通信系统/FM 和 PM 概论

概念

从我们最初的概述中可以看出，FM 和 PM 调制方案有很多共同之处。它们都是根据某个函数改变载波正弦波的角度。事实证明，我们可以将两者进一步概括到一个称为角度调制的单一调制方案中。请注意，我们永远不会用字母“AM”来缩写“角度调制”，因为幅度调制与角度调制完全不同。

瞬时相位

现在让我们看看 FM 和 PM 的一些共同点

$s_{FM}=A\cos(2\pi [f_{c}+ks(t)]t+\phi )$

$s_{PM}=A\cos(2\pi f_{c}t+\alpha s(t))$

我们要分析的是正弦波的参数，我们将其称为 Psi。让我们显示载波、FM 和 PM 的 Psi 值

$\Psi _{carrier}(t)=2\pi f_{c}t+\phi$

$\Psi _{FM}(t)=2\pi [f_{c}+ks(t)]t+\phi$

$\Psi _{PM}(t)=2\pi f_{c}t+\alpha s(t)$

$s(t)=A\cos(\Psi (t))$

这个 Psi 值被称为正弦波的瞬时相位。

瞬时频率

使用瞬时相位值，我们可以用以下公式找到波的瞬时频率

$f(t)={\frac {d\Psi (t)}{dt}}$

我们也可以用瞬时频率来表示瞬时相位

$\Psi (t)=\int _{-\infty }^{t}f(\lambda )d\lambda$

其中希腊字母“lambda”只是一个用于积分的哑变量。利用这些关系，我们可以进一步研究 FM 和 PM 信号。

确定 FM 或 PM

如果我们给定一个特定角度调制传输的瞬时相位的方程式，是否可以确定该传输使用的是调频还是调相？事实证明，可以通过遵循两个简单的规则来确定哪一个是哪一个。

1. 在调相中，瞬时相位是线性函数。
2. 在调频中，瞬时频率减去载波频率是线性函数。

为了复习线性，信号与系统书 中有一章专门讨论这个主题，值得重新阅读。

带宽

在调相系统中，我们知道值 $\alpha s(t)$ 永远不会超出 $(-\pi ,\pi ]$ 的范围。由于正弦函数在 [-1, 1] 之间振荡，因此我们可以使用它们作为一般的调相生成函数。现在，我们可以将调频和调相信号组合成一个通用方程，称为角度调制。

$v(t)=A\sin(2\pi f_{c}t+\beta \sin(2\pi f_{m}t))$

如果我们想分析这个方程的频谱成分，我们需要对其进行傅里叶变换。但是，我们无法积分正弦函数的正弦函数，更不用说找到它的变换了。那么我们该怎么做呢？

事实证明（现在推导将省略），我们可以将这个方程表示为一个无限和，如下所示。

$v(t)=A\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(\beta )\sin[2\pi (nf_{m}+f_{c})t]$

但是，$J_{n}(\beta )$ 这一项是什么？J 是贝塞尔函数，它只存在于一个开放积分中（无法用闭式形式写出）。对我们来说幸运的是，有大量表格记录了贝塞尔函数的值。

贝塞尔函数

贝塞尔函数的定义如下公式

$J_{n}(\beta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{j[\beta sin\theta -n\theta ]}d\theta$

贝塞尔函数是一个有两个变量的函数，N 和 $\beta$。

贝塞尔函数具有以下性质。

• 如果 n 是偶数

$J_{-n}(\beta )=J_{n}(\beta )$

• 如果 n 是奇数

$J_{-n}(\beta )=-J_{n}(\beta )$

• $J_{n-1}+J_{n+1}={\frac {2n}{\beta }}J_{n}(\beta )$.

贝塞尔函数是一个比较高级的数学工具，我们这本书不会进一步分析它。

卡森规则

如果我们有我们的广义函数

$v(t)=A\sin(2\pi f_{c}t+\beta \sin(2\pi f_{m}t))$

我们可以使用以下公式找到信号的带宽 BW。

$BW=2(\beta +1)f_{m}=2(\Delta f+f_{m})$

其中 $\Delta f$ 是发射信号相对于载波频率的最大频率偏移。需要注意的是，卡森法则只是一个近似值（尽管它在工业中经常使用）。

解调：第一步

现在，需要注意的是，FM 和 PM 信号在解调期间的前两个步骤都相同

1. 将信号通过限幅器，以消除振幅峰值
2. 将信号通过带通滤波器以消除低频和高频噪声（尽可能多地消除，而不会滤除信号）。

完成这两个步骤后，我们不再拥有白噪声，因为我们已经将噪声通过了滤波器。现在，我们说噪声是有色的。

以下是迄今为止我们解调器的基本图表

      channel
s(t) ---------> r(t) --->|Limiter|--->|Bandpass Filter|---->z(t)

其中 z(t) 是带通滤波器的输出。

滤波后的噪声

为了表示新的滤波后的噪声和新的滤波后的信号，我们有以下等式

$z(t)=\gamma A\cos(\Psi (t))+n_{0}(t)$

我们称加性噪声为 $n_{0}(t)$，因为它已经被滤波，不再是白噪声。 $n_{0}(t)$ 被称为窄带噪声，可以用如下方式表示

$n_{0}(t)=\mathbf {W} (t)\cos(2\pi f_{c}t)+\mathbf {Z} (t)\sin(2\pi f_{c}t)$

现在，一旦我们得到这种形式，我们就可以使用三角恒等式来简化此等式

$n_{0}(t)=\mathbf {R} (t)\cos(2\pi f_{c}t+\mathbf {\Theta } (t))$

其中

$\mathbf {R} (t)={\sqrt {\mathbf {W} (t)^{2}+\mathbf {Z} (t)^{2}}}$

$\mathbf {\Theta } (t)=tan^{-1}(\mathbf {Z} (t)/\mathbf {W(t)} )$

这里，新的噪声参数 R(t) 是一个瑞利随机变量，将在下一章中讨论。

噪声分析

R(t) 是一个影响接收信号幅度的噪声函数。但是，我们的接收器将信号通过一个限幅器，这将消除信号中的幅度波动。因此，R(t) 不会影响我们的信号，现在可以安全地忽略它。这意味着影响我们信号的唯一随机变量是变量 $\mathbf {\Theta } (t)$，即“Theta”。Theta 是一个均匀分布的随机变量，其取值范围在 pi 和 -pi 之间。超出此范围的值会“环绕”，因为相位是循环的。