交换代数/阿贝尔范畴内的图示追逐

阿贝尔群的精确序列

定义 4.1 (序列):

给定 $n$ 个阿贝尔群 $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ 和 $n-1$ 个态射（也就是说，因为我们在阿贝尔群的范畴内，是群同态）

$\varphi _{j}:A_{j}\to A_{j+1}$,

我们可以定义所有这些为一个阿贝尔群的序列，并用以下符号表示它

$A_{1}{\overset {\varphi _{1}}{\longrightarrow }}A_{2}{\overset {\varphi _{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {\varphi _{n-2}}{\longrightarrow }}A_{n-1}{\overset {\varphi _{n-1}}{\longrightarrow }}A_{n}$.

注意，如果其中一个对象是平凡群，我们用 $0$ 表示它，并简单地省略指向它和从它发出的箭头的描述，因为平凡群是阿贝尔群范畴中的零对象。

还有无限精确序列，用以下形式的符号表示

$A_{1}{\overset {\varphi _{1}}{\longrightarrow }}A_{2}{\overset {\varphi _{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {\varphi _{n-2}}{\longrightarrow }}A_{n-1}{\overset {\varphi _{n-1}}{\longrightarrow }}A_{n}{\overset {\varphi _{n}}{\longrightarrow }}\cdots$;

它只是不断地进行下去。精确序列是无限的，意味着我们有一个对象序列（在经典意义上），以及另一个这些对象之间态射的经典序列（在这里，两个序列具有相同的基数：可数无限）。

定义 4.2 (精确序列):

给定序列

$A_{1}{\overset {\varphi _{1}}{\longrightarrow }}A_{2}{\overset {\varphi _{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {\varphi _{n-2}}{\longrightarrow }}A_{n-1}{\overset {\varphi _{n-1}}{\longrightarrow }}A_{n}$

称为精确的，当且仅当对于所有 $i$，

$\operatorname {im} \varphi _{i}=\ker \varphi _{i+1}$.

这个概念有一个基本例子。

例 4.3 (短精确序列):

短精确序列只是一个以下形式的精确序列

$0\longrightarrow A{\overset {f}{\longrightarrow }}B{\overset {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$

对于合适的阿贝尔群 $A,B,C$ 和群同态 $f:A\to B,g:B\to C$.

这个序列的精确性意味着，考虑零态射的像和核的形式

1. $f$ 单射
2. $\ker g=\operatorname {im} f$
3. $g$ 满射。

示例 4.4:

令 $A:=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$, $B:=\mathbb {Z} /15\mathbb {Z}$, $C:=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$，其中我们只考虑加法群结构，并定义群同态

$f:A\to B,f(n+3\mathbb {Z} ):=5n+15\mathbb {Z}$ 和 $g:B\to C,g(n+15\mathbb {Z} ):=n+5\mathbb {Z}$.

这给出了一个短精确序列

$0\longrightarrow A{\overset {f}{\longrightarrow }}B{\overset {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$,

这很容易验证。

类似的构造可以对自然数的任何分解 $k=m\cdot j$ 进行（在我们的例子中，$k=15$，$m=3$，$j=5$）。

图示追踪：短五引理

现在，我们想在阿贝尔群的情况下简要地举例说明一种极其重要的证明方法，称为图示追踪。我们稍后想推广这种方法，我们将看到经典的图示引理在极大的普遍性中成立（包括我们下面的例子），即在阿贝尔范畴的普遍性中（将在下面介绍）。

定理 4.5（短五引理）:

假设我们有一个交换图

,

其中两行是精确的。如果 $g$ 和 $h$ 是同构，那么 $f$ 也必须是同构。

证明:

首先，我们证明 $f$ 是单射的。令 $f(b)=0$ 对于某个 $b\in B$ 成立。由于给定的图是交换的，所以有 $0=t(f(b))=h(q(b))$，并且由于 $h$ 是一个同构，所以 $q(b)=0$。由于上行是精确的，因此可以推出 $b\in \operatorname {im} p$，也就是说，$b=p(a)$ 对于某个合适的 $a\in A$ 成立。因此，给定图的交换性意味着 $0=f(b)=f(q(a))=s(g(a))$，因此 $a=0$，因为 $s\circ g$ 作为两个单射映射的复合是单射的。因此，$b=q(a)=q(0)=0$.

