Common Lisp/高级主题/数字

Common Lisp 比大多数编程语言更支持执行数字运算任务。这是通过支持大整数、有理数和复数，以及许多用于操作它们的函数来实现的。

数字类型

数字类型的层次结构如下所示

• number
  • real
    • rational
      • integer
        • fixnum
        • bignum
      • ratio
    • float
      • short-float
      • single-float
      • double-float
      • long-float
  • complex

Fixnums 和 Bignums

Fixnums 是不太大的整数，可以非常有效地操作。哪些数字被认为是 fixnums 取决于实现，但所有 [-2¹⁵,2¹⁵-1] 中的整数都保证是 fixnums。

Bignums 是不是 fixnums 的整数。它们的尺寸受 Lisp 为其分配的内存量限制，因此它们可能非常大。对它们的操作比对 fixnums 慢得多。当然，这并不能使它们不那么有用。

比率

比率表示两个整数的比率。它们的形式为 分子/分母。执行除法的函数 / 当其参数是整数或比率时总是产生比率。例如 (/ 1 2) 将得到 1/2，而不是 0.5。其他算术运算也能很好地处理比率。

浮点数

Float 是 浮点数 的简称，一种数据类型，用于在大多数编程语言中表示非整数。Common Lisp 中有四种浮点数，它们提供了越来越高的精度（与实现相关）。默认情况下，实现假定使用短浮点数，它们具有有限的精度。要输入更精确的浮点数，必须使用其他文本表示法，例如，对于双精度浮点数，使用 "1.0d0"。

复数

Complex 是一种数据类型，用于表示 复数。复数的表示法为 #C(实部 虚部)。实部和虚部都是有理数或浮点数。可以对复数执行的运算包括所有算术运算，以及许多可以扩展到复数的函数（如幂运算和对数运算）。

数值运算

以下函数针对所有类型的数字定义

• 算术运算 +,-,*,/ 很明显（注意，它们可以有多个参数）。
• sin, cos, tan, acos, asin, atan 提供三角函数。
• 相同，在末尾添加 h（如 asinh）提供相应的双曲函数。
• exp 和 expt 执行幂运算。exp 接受一个参数并计算 e^x，而 expt 接受两个参数（底数和指数）。
• sqrt 计算一个数字的平方根。
• log 计算对数。如果提供一个参数，则计算自然对数。如果提供了两个参数，则第二个参数用作底数。
• conjugate 返回一个数字的 共轭复数。对于实数，结果是数字本身。
• abs 返回一个数字的绝对值（或模数）。
• phase 返回一个数字的复数辐角（角度分量）。
• signum 返回一个与它的参数具有相同相位的数字，但模数为单位。

以下函数针对特定类型的数字定义

• gcd 和 lcm 计算几个整数的 最大公约数 和 最小公倍数。
• isqrt 返回小于或等于给定自然数的精确平方根的最大整数。
• cis 计算 e^iφ，其中 φ 以弧度给出。

数字比较

以下函数可用于比较数字。每个函数都接受任意数量的参数。

• = 如果所有参数都是相同值的数字，则返回 t，否则返回 nil。由于浮点数的精度问题，不建议对它们使用 =。

• /= 如果所有参数都是不同值的数字，则返回 t。请注意，(/= a b c) 不总是与 (not (= a b c)) 相同。

• <, <=, >, >= 检查它们的参数是否按适当的单调顺序排列。这些函数不能应用于复数，原因显而易见。

• max 和 min 分别返回它们参数中的最大值和最小值。

数值类型操作

这些函数用于将数字从一种类型转换为另一种类型。

• floor, ceiling, truncate, round 接受两个参数：数字和除数，并返回商（一个整数）和余数=数字-商*除数。选择商的方法取决于函数。floor 选择不超过比率=数字/除数的最大整数，ceiling 选择小于比率的最大整数，truncate 选择与比率符号相同的整数，且绝对值小于比率的绝对值的最大整数，round 选择最接近比率的整数（如果有两个这样的数字，则选择偶数整数）。注意：这些函数返回两个值（参见 多个值）。
• ffloor, fceiling, ftruncate, fround 与上面的相同，但商被转换为与数字相同的浮点数类型。
• (mod a b) 返回 (floor a b) 的第二个值。
• (rem a b) 返回 (truncate a b) 的第二个值。
• float 将第一个参数（一个实数）转换为浮点数。这可能有助于避免使用有理数进行缓慢的操作（参见示例 1）。可以提供第二个可选参数，它必须是浮点数 - 它将用作原型。结果将与原型具有相同的浮点数类型。
• rational 和 rationalize 将实数转换为有理数。当这个数字是浮点数时，rational 返回一个在数学上等价于浮点数的有理数。rationalize 逼近浮点数。前一个函数通常会产生分母很大的比率，因此它不像您想象的那样有用。
• numerator 和 denominator 返回有理数的对应部分。
• complex 从实部和虚部创建复数。函数 realpart 和 imagpart 返回一个数字的实部和虚部。

与数字相关的谓词

谓词如果为真则返回非 nil 结果，如果为假则返回 nil。

• zerop - 数字为零（Lisp 中可能存在多个零 - 整数零、实数零、复数零，也可能存在负零）。
• plusp, minusp - 实数为正/负。
• evenp, oddp - 整数为奇数/偶数。
• integerp - 数字为整数（类型为 integer - 参见上面的类型树）。
• floatp - 数字为浮点数。
• rationalp - 数字为有理数。
• realp - 数字为实数。
• complexp - 数字为复数。

参见

• 示例 1