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交换代数/分数、零化子、商理想

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两个理想的商

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定义 19.1:

为一个环,并令 为理想。那么商理想 (也可以写成 )被定义为

.

我们注意到一些性质

定理 19.2(商理想的性质):

为一个环,并令 为理想。

  1. 并且,更一般地,

第 1 和 2 点使将这些理想称为“商”成为可能,而第 3 和 4 点则较不明显(尽管当在分母中添加元素或缩小分子时,理想仍然变小)。

证明:

1.

2.

3.

其中中间等价关系成立,因为 是包含 的最小理想,因此包含在任何包含后两个理想的理想中。

4.

定义 19.3:

的情况下,我们写

对于 .

  • 练习 19.1.1: 证明对于环 和任何理想 .
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