接下来，我们证明 $f$ 是满射。因此，令 $b'\in B'$ 为给定。设定 $c':=t(b')$。由于 $h\circ q$ 作为两个满射映射的复合是满射，存在 $b\in B$ 使得 $h(q(b))=c'$。给定图表的交换性得到 $t(f(b))=c'$。因此，根据线性，$t(f(b)-b')=0$，因此 $f(b)-b'\in \ker t=\operatorname {im} s$，并且由于 $g$ 是一个同构，我们发现 $a\in A$ 使得 $s(g(a))=f(b)-b'$。图表的交换性得到 $f(b)-b'=s(g(a))=f(p(a))$，因此 $f(b-p(a))=b'$。$\Box$

加法范畴

定义 4.6:

加法范畴是一个范畴 ${\mathcal {C}}$，满足以下条件

1. $\operatorname {Hom} (a,b)$ 是所有对象 $a,b$ 的 ${\mathcal {C}}$ 中的阿贝尔群。
2. 箭头的合成

$\circ :\operatorname {Hom} (b,c)\times \operatorname {Hom} (a,b)\to \operatorname {Hom} (a,c)$

是双线性；也就是说，对于 $f,f'\in \operatorname {Hom} (b,c)$ 和 $g,g'\in \operatorname {Hom} (b,c)$，我们有

$(f+f')\circ (g+g')=f\circ g+f'\circ g+f\circ g'+f'\circ g'$

（注意，由于没有涉及标量乘法，这个双线性定义比向量空间中的双线性定义要少。）

3. ${\mathcal {C}}$ 有一个零对象。
4. 每对对象 $a,b$ 的 ${\mathcal {C}}$ 都有一个双积 $a\oplus b$.

虽然加法范畴本身很重要，但我们只将它们作为定义阿贝尔范畴的中间步骤。

阿贝尔范畴

定义 4.7:

一个阿贝尔范畴是一个加法范畴 ${\mathcal {C}}$，它还满足以下条件：

1. ${\mathcal {C}}$ 中的每个箭头都有一个核和一个余核，并且
2. ${\mathcal {C}}$ 中的每个单射箭头都是某个箭头的核，每个满射箭头都是某个箭头的余核。

我们现在着手在阿贝尔范畴中获得箭头的规范分解。

引理 4.8:

设 ${\mathcal {C}}$ 是一个具有零对象的范畴，并且所有箭头都有核和余核。则 ${\mathcal {C}}$ 中的每一个箭头 $f$ 都可以分解为

$f=kq$,

其中 $k=\ker(\operatorname {coker} f))$.

证明:

这种分解来自于以下交换图，我们称 $u:=\operatorname {coker} f$ 以及 $k:=\ker(\operatorname {coker} f)$

事实上，由 $k$ 作为核的性质，并且由于 $u\circ f=0$，$f$ 可以唯一地分解为 $k$.$\Box$

在阿贝尔范畴中，$q$ 甚至是一个单射

引理 4.9:

设 ${\mathcal {C}}$ 是一个阿贝尔范畴。如果 $k=\ker(\operatorname {coker} f)$，并且我们有任意分解 $f=kq$，则 $q$ 是一个满射。

证明:

定理 4.10:

设 ${\mathcal {C}}$ 是一个阿贝尔范畴。则 ${\mathcal {C}}$ 中的每一个箭头 $f$ 都可以分解为

$f=me$,

其中 $m=\ker(\operatorname {coker} f)$ 且 $e=\operatorname {coker} (\ker f)$.

阿贝尔范畴中的精确序列

我们首先在一般情况下定义一个态射的像。

定义 4.12:

令 $f$ 是一个（这次是任意的）范畴 ${\mathcal {C}}$ 中的态射。如果存在，一个 $f$ 的余核的核被称为 $f$ 的像。

构造 4.13:

我们现在将在所有余域为某个 $c\in {\mathcal {C}}$ 的态射集合 $P_{c}$ 上构造一个等价关系，其中 ${\mathcal {C}}$ 是一个范畴。我们令

$f\leq g:\Leftrightarrow f=gf'$ 对于一个合适的 $f'$（也就是说，$f$ 通过 $g$ 分解）。

此关系是传递的和自反的。因此，如果我们定义

$f\sim g:\Leftrightarrow f\leq g\wedge g\leq f$,

我们得到了一个等价关系（事实上，通过这种方式，我们总是可以从传递的和自反的二元关系，即预序，构造一个等价关系）。

有了像，我们就可以在一般情况下继续定义序列、精确序列和短精确序列。

定义 4.14:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一个阿贝尔范畴。

定义 4.15:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一个阿贝尔范畴。

定义 4.16:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一个阿贝尔范畴。

阿贝尔范畴中的图示追踪

现在我们来谈谈我们一直在努力的目标。在普通的图示追踪中，我们使用了集合的元素。现在我们将以简单的方式用箭头替换这些元素：我们不再关注某个对象$a$的“元素”"$x\in a$"，而是关注指向该元素的箭头；也就是说，对于阿贝尔范畴${\mathcal {C}}$中的任意对象$d$，箭头$x:d\to a$。对于“箭头$x$的陪域是$a$”，我们写

$x\in _{m}a$,

其中下标$m$代表“成员”。

现在我们用范畴论中的成员概念替换了集合中元素的概念。我们还需要替换两个元素相等的的概念。我们不希望两个箭头相等，因为这样我们就不会得到用于追踪图示的通常规则。相反，我们定义了陪域为$a$（即$a$的成员）的箭头上的另一种等价关系。以下引理将有助于此目的。

引理 4.18（平方完成）:

构造 4.19（第二等价关系）:

现在我们终于能够证明命题，它将使我们能够使用我们应用于阿贝尔群（或模，或任何其他阿贝尔范畴）的图示追踪技术的图示追踪。

定理 4.20（图示追踪启用定理）:

令${\mathcal {C}}$为阿贝尔范畴，$a$为${\mathcal {C}}$中的一个对象。我们有以下关于态射性质的规则

1. $f:a\to b$是单态当且仅当$\forall x\in _{m}a:fx\equiv 0\Rightarrow x\equiv 0$.
2. $f:a\to b$ 是单一同态当且仅当 $\forall x,x'\in _{m}a:fx\equiv fx'$。
3. $f:a\to b$ 是满一同态当且仅当 $\forall y\in _{m}b:\exists x\in _{m}a:fx\equiv y$。
4. $f:a\to b$ 是零态射当且仅当 $\forall x\in _{m}a:fx\equiv 0$。
5. 序列 $a{\overset {f}{\longrightarrow }}b{\overset {g}{\longrightarrow }}c$ 是精确的当且仅当
   1. $gf=0$ 且
   2. 对于每个 $y\in _{m}b$ 满足 $gy\equiv 0$，存在 $x\in _{m}a$ 使得 $fx\equiv y$。
6. 如果 $f:a\to b$ 是一个态射，使得 $fx\equiv fy$，则存在 $a$ 中的元素，我们称之为 $(x-y)$（括号表示这是一个单独的态射），使得
   1. $f(x-y)\equiv 0$
   2. $gx\equiv 0\Rightarrow g(x-y)\equiv -gy$
   3. $hy\equiv 0\Rightarrow h(x-y)\equiv hx$

因此，我们构建了一个相对复杂的机制，以将我们的图表追踪证明技巧（相当丰富）提升到阿贝尔范畴的抽象层次。

图表引理的例子

定理 4.21（长五引理）:

定理 4.22（蛇形引理）: