应考虑不同的领域。以下是一些可能帮助学生克服数学学习障碍的建议和工具：

外部表征

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外部表征是数学中一个有用的工具，因为数学问题有时可能难以用大脑进行计算。通过使用外部表征，学生可以清晰地理解数学概念，从而获得知识。一些外部表征包括：已解例题、动画和图表。

已解例题

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已解例题是一种有用的教学方法，教师用它来帮助学生学习数学。研究表明，使用已解例题可以提高数学成绩较低的学生的学习效率。一个原因是，当学生被要求解决问题时，他们的首要目标是解决问题，而不是学习数学。相反，当学生被提供已解例题时，他们实际上是在学习并尝试自己解释这些材料。[74] 因此，已解例题更侧重于学生的主动学习。学生通常不理解数学理论或证明，因为它们难以理解。然而，已解例题更容易让学生学习和理解数学概念。教师无需提供明确的指导，只需向学生展示如何解决数学问题的步骤作为参考。在解决数学问题的步骤中，有详细的解释。然后，学生可以自主地自学类似的数学问题。因此，他们可以参考已解例题来解决许多数学问题。[75] 他们可以通过参考教师提供的已解例题，明确地反映他们解决问题的思路。因此，这也有助于学生进行自我调节学习，因为他们在解决问题时运用批判性思维。这种 **元认知** 策略可以帮助学生提高他们的问题解决能力，尤其是在解决数学文字题时。元认知策略包括自我提问、自我评价、总结和说明问题。[76] 这些策略被认为可以帮助学生在构建对已解例题的更深理解的同时获取知识。研究表明，能够自学解释问题并解决问题的学生具有更高的数学成绩。当学生自己解释如何解决数学问题的步骤时，他们是在进行反思性思维，这可以构建超越所提供信息的更深层次的理解。事实上，学生可以发展出新的和更复杂的数学知识，因为他们将新学到的知识与先前的知识相结合。[77] 此外，已解例题也可以用在小组环境中，学生可以与同学讨论如何解决数学问题。研究发现，学生在课堂上使用已解例题有两种方法。[78] 一种方法是，理解已解例题的学生可以解释给那些不理解的学生听。另一种方法是，学生通过使用逻辑和推理能力来共同解释已解例题。这两种方法都让学生在社交互动环境中参与学习，通过讨论已解例题的细节。在社交环境中学习可以加强对材料的理解，因为学生正在更深入地阐述这些例子。他们还可以就已解例题中遇到的任何问题提出疑问，以便获得清晰的理解。[79] 因此，重要的是学生应该在小组中进一步讨论已解例题，以反思问题的步骤，并产生超越其现有知识的知识获取。


动画

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为了提高学生对学习数学的兴趣，动画是一个很棒的教学工具，可以用它来教授学生。由于数学有时可能相当枯燥乏味，动画可以吸引学生对学习数学的兴趣。最重要的是，动画声称可以促进学生的数学问题解决能力。[80] 在学生解决任何数学问题之前，重要的是学生要识别问题，并知道要解决什么。因此，当学生发现问题难以翻译时，动画就会变得非常有效，因为它包含了视觉表征，可以让学生更容易地解释问题。相反，当学生只是记下问题时，他们对问题的含义并不完全了解，因为他们只是简单地抄写文字。通过提供包含问题口头解释的图形表征，学生可以全面地可视化问题中发生了什么。例如，对小学生来说，加减法概念很难用文字解释。然而，使用动画来显示问题发生前后的画面可以构建清晰的理解。在加减法数学问题的情况下，动画可以演示物体数量的增加或减少来表示解题过程。此外，动画可以将抽象的数学理论用可见的物体、具体的结果和特定实例来展示。因此，动画可以用来用不同的例子来传达抽象的数学概念。[81] 由于问题的视觉表征，动画可以促进对抽象原理的获取和对已解例题的理解。尽管已解例题被认为是一种有效的教学实践，但动画可以用来有效地改进这些例子。[82] 已解例题可能并不总是包含图形表征，而只有书面文字。因此，当已解例题的解题步骤都包含视觉表征时，学生就可以想象问题中发生了什么。学生还可以用提供的解释和图片更好地理解已解例题。因此，建议教师在他们的教学实践中使用动画作为教学工具，以完全巩固学生的数学学习。

