交换代数/素理想和极大理想及局部环基础

素理想

定义 12.1:

设 $R$ 为环。一个素理想 $p$ 是 $R$ 的一个理想，使得只要 $ab\in p$，则要么 $a\in p$ 或者 $b\in p$。

引理 12.2:

设 $R$ 为环，且 $I\leq R$ 为理想。 $I$ 为素理想当且仅当 $R/I$ 为整环。

证明:

$I$ 为素理想等价于 $ab\in I\Rightarrow a\in I\vee b\in I$。这等价于

$ab+I=0+I\Rightarrow a+I=0+I\vee b+I=0+I$。$\Box$

定理 12.3:

设 $S\subseteq R$ 为乘法封闭集。则存在一个素理想不与 $S$ 相交。

证明:

按集合包含关系对所有不与 $S$ 相交的 $R$ 的理想排序，并取一个链

$I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq \cdots \subseteq I_{k}\subseteq \cdots$

给定。理想

$I:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }I_{k}$

(这是一个理想，因为 $a,b\in I\Rightarrow a\in I_{m},b\in I_{n}\Rightarrow a,b\in I_{\max\{m,n\}}$，因此 $a+b\in I$，$ra\in I$) 是链的上界，因为 $I$ 不能与 $S$ 相交，否则其中一个 $I_{k}$ 将与 $S$ 相交。由于给定的链是任意的，佐恩引理 意味着在所有不与 $S$ 相交的理想中存在一个极大理想。这个理想被称为 $J$；我们证明它是素理想。

令 $ab\in J$，并假设为了矛盾， $a\notin J$ 且 $b\notin J$。然后 $\langle a\rangle +J$，$\langle b\rangle +J$ 是 $J$ 的严格上理想，因此与 $S$ 相交，即，

$s=xa+yj$,

$t=zb+wj'$,

$s,t\in S$, $x,y,z,w\in R$, $j,j'\in J$. 那么 $S\ni st=xzab+yzbj+xawj'+ywjj'\in J$, 矛盾。 $\Box$

投影到商环

在本节中，我们希望确定一个符号。设 $R$ 为环，$I\leq R$ 为理想。 那么我们可以形成商环 $R/I$，它包含 $r+I$ 形式的元素，$r\in R$。 在本书中，我们将使用以下符号来表示典范投影 $r\mapsto r+I$

定义 12.4:

设 $I\leq R$ 为理想。 映射

$\pi _{I}:R\to R/I,\pi _{I}(r):=r+I$

是 $R$ 到 $R/I$ 的典范投影。

极大理想

定义 12.5:

设 $R$ 为一个环。极大理想 $m$ 的 $R$ 是一个不等于整个环的理想，并且不存在真理想 $I\leq R$ 使得 $m\subsetneq I$。

引理 12.6:

理想 $I\leq R$ 为极大理想当且仅当 $R/I$ 为域。

证明:

一个环为域当且仅当其唯一的真理想为零理想。因为，在一个域中，每个非零理想都包含 $1$，如果 $R$ 不是域，则它包含一个非单位元 $a$，然后 $\langle a\rangle$ 不包含 $1$。

由对应定理给出的对应关系，$R/I$ 对应于 $R$，$R/I$ 的零理想对应于 $I$，任何严格介于两者之间的理想对应于一个理想 $K\leq R$ 使得 $I\subsetneq K\subsetneq R$。因此，$R/I$ 为域当且仅当不存在严格包含 $I$ 的真理想。 $\Box$

引理 12.7:

任何极大理想都是素理想。

证明 1:

如果 $R$ 是一个环，$m\leq R$ 是极大的，那么 $R/m$ 是一个域。因此 $R/m$ 是一个整环，因此 $m$ 是素的。$\Box$

证明 2:

设 $m\leq R$ 是极大的。设 $ab\in m$。假设 $a,b\notin m$。那么 $1=ra+sn=tb+uk$ 对于适当的 $n,k\in m$，$r,s,t,u\in R$。但然后 $1=1^{2}=(ra+sn)(tb+uk)=rtab+stbn+rauk+sunk\in m$。$\Box$

定理 12.8:

设 $R$ 是一个环，$I\leq R$ 是一个理想，它不等于整个 $R$。那么存在一个极大的 $m\leq R$ 使得 $I\subseteq m$。

证明:

我们根据包含关系对所有理想 $J$ 的集合进行排序，使得 $I\subseteq J$ 并且 $J\neq R$。设

$J_{1}\subseteq J_{2}\subseteq \cdots \subseteq J_{k}\subseteq \cdots$

是一个理想的链。然后设定

$J:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }J_{k}$.

