交换代数/阿廷环

定义，第一个性质

定义 19.1:

一个环 $R$ 称为 **阿廷环** 当且仅当每个降链

$I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \cdots \supseteq I_{k}\supseteq \cdots$

中的理想最终会终止。

等价地，$R$ 是阿廷环，当且仅当它作为 $R$-模它本身。

命题 19.2:

设 $R$ 是一个阿廷整环。那么 $R$ 是一个域。

证明:

设 $r\in R$。考虑在 $R$ 中的降链

$\langle r\rangle \supseteq \langle r^{2}\rangle \supseteq \langle r^{3}\rangle \supseteq \cdots \supseteq \langle r^{n}\rangle \supseteq \cdots$.

由于 $R$ 是阿廷环，因此该链最终会稳定；特别地，存在 $n\in \mathbb {N}$ 使得

$\langle r^{n}\rangle =\langle r^{n+1}\rangle$.

然后写下$r^{n}=sr^{n+1}$，也就是说$r^{n}(1-sr)=0$，也就是说（因为我们在一个积分域中）$sr=1$ 以及 $r$ 有一个逆。$\Box$

推论 19.3:

令$R$ 为一个阿廷环。那么$R$ 的每一个素理想都是极大的。

证明:

如果$p\leq R$ 是一个素理想，那么$R/p$ 是一个阿廷（定理 12.9）积分域，因此是一个域，因此$p$ 是极大的。$\Box$

特征

定理 19.4:

令$R$ 为一个环。我们有

$R$ 是阿廷环 $\Leftrightarrow$ $R$ 是诺特环，并且$R$ 的每一个素理想都是极大的。

证明:

首先假设零理想$\langle 0\rangle$ 的$R$ 可以写成极大理想的乘积；即

$\langle 0\rangle =m_{1}\cdots m_{n}$

对于某些极大理想 $m_{1},\ldots ,m_{n}\leq R$。在这种情况下，如果满足任一链条件，则可以考虑 $R$ 的正规列，将其视为自身上的 $R$ 模，给出：

$R\geq m_{1}\geq m_{1}\cdot m_{2}\geq \cdots \geq m_{1}\cdot m_{2}\cdots m_{n}=\langle 0\rangle$.

考虑商模 $m_{1}\cdots m_{k}/m_{1}\cdots m_{k+1}$。这是一个在域 $R/m_{k+1}$ 上的向量空间；因为，它是一个 $R$ 模，而 $m_{k+1}$ 使其湮灭。

因此，在存在任一链条件的情况下，我们得到一个有限维向量空间，因此 $R$ 具有一个合成列（使用定理 12.9 并从左到右得到一个合成列）。我们现在将继续证明 $\langle 0\rangle$ 在以下情况下是极大理想的乘积：

1. $R$ 是诺特环，并且每个素理想都是极大理想
2. $R$ 是阿廷环。

1.: 如果 $R$ 是诺特环，则每个理想（尤其是 $\langle 0\rangle$）包含素理想的乘积，因此等于素理想的乘积。根据假设，所有这些都是极大理想。

2.: 如果 $R$ 是阿廷环，我们使用降链条件来证明，如果（为了得到矛盾）$\langle 0\rangle$ 不是 素理想的乘积，则 $R$ 的理想集，是 素理想的乘积，关于包含的反向顺序是归纳的，因此包含一个极小（关于包含）元素 $I\neq \langle 0\rangle$。我们由此得到一个矛盾。

我们形成 $A:=(\langle 0\rangle :I)$。由于 $1\notin A$，因为 $I\neq 0$，$A\neq R$。再次利用 $R$ 是 artinian 的，我们选择 $B$，使其满足条件 $B>A$ 且为最小值。我们设置 $p:=(A:B)$ 并断言 $p$ 是素数。事实上，假设 $a\notin p$ 且 $b\notin p$。我们有

$A\subsetneq aB+A\subseteq B$，因此，由于 $B$ 的最小性，$aB+A=B$

对 $b$ 也是类似的。因此

$abB+A=a(bB+A)+A=aB+A=B$,

由此得出 $ab\notin p$。我们很快就会看到 $p\neq R$。事实上，我们有 $pB\leq A$，因此 $IpB\subseteq \langle 0\rangle$，所以

$(\langle 0\rangle :Ip)\geq B>A=(\langle 0\rangle :I)$.

这表明 $p\neq R$，并且 $Ip\subsetneq I$ 与 $I$ 的极小性矛盾。 $\Box$