图表

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制作信息图表可能是一个非常困难的过程，因为学生不仅需要将口头信息转换成视觉信息，还需要识别和整合相关信息，然后才能将其与先前的知识联系起来。[83] Larkin 和 Simon 认为，图表表征比语句表征更容易更有效，原因在于三个方面：搜索、匹配和推断。首先，它清楚地保留了有关文字问题元素之间的地形和几何关系的所有信息。因此，学生可以轻松地搜索特定信息。其次，由于所有相关元素都分组在一起，因此它显示了具体表征和象形图之间的联系。因此，它可以简化识别相关信息的流程。除此之外，如果问题是通过绘制图表来产生的，那么记忆负荷就会降低，因为学生可以清楚地看到相关信息之间的必要推断。[84] 许多研究表明，使用图表可以提高问题解决的效率。

Banerjee 对使用图表作为表征技术对高中生解决数学文字题成绩的影响进行了研究。结果证明，图表方法（例如专注于创建和标注图表来代表数学）可以显著提高他们解决数学文字题的成绩。[85]

描述了日本和新西兰学生使用图表解决数学文字题的正确答案百分比的结果

在一项研究中，Uesaka、Manalo 和 Ichikawa 对日本和新西兰的学生使用图表解决数学文字题进行了比较。 [86] 日本学生绘制的图表使用了一个物体问题，而新西兰学生绘制的图表使用了一个二维物体来解决数学文字题。结果表明，新西兰学生的正确答案百分比显著高于日本学生。原因是绘制图表可以按位置索引句子，使学生能够明确地观察特定位置的细节，从而更容易理解问题。 [87]
为了鼓励学生使用图表解决数学问题，教师首先应该教会他们：1) 图表是什么，2) 使用图表解决问题的意义，3) 在什么时候应用图表解决问题，4) 应该使用哪种类型的图表解决数学问题，5) 如何生成图表，以及 6) 如何有效地使用图表。学生应该了解图表的基本概念的原因是，图表可能并不适用于所有数学问题。Uesaka 和 Manalo 指出，学生倾向于在解决有关长度和距离的数学文字题时使用图表，而不是空间问题，因为这通常涉及具体的关系和已知数量。 [88] 教授他们图表的重要概念之后，教师就可以指导他们进行三步走程序——询问、执行和检查。 [89] Van Garderen 和 Scheuermann 建议学生首先集中精力思考需要解决的问题；然后他们应该绘制图表。最后，他们可以用图表来解决问题。例如，为了集中精力思考需要解决的问题，学生可以使用关键词法来搜索信息，并将从问题中获得的信息放置进去。 [90] 总之，图表在解决数学问题时可以成为一种有效的策略；它不仅可以帮助学生进行批判性思考，还可以帮助他们通过不同的方法来解决问题。

算法

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算法是一系列步骤，帮助学生解决数学问题。如果他们遵循这些程序，他们将能够每次都计算出正确的答案。算法涉及重复序列，它适用于加减乘除。通过使用算法，学生可以学习如何解释每个步骤中发生的事情，并且能够在最终得到错误答案时跟踪他们的错误。它要求他们在解决问题时注意细节，也就是说，当他们进行多步骤的解决方案时，他们需要从长期记忆中回忆起算法，并在脑海中已经有一组步骤。此外，教师应该指导学生，算法必须按顺序解决，不能跳过任何步骤。例如，当学生学习基本的算术运算时，他们必须学会解决像 5+8×6 这样的问题的特定顺序。学生需要理解，他们必须先进行乘法运算，然后进行加法运算。如果他们能够遵循正确的顺序，他们就能始终得到正确的答案。然而，Paul Cobb 进行了一项关于 1 年级和 2 年级学生解决两位数加法问题的研究。他注意到，所有学生都能够通过各种方法正确地解决 16+9。相反，如果要求他们使用传统的学校算法（带有进位）来解决同一个问题，但采用垂直上下文，许多人往往会得到错误的答案。他得出结论，导致学生使用传统的学校算法更容易犯错误的原因是，他们只是强迫自己遵循规则，而不是真正理解算法的工作原理。 [91] J.S. Brown 和 Burton 发现，有相当数量的学生始终如一地使用一个或多个错误版本的算法来解决他们的数学问题。虽然许多错误的算法可以得出正确的答案，但这并不适用于所有情况。 [92] 例如，一些孩子有一个先入为主的观念，认为减法算法意味着从每一列中减去较小的数，而不管哪个数在上面。左侧的图表可以解释为什么错误的算法可能无法始终产生正确的解。

一个解释为什么错误算法不起作用的图表

Brown 和 Burton 指出，即使那些对减法算法有错误理解的孩子似乎也理解减法的算术运算，因为这可以引导他们对 a) 和 c) 部分得出正确的解。然而，他们将对 b) 和 d) 部分得出错误的答案，因为第二列中顶部的数字小于底部的数字。Nagel 和 Swingen 认为，传统的带有进位或借位的算法只能提高他们的效率和准确性，但却忽略了学生的意义建构。 [93]
因此，为了有效地处理算法的串行方面，教育者应该教会学生在应用多步解决问题时使用他们的空间能力。例如，他们需要学习如何正确地对齐和间隔数字，以便成功地解决问题；尤其是在进行列减法、多位数乘法等运算时。教师应该鼓励学生发展和使用他们自己的算法来解决问题。他们可以鼓励他们的学生将助记符与算法结合起来；这种方法可以帮助他们记住一些事情，比如解决问题的步骤。 [94] 例如，PEDMAS 可以告诉他们在进行运算时的顺序。他们不再只是从左到右进行算术运算，而是理解他们必须先解决括号里面的部分。 [95] 此外，教师应该要求学生在尝试求解答案之前先仔细查看整个问题，然后教他们如何将问题分解成小的部分，并确定哪些部分需要使用算法。他们还应该知道在每个部分应该使用哪些算法；最后，他们应该反思每一步的答案。通过展示步骤，学生可以始终跟踪他们的错误，并最终得到正确的解。

文字题策略

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文字题对所有孩子来说都是一个特殊情况，但对于那些有解决问题学习障碍的孩子来说尤其如此。计算题和文字题之间最显著的区别是增加了语言信息。换句话说，孩子们必须先阅读书面文字，过滤信息，以便将书面问题转化成一个计算的数字句子。然后，孩子们必须在完成问题的实际数学部分之前，识别出缺失的信息，以及相关信息。

文字题对许多学生来说难以理解，但当学习者的第一语言不是英语时，问题就更加复杂了。根据 Jan, S. 和 Rodrigues, S. (2012) [96] 的说法，以英语为第二语言的孩子由于语言障碍而无法理解问题陈述。他们倾向于依赖关键词或误解问题陈述，因此他们得出的解可能是错误的。依赖关键词会分散学生试图理解问题的注意力。“关键词会导致混淆，难以区分日常语言和数学语言。” [97]

这项研究的结果表明，课堂或小组讨论将为学生提供一个澄清问题本质的机会，以便他们能够理解给定什么和要求什么。为学生提供阅读、理解、分享彼此的想法以及从多种策略角度考虑问题和解决方案的机会将使学生更深入地理解问题。

在采用认知方法教授文字题时，教师应该为学生提供充分的机会思考和讨论文字题的含义，然后与同学一起考虑多种解决方案。这种方法对于那些有语言障碍的学生和那些有数学学习障碍的学生都很有价值。

学习障碍委员会 [98] 建议以下一些教授学生解决问题的策略

FAST DRAW (Mercer & Miller, 1992) 找出你要解决的问题。问问自己，“问题的各个部分是什么？” 设置数字。确定符号。

发现符号。阅读问题。回答，或绘制并检查。写下答案。

问题和行动 (Rivera, 1994) 步骤 a. 阅读问题。 问题 我是否不认识某些单词？ 我是否知道每个词的意思？ 我是否需要重新阅读问题？ 问题中是否有数字词？ 行动 在单词下划线。 查找定义。 重新阅读。 在单词下划线。 b. 重述问题。 哪些信息很重要？ 哪些信息不必要？ 问题在问什么？ 在单词下划线。 划掉。 用自己的话重述。 c. 制定计划。 有哪些事实？ 如何组织这些事实？ 有多少个步骤？ 我将使用哪些运算？ 列出清单。 制作图表。 使用操作材料。 使用较小的数字。 选择运算。 d. 计算问题。 我得到正确答案了吗？ 估计。 与同伴核对。 使用计算器验证。 e. 检查结果。 我是否回答了问题？ 我的答案是否合理？ 我是否可以重新陈述问题和答案？ 重新阅读问题。 检查问题和答案。 写一个数字句子。

3. TINS 策略 (Owen, 2003) 这个首字母缩略词代表了用于分析和解决文字问题的不同步骤。 思考：思考你需要做些什么来解决这个问题，并圈出关键词。 信息：圈出并写下解决这个问题所需的信息；画一幅图；划掉不必要的信息。 数字句子：写一个代表问题的数字句子。 解答句子：写一个解释答案的解答句子。 示例：凯尔买了 6 张棒球卡。 第二天，他增加了 11 张卡到他的收藏中。 他总共有多少张卡片？ 思考：+ 信息：6 张棒球卡，11 张棒球卡 数字句子：6 + 11 = 解答句子：凯尔收藏了 17 张棒球卡。

4. 解决问题 (Birsh, Lyon, Denckla, Adams, Moats, & Steeves, 1997) 首先阅读问题。 突出显示问题。 圈出重要信息。 制定计划。 使用操作材料来表示数字。 执行计划。 检查你的工作。

用于教授代数的认知导师

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1985 年，Anderson、Boyle 和 Reigser 将认知心理学学科加入了智能辅导系统。 从那时起，采用这种方法构建认知模型以帮助学生获取知识的智能辅导系统被命名为认知导师。[99] 最常用的认知导师是 Cognitive Tutor® 代数 I。[100] 商标所有者 Carnegie Learning, Inc. 正在开发完整的 Cognitive Tutor®，包括代数 I、II、代数桥梁、几何和综合数学 I、II、III。 Cognitive Tutor® 现在也包含西班牙语模块。

如何教授

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两个内置算法，模型追踪 和 知识追踪，可以帮助监控学生在使用软件期间的学习情况。 模型追踪可以提供即时反馈、按需提示，并根据学生每一步的性能轨迹提供特定于内容的建议。[99] 知识追踪可以根据用户的先前知识为每个用户个性化学习任务。[99][100]

你可以访问 解决问题、批判性思维和论证 的章节 (2.5.2 认知导师的理论背景) 以获得更多关于认知导师如何通过即时反馈、按需提示、特定于内容的建议和个性化任务来促进代数学习的详细信息。

Cognitive Tutor® 代数 I 的混合效应

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关于认知导师的有效性，先前研究证据支持认知导师比课堂教学更有效。[99][101][102][103] 然而，最近由美国教育部教育科学研究所建立的独立大型研究，即“有效教学资源库”，[104] 回顾了 22 项关于 Cognitive Tutor® 代数 I 的研究中的 6 项，这些研究包括 118 个地点的 8-13 年级 12,840 名学生。 研究人员发现，Cognitive Tutor® 代数 I 对代数有混合效应，对中学生的整体数学成绩没有统计学上显著或实质性重要的影响。

Morgan 和 Ritter，[105] 在俄克拉荷马州摩尔五所不同学校的九年级代数课上进行了一项教师内部实验。 在这项研究中，每位老师都被分配到至少一个 Cognitive Tutor® 代数 I 融合课堂和一个传统课堂。 研究结果表明，使用 Cognitive Tutor® 代数 I 学习的学生比没有使用该软件的同龄学生表现更好，并且倾向于对数学抱有积极的态度，例如对数学更有信心。

Cabalo、Jaciw 和 Vu[106] 进行了一项随机实验，以检验 Cognitive Tutor® 代数 I 在夏威夷毛伊县的五所中学环境中的有效性。 在实施 Cognitive Tutor® 代数 I 六个月后，学生们需要在 2005-06 学年结束时参加 NWEA 代数课程结束考试。 研究结果表明，学生总体上对 Cognitive Tutor® 软件的态度积极，大多数学生，无论是否使用该软件，在数学测试中都取得了进步。 然而，与初始分数高的学生相比，在使用 Cognitive Tutor® 之前分数较低的学生的进步显著。

Campuzano、Dynarski、Agodini 和 Rall[107] 对基于技术的教学的有效性进行了一项为期两年的国会授权研究，包括在第二年在四个学区的九所贫困学校使用 Cognitive Tutor® 代数 I。 研究人员采用了随机对照试验方法，将教师随机分配到使用该软件或继续使用现有学校课程的组别。 所有学生都在秋季和春季参加了 ETS 课程结束考试，与第一年相比，第二年使用该软件的学生的成绩显著更高。 然而，干预组和对照组之间考试成绩的差异很小 (p<0.3)。

Pane、Griffin、MaCaffrey 和 Karam[108] 采用随机对照试验来检验美国技术整合代数课程的有效性。 研究持续了两个连续的学年，Cognitive Tutor® 代数 I 软件在教师指导的课堂教学 (每周 3 天) 和计算机引导的教学 (每周 2 天) 中实施。 高中研究结果表明，在第一个学年，干预组和对照组学生之间的学习成绩差异很小 (p<0.46)。 然而，证据有力地支持了在第二年将 Cognitive Tutor® 代数 I 整合的益处 (p<0.04)，干预组中成绩较低的学生比同一组中成绩较高的学生进步更大。

术语表

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算法 是数学中一个具有步骤序列的程序，当用它来解决数学问题时，它将产生正确的答案。

应用 发生在学生能够在数学概念和日常生活情境之间建立联系时。

澄清 发生在学生识别和分析问题的各个方面时，它使他们能够解释解决问题所需的知识。

分类 是根据相似特征对物体进行分组的能力。

概念知识 是促进学生数学推理和理解的心理结构。

陈述性知识 是指从长期记忆中检索到的数学概念，即事实知识；因此，利用这些概念来解决其他复杂的数学问题。

评估 发生在学生可以使用特定指标来确定问题解答的正确性时。

推断 发生在学生能够将一般概念应用于特定情境，并区分物体之间异同的时候。

内在动机是指学生主要出于自身兴趣而想要学习。

元认知是指用于控制自身思维和学习的知识。

程序性知识是指关于如何使用一系列策略步骤来解决数学问题的知识。

排序是指根据大小（例如长度、重量或体积）对物体进行从小到大排序的能力。

自我调节学习是指控制自身学习的能力，从计划到事后评估表现。

短期记忆负责临时存储必须使用但不必操纵的信息。

工作记忆是一个系统，负责临时保存新的或以前存储的信息，这些信息被用于完成当前任务。

推荐读物

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