定义 9.2:
设
为环,设
为乘法封闭子集。定义
,
其中等价关系
定义为
.
赋予其加法

和乘法
.
以下两个引理确保一切都定义正确。
引理 9.3:
是等价关系。
证明:
对于自反性和对称性,没有发生什么有趣的事情。对于传递性,有一个小小的变化。假设
和
.
那么存在
使得
以及
.
但在此情况下,我们有
;
注意
,因为
在乘法下封闭。 
引理 9.4:
上面给出的加法和乘法将
变为一个环。
证明:
我们只证明定义良好性;其他规则遵循定义和直接计算。
因此,设
以及
.
因此,我们有
以及
对于合适的
.
我们想要

以及
.
这些转化为

以及

对于合适的
。通过选择
并观察,我们得到了想要的结果

以及
.
请注意,我们在这里大量使用了交换律。
我们将在讨论模块时看到更多类似于 4 的性质,但由于模块中可能没有两个模块元素的乘积,因此我们无法用完全通用的方式来表达它。
证明:
1.:
如果
,则
的乘法规则表明
是
的逆。
2.:
假设
。则存在
使得
。
3.:
令
为
的任意元素。则
。
4.

5.
令
,也就是说,
。那么
,其中
是
中的一个单位。此外,
是
中的理想,因为
是一个态射。因此,
。
证明:
我们首先证明唯一性。假设存在另一个这样的态射
。那么我们会有
.
然后我们证明存在性; 我们声称

定义了所需的态射。
首先,我们展示良定义性。
首先,
对
存在。
其次,令
,即
。 那么

该态射的乘法性在视觉上很明显(使用
是一个态射和交换性);加法性证明如下

很明显,该单元映射到该单元。 
定理 9.7:
范畴论语境
注意,将此结构应用于环
,它本身是典型的
-模,我们得到的只是
,它本身是典型的
-模,因为乘法和加法是重合的。因此,这里有一个概括!
一切都定义良好,这一点与上一节中的情况完全相同;证明逐字地适用。
证明:
1.

注意,为了从第三行回到第二行,我们使用子模对
的元素的乘法封闭性来使分母相同,从而得到合适的
(
对乘法封闭)。
2.

从第二行到第一行,我们注意到
对于一个合适的
,特别地,例如
,
其中
.
3.
我们设置

并证明这是一个同构。
首先,我们证明其定义良好。事实上,如果
,那么
,因此
并且因此
.
然后我们证明满射。设
给定。那么显然
被映射到该元素。
然后我们证明单射性。假设
。那么
,其中
且
,也就是说
,对于适当的
。那么
,因此
。
证明:
- 练习 9.2.1:令
为
-模,且
为理想。证明
是
的子模,且
(此练习旨在练习定理 9.11 中使用的证明技术)。
证明:
设
且
。则对于所有
,
。因此由引理 5.3 可知该定理成立。
定义 9.14:
如果
,则称
-模
为忠实模。
定理 9.15:
设
为一个环,则
作为自身上的
模是忠实的。
证明:设
使得
。特别地,
。
证明:
根据定义,显然
,因为使
中所有元素都变为零的条件比仅使
中所有元素都变为零的条件更强。
现在令
且
,其中
且
。那么
。
定义 9.17:
令
为
-模(其中
是一个环),并令
为素理想。那么
关于
的 **局部化**,记为
,
定义为
,其中
;注意
是乘法封闭的,因为
是素理想。
定理 9.19:
等于零是一个局部-全局性质。
证明:
我们根据定义 9.12 检查 1. - 4. 的等价性。显然,4.
1. 就足够了。
假设
是一个非零模,即我们有
使得
。根据定理 9.11,
是
的一个理想。因此,它包含在
的某个极大理想中,称为
(不幸的是,我们必须参考后面的章节,因为我们希望分别处理不同的代数对象。所需的定理是定理 12.2)。然后对于
我们有
因此
在
中。
以下定理并没有真正描述局部-全局性质,但它们当然很相似,也许与那些性质相关。
定理 9.20:
如果
是一个态射,则以下等价
满射。
对所有
乘法封闭的都是满射。
对所有
素数都是满射。
对所有
极大理想都是满射。
证明: