如果我们使载波频率成为时间的函数，我们可以得到一个如下所示的广义函数
s F M = A cos ( 2 π [ f c + k s ( t ) ] t + ϕ ) {\displaystyle s_{FM}=A\cos(2\pi [f_{c}+ks(t)]t+\phi )} 我们仍然有一个载波，但现在我们有了ks(t)值，将其添加到该载波中，以发送我们的数据。
作为重要结果，ks(t) 必须始终小于载波频率，以避免歧义和失真。
回想一下，一般的正弦波形式为
e c = sin ( ω c t + θ ) {\displaystyle e_{c}=\sin \left({\omega _{c}t+\theta }\right)} 调频涉及到使载波频率偏离一定量。如果使用正弦波来使载波偏离，则在任何时刻的频率表达式将为
ω i = ω c + Δ ω sin ( ω m t ) {\displaystyle \omega _{i}=\omega _{c}+\Delta \omega \sin \left({\omega _{m}t}\right)} 其中 ω i = {\displaystyle \omega _{i}=} ω c = {\displaystyle \omega _{c}=} Δ ω = {\displaystyle \Delta \omega =} ω m = {\displaystyle \omega _{m}=} 此表达式描述了围绕某个平均频率正弦变化的信号。然而，我们不能简单地将此表达式代入正弦波的一般方程以得到调频方程。这是因为正弦运算符作用于角度，而不是频率。因此，我们必须用角度来定义瞬时频率。
需要注意的是，调制信号的幅度决定了载波偏移量 ，而调制信号的频率决定了载波偏移速率 。
术语 ω {\displaystyle \omega } 角速度 （弧度每秒），它与频率和角度之间的关系如下
ω = 2 π f = d θ d t {\displaystyle \omega {\rm {=2}}\pi {\rm {f=}}{\frac {d\theta }{dt}}} 为了找到角度，我们必须对 ω {\displaystyle \omega } ∫ ω d t = θ {\displaystyle \int {\omega dt=\theta }} 现在我们可以找到与瞬时频率相关的瞬时角度 θ = ∫ ω i d t = ∫ ( ω c + Δ ω sin ( ω m t ) ) d t = ω c t − Δ ω ω m cos ( ω m t ) = ω c t − Δ f f m cos ( ω m t ) {\displaystyle {\begin{array}{l}\theta =\int {\omega _{i}dt=\int {\left({\omega _{c}+\Delta \omega \sin \left({\omega _{m}t}\right)}\right)}}dt=\omega _{c}t-{\frac {\Delta \omega }{\omega _{m}}}\cos \left({\omega _{m}t}\right)=\omega _{c}t-{\frac {\Delta f}{f_{m}}}\cos \left({\omega _{m}t}\right)\\\end{array}}} 现在，可以将此角度代入通用载波信号，以定义 FM。 e f m = sin ( ω c t − Δ f f m cos ( ω m t ) ) {\displaystyle e_{fm}=\sin \left({\omega _{c}t-{\frac {\Delta f}{f_{m}}}\cos \left({\omega _{m}t}\right)}\right)} FM 调制指数 被定义为载波偏差与调制频率之比。 m f m = Δ f f m {\displaystyle m_{fm}={\frac {\Delta f}{f_{m}}}} 因此，FM 方程通常写成 e f m = sin ( ω c t − m f m cos ( ω m t ) ) {\displaystyle e_{fm}=\sin \left({\omega _{c}t-m_{fm}\cos \left({\omega _{m}t}\right)}\right)} 这是一个非常复杂的表达式，它没有直接表明该信号的边带是什么样的。解决这个问题需要了解第一类 和p 阶 的贝塞尔函数 。以展开形式，它类似于
J p ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( x 2 ) 2 k + p k ! ( k + p ) ! {\displaystyle J_{p}\left(x\right)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({-1}\right)^{k}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2k+p}}{k!\left({k+p}\right)!}}} 其中 J p ( x ) = {\displaystyle J_{p}\left(x\right)=} p = {\displaystyle p=} x = {\displaystyle x=} 作为一个有趣的事实，贝塞尔函数是以下方程的解 x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − p 2 ) = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left({x^{2}-p^{2}}\right)=0} 贝塞尔函数出现在圆柱波和球面波理论中，就像正弦波出现在平面波理论中一样。
事实证明，FM 会产生无限多个边频（在上边带和下边带中）。每个边频都是调制信号频率的整数倍。高阶边频的幅度迅速减小，通常可以忽略。
载波信号的幅度也是调制指数的函数，在某些情况下，它的幅度实际上可以变为零。这并不意味着信号消失，而是意味着所有的广播能量都被重新分配到边频上。
载波和前五个边频幅度作为调制指数函数的图类似于
贝塞尔系数有一些有趣的性质，包括
J 0 2 + 2 ( J 1 2 + J 2 2 + J 3 2 + ⋯ ) = 1 {\displaystyle J_{0}^{2}+2\left({J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}+\cdots }\right)=1} 对这一点的一种非常有用的解释是： J 0 {\displaystyle J_{0}} J 1 {\displaystyle J_{1}} J 2 {\displaystyle J_{2}}
调频产生上边带和下边带，每个边带都包含无限多个边频。然而，调频带宽不是无限的，因为高阶边频的幅度快速下降。卡森法则 常被用来计算带宽，因为它包含了 90% 以上的调频信号。
卡森法则 B f m ≈ 2 ( m f m + 1 ) f m = 2 ( Δ f + f m ) ) {\displaystyle B_{fm}\approx 2\left({m_{fm}+1}\right)f_{m}=2\left({\Delta f+f_{m}}\right))} 在商业广播应用中，对于纯粹的单声道电台，最大调制指数 ( m f m {\displaystyle m_{fm}} Δ f {\displaystyle \Delta f} f m {\displaystyle f_{m}}
对于立体声电台，最大调制指数被显著降低，因为用于分离声道的信息必须与单声道音频信号一起传输。这增加了所需的带宽至 53 kHz。因此，最大调制指数为 = 75/53 = 1.41509434... 无线数据系统 (RDS) 信息进一步增加了带宽至约 60 kHz，将最大调制指数降低至 75/60 = 1.25。
单声道信号为 M = L + R，立体声差异信号为 S = L - R。将两个联立方程相加得到 M + S = 2L + (R-R)，恢复左声道，而将它们相减恢复右声道。这被传输为双边带抑制载波 (DSBSC)，它本质上只是一个 AM "电台" 一直在运行，但当没有信号传输时，它的载波不会被发送。（与主节目一起发送的 "电台"（通常在超声波频率）被称为子载波 。）一个立体声 "导频" 音用于让接收机知道正在接收立体声信号，并且还允许再生抑制载波（通过将导频音的频率加倍），因此立体声差异信号可以像普通的 AM 电台一样解调，并且由此产生的信号用于将音频分离成两个声道。
RDS 信息是另一个与主节目一起发送的 "AM 电台"，但频率是导频频率的 3 倍（19 kHz × 3 = 57 kHz）。它的内容不是音频，而是表示数字信号的模拟值，该信号承载着电台名称和许多其他信息，例如其备用频率、一天中的时间、节目信息等。
在 AM 系统中，噪声很容易使传输信号失真，然而，在 FM 系统中，任何添加的噪声必须产生频率偏移才能被感知。
由于随机噪声产生的最大频率偏移发生在噪声与合成信号成直角时。在最坏的情况下，信号频率被偏移了
δ = θ f m {\displaystyle \delta =\theta f_{m}} 这表明由于噪声引起的偏移随着调制频率的增加而增加。由于噪声功率是噪声电压的平方，信噪比会显著下降。
为了防止这种情况，调制信号的幅度被增加以保持整个广播频段的信噪比恒定。这被称为预加重。
在 FM 调制器（发射机）中增加高频基带信号的幅度必须在 FM 解调器（接收机）中进行补偿，否则信号听起来会很尖锐（高音过多）。
标准曲线类似于
在商业 FM 广播中，加重电路由一个简单的 RC 网络组成，其时间常数为 75 μ {\displaystyle \mu }
预加重响应的大小由以下公式定义：
正弦波发射功率的方程是一个基本方程。记住它。
由于调频中正弦波幅度不变，发射功率是常数。一般来说，对于幅度恒定的正弦波，发射功率可以按如下方法求得
P ( t ) = A 2 2 R L {\displaystyle P(t)={\frac {A^{2}}{2R_{L}}}} 其中 A 是正弦波的幅度，RL 是负载的电阻。在归一化系统中，我们设置 RL 为 1。
贝塞尔系数可用于确定载波和任何边频中的功率。
P T = P C ( J 0 2 + 2 ( J 1 2 + J 2 2 + J 3 2 + ⋯ ) ) {\displaystyle P_{T}=P_{C}\left({J_{0}^{2}+2\left({J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}+\cdots }\right)}\right)} P T {\displaystyle P_{T}} P C {\displaystyle P_{C}}
任何角度调制接收机都需要包含几个组件
限幅器，用于去除异常幅度值。
带通滤波器，用于分离带外噪声。
鉴频器，用于将频率转换为电压。
低通滤波器，用于去除鉴频器添加的噪声。 鉴频器本质上是一个与包络检波器串联的微分器。
FM ---->|Differentiator|---->|Envelope Filter|----> Signal
此外，您还可以根据需要添加一个阻塞电容，以去除信号的任何直流成分。
![{\displaystyle s_{FM}=A\cos(2\pi [f_{c}+ks(t)]t+\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a386d23e1cc1b8387c48d7faa35a7c7dbb3ad1)