显然，所有$J_{k}$都包含在$J$中。由于$I\subseteq J_{1}$，$I\subseteq J$。此外，假设$1\in J$。那么$1\in J_{m}$对于某些$m$，矛盾。因此，$J$是一个适当的理想，使得$I\subseteq J$，因此是给定链的上界。由于给定链是任意的，我们可以应用 Zorn 引理来获得关于包含的最大元素的存在性。然后这个理想必须是极大的，因为任何适当的超级理想也包含$I$。$\Box$

引理 12.9:

令$R$为一个环，$I\leq R$。那么通过$\pi _{I}$，$R$中包含$I$的极大理想对应于$R/I$的极大理想。

证明：从对应定理。$\Box$

局部环

定义 12.10:

局部环是一个只有一个极大理想的环。

定理 12.11（局部环的特征）:

令$R$为一个环。以下是等价的

1. $R$ 是一个局部环。
2. 如果 $a+b$ 是一个单位元，则 $a$ 或 $b$ 是一个单位元，其中 $a,b\in R$ 是任意的。
3. 所有非单位元的集合构成一个极大理想。
4. 如果 $r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ 其中 $r_{1}+\cdots +r_{n}$ 是一个单位元，则 $r_{j}$ 中的其中一个是一个单位元。
5. 如果 $r\in R$ 是任意的，则 $r$ 或 $1-r$ 是一个单位元。

证明:

1. $\Rightarrow$ 2.: 假设 $a$ 和 $b$ 都是非单位元。则 $\langle a\rangle$ 和 $\langle b\rangle$ 是 $R$ 的真理想，因此根据定理 12.7，它们包含在 $R$ 的某个极大理想中。但 $R$ 只有一个极大理想 $m$，因此 $a,b\in m$，因此 $a+b\in m$。极大理想不能包含单位元。

2. $\Rightarrow$ 3.: 两个非单位元的和是一个非单位元，如果 $a$ 是一个非单位元，并且 $r\in R$，那么 $ra$ 是一个非单位元（因为如果 $sra=1$，那么 $sr$ 是 $a$ 的逆元）。因此，所有非单位元形成一个理想。$R$ 的任何真理想只包含非单位元，因此这个理想是极大的。

3. $\Rightarrow$ 4.: 假设 $r_{j}$ 全部都是非单位元。由于非单位元形成一个理想，所以 $r_{1}+\cdots +r_{n}$ 包含在非单位元理想中，矛盾。

4. $\Rightarrow$ 5.: 假设 $r$，$1-r$ 是非单位元。那么 $1=r+(1-r)$ 是一个非单位元，矛盾。

5. $\Rightarrow$ 1.: 令 $m,n\leq R$ 为两个不同的最大理想。那么 $m+n=R$，因此 $1=s+t$，$s\in m$，$t\in n$，也就是说，$s=1-t$。$t$ 不是一个单位，所以 $1-t=s$ 是，矛盾。 $\Box$

在素理想上的局部化

在第 9 章中，我们已经看到了如何在乘法封闭子集 $S$ 上对环进行局部化。一个重要的特例是 $S=R\setminus p$，其中 $p$ 是一个素理想。

引理 12.12:

令 $p\leq R$ 为环中的一个素理想。那么 $S:=R\setminus p\subseteq R$ 是乘法封闭的。

证明: 令 $a,b\notin p$。那么 $ab$ 不可能在 $p$ 中，因此 $ab\in S$。 $\Box$

定义 12.13:

令 $p\leq R$ 为环中的一个素理想。设 $S:=R\setminus p$。那么

$R_{p}:=S^{-1}R$

被称为环 $R$ 在素理想 $p$ 处的局部化.

定理 12.14:

设 $R$ 是一个环，$p\leq R$ 是一个素理想。那么 $R_{p}$ 是一个局部环。

证明:

令 $S:=R\setminus p$，则 $R_{p}=S^{-1}R$。令

$m:=\{r/s|r\in p,s\in S\}\subseteq S^{-1}R$.

所有 $m$ 的元素都不是单位，所有 $R_{p}\setminus m$ 的元素形式为 $r'/t$，其中 $r'\notin p$，$t\in S$，因此是单位。进一步，$m$ 是一个理想，因为 $p$ 是一个理想，并且根据 $S^{-1}R$ 的加法和乘法的定义，以及 $S$ 是乘法封闭的。因此 $R_{p}$ 是一个局部环。$\Box$

这最终解释了为什么我们会谈论局部化。