交换代数/分数，湮灭子

环内的分数

定义 9.1:

设 $R$ 为交换环，设 $S\subseteq R$ 为任意子集。 $S$ 称为乘法封闭当且仅当满足以下两个条件

1. $1\in S$
2. $a,b\in S\Rightarrow ab\in S$

定义 9.2:

设 $R$ 为环，设 $S\subseteq R$ 为乘法封闭子集。定义

$S^{-1}R:=\{r/s|r\in R,s\in S\}/\sim _{S}$,

其中等价关系 $\sim _{S}$ 定义为

$r/s\sim _{S}u/t:\Leftrightarrow \exists i\in S:i(rt-su)=0$.

赋予其加法

$r/s+u/t:=(rt+us){\big /}st$

和乘法

$r/s\cdot u/t:=(ru){\big /}st$.

以下两个引理确保一切都定义正确。

引理 9.3:

$\sim _{S}$ 是等价关系。

证明:

对于自反性和对称性，没有发生什么有趣的事情。对于传递性，有一个小小的变化。假设

$r/s\sim _{S}u/t$ 和 $u/t\sim _{S}v/w$.

那么存在 $i,j\in S$ 使得

$i(rt-su)=0$ 以及 $j(uw-tv)=0$.

但在此情况下，我们有

$ijt(rw-vs)=ij(rwt-vst)=ij(rwt-suw+suw-vst)=0$;

注意 $ijt\in S$，因为 $S$ 在乘法下封闭。 $\Box$

引理 9.4:

上面给出的加法和乘法将 $S^{-1}R$ 变为一个环。

证明:

我们只证明定义良好性；其他规则遵循定义和直接计算。

因此，设 $r/s\sim _{S}u/t$ 以及 $a/p\sim _{S}b/q$.

因此，我们有 $i(rt-su)=0$ 以及 $j(aq-bp)=0$ 对于合适的 $i,j\in S$.

我们想要

$(rp+as){\big /}sp=(uq+bt){\big /}tq$

以及

$ra{\big /}sp=ub{\big /}tq$.

这些转化为

$x((rp+as)tq-(uq+bt)sp)=0$

以及

$y(ratq-ubsp)=0$

对于合适的 $x,y\in S$。通过选择 $x=y=ij$ 并观察，我们得到了想要的结果

$ij(ratq-ubsp)=ij(ratq-sauq+sauq-ubsp)=0$

以及

$ij((rp+as)tq-(uq+bt)sp)=ij(rptq+astq-uqsp-btsp)=0$.$\Box$

请注意，我们在这里大量使用了交换律。

定理 9.5（增广的性质）:

令 $R$ 为环，$S\subseteq R$ 为乘法封闭的。设

$\pi _{S}:R\mapsto S^{-1}(R),\pi _{S}(r):=r/1$,

为投影态射。那么

1. $s\in S\Rightarrow \pi _{S}(s)$ 为一个单位元。
2. $\pi _{S}(r)=0\Rightarrow rs=0$ 对于某个 $s\in S$ 成立。
3. $S^{-1}R$ 中的每个元素都具有 $\pi _{S}(r)\pi _{S}(s)^{-1}$ 的形式，其中 $r\in R$，$s\in S$ 是合适的。
4. 令 $I,J\leq R$ 为理想。那么 $S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}(I\cdot J)$，其中

$S^{-1}I:=\{i/s|i\in I,s\in S\}$.

1. 令$I\leq R$ 为一个理想。如果$S\cap I\neq \emptyset$，则$\pi _{S}(I)=S^{-1}R$。

我们将在讨论模块时看到更多类似于 4 的性质，但由于模块中可能没有两个模块元素的乘积，因此我们无法用完全通用的方式来表达它。

证明:

1.:

如果$s\in S$，则$S^{-1}R$ 的乘法规则表明$1/s$ 是$\pi _{S}(s)=s/1$ 的逆。

2.:

假设$r/1=0=0/1$。则存在$s\in S$ 使得$s(r-0)=sr=0$。

3.:

令$r/s$ 为$S^{-1}R$ 的任意元素。则$r/s=r/1\cdot 1/s=\pi _{S}(r)\pi _{S}(s)^{-1}$。

4.

${\begin{aligned}r/s\in S^{-1}(I\cdot J)&\Leftrightarrow r/s=ij/t,i\in I,j\in J,t\in S\\&\Leftrightarrow r/s=(i/t)(j/1),i\in I,j\in J,t\in S\\&\Leftrightarrow r/s\in S^{-1}I\cdot S^{-1}J\end{aligned}}$

5.

令 $I\cap S\neq \emptyset$，也就是说，$s\in S\cap I$。那么 $\pi _{S}(s)\in \pi _{S}(I)$，其中 $\pi _{S}(s)$ 是 $S^{-1}R$ 中的一个单位。此外，$\pi _{S}(I)$ 是 $S^{-1}R$ 中的理想，因为 $\pi _{S}$ 是一个态射。因此，$\pi _{S}(I)=S^{-1}R$。$\Box$

定理 9.6（泛性质）:

令 $R$ 为一个环，$S\subseteq R$ 为一个乘法封闭集，令 $T$ 为另一个环，令

$f:R\to T$

为一个态射，使得对所有 $s\in S$，$f(s)\in T^{\times }$。那么存在唯一的态射

$g:S^{-1}R\to T$

使得

$f=g\circ \pi _{S}$.

证明:

我们首先证明唯一性。假设存在另一个这样的态射 $g'$。那么我们会有

$g'(r/s)=g'(r/1)g'(s/1)^{-1}=f(r)f^{-1}=g(r/1)g(s/1)^{-1}$.

然后我们证明存在性; 我们声称

$g(r/s):=f(r)(f(s))^{-1}$

定义了所需的态射。

首先，我们展示良定义性。

首先，$f(s)^{-1}$ 对$s\in S$ 存在。

其次，令$r/s\sim _{S}u/t$，即$i(rt-su)=0$。 那么

${\begin{aligned}g(r/s)&=g(itr/its)\\&=f(itr)(f(its))^{-1}\\&=f(isu)(f(its))^{-1}\\&=g(isu/its)=g(u/t).\end{aligned}}$

该态射的乘法性在视觉上很明显（使用$f\circ \pi _{S}$ 是一个态射和交换性）；加法性证明如下

${\begin{aligned}g(r/s+u/t)&=g\left((rt+su){\big /}st\right)\\&=f(rt+su)(f(st))^{-1}\\&=f(rt)(f(st))^{-1}+f(su)(f(st))^{-1}\\&=g(r/s)+g(u/t).\end{aligned}}$

很明显，该单元映射到该单元。 $\Box$

定理 9.7:

范畴论语境

模中的分数

定义 9.8:

令 $R$ 为环，$S\subseteq R$ 为 $R$ 的乘法子集，$M$ 为 $R$-模。令 $S^{-1}R$ 为环 $R$ 添加了 $S$ 的逆元。我们定义 $S^{-1}R$-模 $S^{-1}M$ 如下所示

$S^{-1}M:=\left\{m/s{\big |}m\in M\right\}/\sim _{S}$（形式分数），

其中再次

$m/s\sim _{S}n/t:\Leftrightarrow \exists u\in S:u(tm-sn)=0$,

加法为

$m/s+n/t:=(tm+sn)/st$

模运算为

$r/s~~m/t:=rm/st$.

注意，将此结构应用于环 $R$，它本身是典型的 $R$-模，我们得到的只是 $S^{-1}R$，它本身是典型的 $S^{-1}R$-模，因为乘法和加法是重合的。因此，这里有一个概括！

一切都定义良好，这一点与上一节中的情况完全相同；证明逐字地适用。

定理 9.9（扩充模的性质）:

设 $M$ 是一个 $R$-模，设 $S\subseteq M$ 是 $R$ 的一个乘法封闭子集，设 $N,K\leq M$ 是子模。那么

1. $S^{-1}(N+K)=S^{-1}N+S^{-1}K$,
2. $S^{-1}(N\cap K)=S^{-1}N\cap S^{-1}K$，并且
3. $S^{-1}(M/N)\cong (S^{-1}M)/(S^{-1}N)$;

在前面两个等式中，所有模被视为 $S^{-1}M$ 的子模（如上所述，类似于 $S^{-1}I$），在第三个同构关系中，这些模被视为独立的 $S^{-1}R$-模。

证明:

1.

${\begin{aligned}m/s\in S^{-1}(N+K)&\Leftrightarrow m/s=(n+k)/t,t\in S,n\in N,k\in K\\&\Leftrightarrow m/s=n/t+k/t,t\in S,n\in N,k\in K\\&\Leftrightarrow m/s\in S^{-1}N+S^{-1}K;\end{aligned}}$

注意，为了从第三行回到第二行，我们使用子模对 $R$ 的元素的乘法封闭性来使分母相同，从而得到合适的 $t\in S$（$S$ 对乘法封闭）。

2.

${\begin{aligned}m/s\in S^{-1}(N\cap K)&\Leftrightarrow m/s=l/t,t\in S,l\in N\cap K\\&\Leftrightarrow m/s=n/u=k/v,u,v\in S,n\in N,k\in K\\&\Leftrightarrow m/s\in S^{-1}N\cap S^{-1}K;\end{aligned}}$

从第二行到第一行，我们注意到 $n/u=k/v\Leftrightarrow w(vn-uk)=0$ 对于一个合适的 $w\in S$，特别地，例如

$m/s=wvn/wvu$,

其中 $wvn=wuk\in N\cap K$.

3.

我们设置

$\varphi :S^{-1}(M/N)\to (S^{-1}M)/(S^{-1}N),\varphi ((m+N)/s):=m/s+S^{-1}N$

并证明这是一个同构。

首先，我们证明其定义良好。事实上，如果 $m+N=m'+N$，那么 $m-m'\in N$，因此 $(m-m')/s\in S^{-1}N$ 并且因此 $m/s+S^{-1}N=m'/s+S^{-1}N$.

然后我们证明满射。设 $m/s+S^{-1}N$ 给定。那么显然 $(m+N)/s$ 被映射到该元素。

然后我们证明单射性。假设 $m/s\in S^{-1}N$。那么 $m/s=n/t$，其中 $n\in N$ 且 $t\in S$，也就是说 $u(tm-sn)=0$，对于适当的 $u\in S$。那么 $utm\in N$，因此 $(m+N)/s=(utm+N)/uts=0$。$\Box$

定理 9.10:

张量积和分数相关的函子

定理 9.11:

令 $M,N$ 为 $R$-模，且 $S\subseteq R$ 为乘法闭集。那么

$S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N\cong S^{-1}(M\otimes _{R}N)$.

证明:

练习

• 练习 9.2.1：令 $M,N$ 为 $R$-模，且 $I\leq R$ 为理想。证明 $IM:=\{im|i\in I,m\in M\}$ 是 $M$ 的子模，且 $(M\otimes _{R}N)/I(M\otimes _{R}N)\cong (M/I)\otimes _{R/I}(N/I)$（此练习旨在练习定理 9.11 中使用的证明技术）。

零化子，忠实性

定义 9.12:

设 $R$ 是一个环，$M$ 是 $R$ 上的一个模，$S\subseteq M$ 是任意子集。那么 $S$ 关于 $M$ 的 **零化子** 定义为集合

${\text{Ann}}_{R}(S):=\{r\in R|\forall s\in S:rs=0\}$.

定理 9.13:

设 $R$ 是一个环，$M$ 是 $R$ 上的一个模，$S\subseteq M$ 是任意子集。那么 ${\text{Ann}}_{R}(S)$ 是 $R$ 的一个理想。

证明:

设 $a,b\in {\text{Ann}}_{R}(S)$ 且 $r\in R$。则对于所有 $s\in S$，$(ra-b)s=r(as)-bs=0$。因此由引理 5.3 可知该定理成立。$\Box$

定义 9.14:

如果 ${\text{Ann}}_{R}M=\{0\}$，则称 $R$-模 $M$ 为忠实模。

定理 9.15:

设 $R$ 为一个环，则 $R$ 作为自身上的 $R$ 模是忠实的。

证明：设 $s\in R$ 使得 $\forall r\in R:rs=0$。特别地，$s1=0$。$\Box$

定理 9.16:

设 $M$ 为 $R$-模，$S\subseteq M$ 为任意子集。设 $\langle S\rangle =:N\leq M$ 为 $M$ 由 $S$ 生成的子模。则 ${\text{Ann}}_{R}S={\text{Ann}}_{R}N$。

证明:

根据定义，显然 ${\text{Ann}}_{R}N\subseteq {\text{Ann}}_{R}S$，因为使 $N$ 中所有元素都变为零的条件比仅使 $S$ 中所有元素都变为零的条件更强。

现在令 $t\in {\text{Ann}}_{R}S$ 且 $x_{1}s_{1}+\cdots x_{n}s_{n}\in N$，其中 $x_{j}\in R$ 且 $s_{j}\in S$。那么 $t(x_{1}s_{1}+\cdots x_{n}s_{n})=x_{1}ts_{1}+\cdots x_{n}ts_{n}=0+0+\cdots +0=0$。$\Box$

局部性质

定义 9.17:

令 $M$ 为 $R$-模（其中 $R$ 是一个环），并令 $p\leq R$ 为素理想。那么 $M$ 关于 $p$ 的 **局部化**，记为

$M_{p}$,

定义为 $S^{-1}M$，其中 $S:=R\setminus p$；注意 $S$ 是乘法封闭的，因为 $p$ 是素理想。

定义 9.18:

模可以拥有的性质（例如等于零）被称为 **局部-全局性质**，当且仅当以下等价

1. $M$ 具有性质 (*)。
2. $S^{-1}M$ 对于所有乘法封闭的 $S\subseteq R$ 具有性质 (*)。
3. $M_{p}$ 对于所有素理想 $p\leq R$ 具有性质 (*)。
4. $M_{m}$ 对于所有极大理想 $m\leq R$ 具有性质 (*)。

定理 9.19:

等于零是一个局部-全局性质。

证明:

我们根据定义 9.12 检查 1. - 4. 的等价性。显然，4. $\Rightarrow$ 1. 就足够了。

假设 $N$ 是一个非零模，即我们有 $n\in N$ 使得 $n\neq 0$。根据定理 9.11，$\operatorname {Ann} _{R}(n):=\operatorname {Ann} _{R}(\{n\})$ 是 $R$ 的一个理想。因此，它包含在 $R$ 的某个极大理想中，称为 $m$（不幸的是，我们必须参考后面的章节，因为我们希望分别处理不同的代数对象。所需的定理是定理 12.2）。然后对于 $s\in R\setminus m$ 我们有 $sn\neq 0$ 因此 $n/1\neq 0/1$ 在 $M_{m}$ 中。$\Box$

以下定理并没有真正描述局部-全局性质，但它们当然很相似，也许与那些性质相关。

定理 9.20:

如果 $f:M\to N$ 是一个态射，则以下等价

1. $f:M\to N$ 满射。
2. $f_{S}:S^{-1}M\to S^{-1}N$ 对所有$S\subseteq R$ 乘法封闭的都是满射。
3. $f_{p}:M_{p}\to N_{p}$ 对所有$p\leq R$ 素数都是满射。
4. $f_{m}:M_{m}\to N_{m}$ 对所有$m\leq R$ 极大理想都是满射。

证明: