交换代数/分数、零化子、商理想
外观
定义 19.1:
令 为一个环,并令 为理想。那么商理想 (也可以写成 )被定义为
- .
我们注意到一些性质
定理 19.2(商理想的性质):
令 为一个环,并令 为理想。
- 并且,更一般地,
第 1 和 2 点使将这些理想称为“商”成为可能,而第 3 和 4 点则较不明显(尽管当在分母中添加元素或缩小分子时,理想仍然变小)。
证明:
1.
2.
3.
其中中间等价关系成立,因为 是包含 和 的最小理想,因此包含在任何包含后两个理想的理想中。
4.
定义 19.3:
在 是 的情况下,我们写
对于 .
- 练习 19.1.1: 证明对于环 和任何理想 , 和 .