交换代数/生成元和链条件

生成元

定义 6.1（模的生成元）:

设 $M$ 是环 $R$ 上的一个模。 $M$ 的一个**生成集**是 $\{m_{j}\}_{j\in J}\subseteq M$ ，使得

\forall n\in M:\exists j_{1},\ldots ,j_{k}\in J,r_{1},\ldots ,r_{k}\in R:n=\sum _{l=1}^{k}r_{l}m_{j_{l}}

.

示例 6.2:

对于每个模 $M$ ，整个模本身就是一个生成集。

定义 6.3:

设 $M$ 是一个模。 $M$ 被称为**有限生成**，如果存在 $M$ 的一个生成集，其基数是有限的。

**示例 6.4**：每个环 $R$ 都是一个有限生成的 $R$ -模，生成集由 $\{1_{R}\}$ 给出。

定义 6.5（生成的子模）:

练习

诺特模和阿廷模

定义 6.6（诺特模）:

设 $M$ 是环 $R$ 上的一个模。 $M$ 被称为**诺特模**当且仅当对于所有升链的子模

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq N_{3}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq \cdots

的 $M$ ，存在一个 $l\in \mathbb {N}$ 使得

\forall k\geq l:N_{k}=N_{l}

.

我们也说子模的上升链最终会变得稳定。

定义 6.7（Artinian 模块）:

一个在环 $R$ 上的模 $M$ 被称为Artinian 模块，当且仅当对于每个子模的下降链

N_{1}\supseteq N_{2}\supseteq N_{3}\supseteq \cdots \supseteq N_{k}\supseteq \cdots

的 $M$ ，存在一个 $l\in \mathbb {N}$ 使得

\forall k\geq l:N_{k}=N_{l}

.

我们也说子模的下降链最终会变得稳定。

我们可以看到这些定义是相似的，尽管它们定义了一些不同的对象。

使用选择公理，我们对 Noetherian 模块有以下刻画

定理 6.8:

令 $M$ 是在 $R$ 上的模。以下等价

$M$ 是 Noetherian。
$M$ 的所有子模都是有限生成的。
$M$ 的所有子模的非空集都有一个最大元素。

证明 1:

我们证明 1. $\Rightarrow$ 2. $\Rightarrow$ 3. $\Rightarrow$ 1.

1. $\Rightarrow$ 2.: 假设存在 $M$ 的一个子模 $N$ ，它不是有限生成的。使用依赖选择公理，我们选择一个在 $N$ 中的序列 $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 使得

\forall k\in \mathbb {N} :\langle n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle \subsetneq \langle n_{1},\ldots ,n_{k+1}\rangle

;

由于 $N$ 不是有限生成的，因此我们可以始终选择 $n_{k+1}\in N\setminus \langle n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle$ ，从而找到这样的序列。因此，我们有以下子模的递增序列

\langle n_{1}\rangle \subsetneq \langle n_{1},n_{2}\rangle \subsetneq \cdots \subsetneq \langle n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle \subsetneq \langle n_{1},\ldots ,n_{k+1}\rangle \subsetneq \cdots

它不会稳定。

2. $\Rightarrow$ 3.: 令 ${\mathcal {M}}$ 是 $M$ 的子模的非空集。根据佐恩引理，我们只需证明 ${\mathcal {N}}$ 中的每个链都有一个上界（当然，我们的偏序关系是集合包含，即 $N_{1}\leq N_{2}:\Leftrightarrow N_{1}\subseteq N_{2}$ ）。因此，令 ${\mathcal {N}}$ 是 ${\mathcal {M}}$ 中的链。我们写

{\mathcal {N}}=\left(N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \right)=\left(\langle n_{1},\ldots ,n_{k_{1}}\rangle \subseteq \langle n_{1},\ldots ,n_{k_{1}},n_{k_{1}+1},\ldots ,n_{k_{2}}\rangle \subseteq \cdots \right)

.

由于每个子模都是有限生成的，因此

\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k},n_{k+1},\ldots \rangle =\langle m_{1},\ldots ,m_{l}\rangle

.

我们写 $m_{j}=\sum _{u\in \mathbb {N} }r_{u}n_{u}$ ，其中只有有限个 $r_{u}$ 不为零。因此，我们有

\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k},n_{k+1},\ldots \rangle =\langle n_{u_{1}},\ldots ,n_{u_{r}}\rangle

对于适当选择的 $u_{1},\ldots ,u_{r}$ 。现在每个 $u_{i}$ 最终都包含在某个 $N_{j}$ 中。由于 $N_{j}$ 是关于包含的升序序列，我们可以选择足够大的 $j$ 使所有 $u_{i}$ 都包含在 $N_{j}$ 中。因此， $N_{j}$ 是我们想要的上限。

3. $\Rightarrow$ 1.: 设

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

构成 $M$ 的子模的上升链。集合 $\{N_{j}|j\in \mathbb {N} \}$ 有一个最大元素 $N_{l}$ ，因此此上升链在 $l$ 处变为固定。 $\Box$

证明 2:

我们证明 1. $\Rightarrow$ 3. $\Rightarrow$ 2. $\Rightarrow$ 1.

1. $\Rightarrow$ 3.: 令 ${\mathcal {N}}$ 是 $M$ 的子模的集合，它没有最大元素。然后根据依赖选择公理，对于每个 $N\in {\mathcal {N}}$ ，我们可以选择 $N'\in {\mathcal {N}}$ 使得 $N\subsetneq N'$ （否则， $N$ 将是最大的）。因此，利用依赖选择公理，并从一个完全任意的 $N_{1}\in {\mathcal {N}}$ 开始，我们找到一个上升序列

N_{1}\subsetneq N_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{k}\subsetneq N_{k+1}\subsetneq \cdots

它不会稳定。

3. $\Rightarrow$ 2.: 令 $N\leq M$ 不是有限生成的。使用依赖选择公理，我们首先选择一个任意的 $x_{1}\in N$ ，并且给定 $x_{1},\ldots ,x_{k}$ ，我们选择 $x_{k+1}$ 在 $N\setminus \langle x_{1},\ldots ,x_{k}\rangle$ 中。那么子模的集合

\{\langle x_{1},\ldots ,x_{k}\rangle {\big |}k\in \mathbb {N} \}

没有最大元，虽然它是非空的。

2. $\Rightarrow$ 1.: 令

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

是 $M$ 的子模的上升链。由于它们是有限生成的，我们有

\left(N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \right)=\left(\langle n_{1},\ldots ,n_{k_{1}}\rangle \subseteq \langle n_{1},\ldots ,n_{k_{1}},n_{k_{1}+1},\ldots ,n_{k_{2}}\rangle \subseteq \cdots \right)

对于适当的 $(k_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ 和 $(n_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ 。由于每个子模都是有限生成的，所以也是

\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k},n_{k+1},\ldots \rangle =\langle m_{1},\ldots ,m_{l}\rangle

.

我们写 $m_{j}=\sum _{u\in \mathbb {N} }r_{u}n_{u}$ ，其中只有有限个 $r_{u}$ 不为零。因此，我们有

\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k},n_{k+1},\ldots \rangle =\langle n_{u_{1}},\ldots ,n_{u_{r}}\rangle

对于适当选择的 $u_{1},\ldots ,u_{r}$ 。现在每个 $u_{i}$ 最终包含在某个 $N_{j}$ 中。因此，如果 $l$ 被选为这些 $j$ 的最大值，则该链在 $l$ 处稳定。 $\Box$

第二个证明可能更有优势，因为它没有使用 Zorn 引理，而 Zorn 引理需要完全选择公理。

我们可以用以下方式描述 Noetherian 模和 Artinian 模

定理 6.9:

令 $M$ 是环 $R$ 上的模，并令 $N\leq M$ 。则以下等价

$M$ 是 Noetherian。
$N$ 和 $M/N$ 是 Noetherian 模。

证明 1:

我们直接证明定理。

1. $\Rightarrow$ 2.: $N$ 是 Noetherian 模，因为任何 $N$ 的子模的上升序列

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

也是 $M$ 的子模序列（检查子模性质），因此最终会变得稳定。

$M/N$ 是 Noetherian 模，因为如果

M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots \subseteq M_{k}\subseteq M_{k+1}\subseteq \cdots

是 $M/N$ 的子模序列，我们可以写成

M_{k}=N_{k}/N

,

其中 $N_{k}:=\{m+n|m+N\in M_{k},n\in N\}$ 。实际上，" $\subseteq$ " 来自 $m+N\in M_{k}\Rightarrow m+0+N\in N_{k}/N$ ，而 " $\supseteq$ " 来自

l+N\in N_{k}/N\Rightarrow \exists m+N\in M_{k},n,n'\in N:l=m+n+n'\Rightarrow l+N=m+N\in M_{k}

.

此外， $N_{k}$ 是 $M$ 的子模，如下所示

$l,l'\in N_{k}\Rightarrow \exists m+N,m'+N\in M_{k},n,n'\in N:l=m+n,l'=m'+n'\Rightarrow (m+m')+(n+n')=l+l'\in N_{k}$ ，因为 $m+m'+N\in M_{k}$ 并且 $n+n'\in N$ ，
$l\in N_{k}\Rightarrow \exists m+N\in M_{k},n\in N:l=m+n\Rightarrow al\in N_{k}$ ，因为 $a(m+N)\in M_{k}$ 并且 $an\in N$ 。

现在，对于每个 $k\in \mathbb {N}$ $N_{k}\subseteq N_{k+1}$ ，正如从 $N_{k}$ 的定义中可以看出，观察到 $m+N\in M_{k},n\in N\Rightarrow m+N\in M_{k+1},n\in N$ 。因此，该序列

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

在某个 $j\in \mathbb {N}$ 处变为稳定。但如果 $N_{k}=N_{k+1}$ ，那么 $M_{k}=M_{k+1}$ 也是如此，因为

m+N\in M_{k+1}\Rightarrow m\in N_{k+1}\Rightarrow m\in N_{k}\Rightarrow m=m'+n,m'\in M_{k},n\in N\Rightarrow m+N=m'+N\in M_{k}

.

因此，

M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots \subseteq M_{k}\subseteq M_{k+1}\subseteq \cdots

也变为稳定。

2. $\Rightarrow$ 1.: 令

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

是一个 $M$ 的子模上升序列。那么

N\cap N_{1}\subseteq N\cap N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N\cap N_{k}\subseteq N\cap N_{k+1}\subseteq \cdots

是一个 $N$ 的子模上升序列，由于 $N$ 是 Noetherian 的，此序列在某个 $l\in \mathbb {N}$ 处稳定。此外，该序列

N_{1}/N\subseteq N_{2}/N\subseteq \cdots \subseteq N_{k}/N\subseteq N_{k+1}/N\subseteq \cdots

是一个 $M/N$ 的子模的递增序列，它也稳定（在 $j\in \mathbb {N}$ ，比如说）。设 $N:=\max\{l,j\}$ ，并令 $k\geq N$ 。令 $n\in N_{k+1}$ 。那么 $n+N\in N_{k+1}/N$ ，因此 $n+N\in N_{k}/N$ ，也就是说 $n=m+n'$ ，其中 $m\in N_{k}$ 且 $n'\in N$ 。现在 $n'=n-m\in N_{k+1}$ ，因此 $n'\in N_{k+1}\cap N=N_{k}\cap N$ 。因此 $n\in N_{k}$ 。因此，

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

在 $N$ 之后稳定。 $\Box$

证明 2:

我们使用投影同态到因子模来证明这个结论。

1. $\Rightarrow$ 2.: $N$ 是诺特环，如第一个证明中所示。设

M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots \subseteq M_{k}\subseteq M_{k+1}\subseteq \cdots

是 $M/N$ 的子模序列。如果 $\pi :M\to M/N$ 是投影同态，那么

N_{k}:=\pi ^{-1}(M_{k})

定义了 $M$ 的一个递增子模序列，因为 $\pi ^{-1}$ 保持包含关系（因为 $\pi$ 是一个函数）。现在，由于 $M$ 是 Noetherian 模，这个序列会稳定下来。因此，由于 $\pi$ 也保持包含关系，序列

M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots =\pi (\pi ^{-1}(M_{1}))\subseteq \pi (\pi ^{-1}(M_{2}))\subseteq \cdots =\pi (N_{1})\subseteq \pi (N_{2})\subseteq \cdots

也会稳定下来（ $\pi (\pi ^{-1}(M_{k}))=M_{k}$ 因为 $\pi$ 是满射的）。

2. $\Rightarrow$ 1.: 令

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

是 $M$ 的一个递增子模序列。那么序列

\pi (N_{1})\subseteq \pi (N_{2})\subseteq \cdots

和

N\cap N_{1}\subseteq N\cap N_{2}\subseteq \cdots

两者都稳定，因为 $M/N$ 和 $N$ 是 Noetherian 模块。现在 $\pi ^{-1}(\pi (N_{k}))=N_{k}+N$ ，因为 $\pi (m)\in \pi (N_{k})\Leftrightarrow m=n'+n,n'\in N_{k},n\in N$ 。因此，

N_{1}+N\subseteq N_{2}+N\subseteq \cdots \subseteq N_{k}+N\subseteq N_{k+1}+N\subseteq \cdots

稳定。但因为 $N_{k}=N_{k+1}\Leftrightarrow N_{k}\cap N=N_{k+1}\cap N\wedge N_{k}+N=N_{k+1}+N$ ，该定理得证。 $\Box$

证明 3:

我们使用 Noetherian 模块的特征，即其子模块是有限生成的。

1. $\Rightarrow$ 2.: 令 $K\leq N$ 。那么 $K\leq M$ ，因此 $K$ 是有限生成的。令 $J\leq M/N$ 。那么模块 $\pi _{N}^{-1}(J)$ 是有限生成的，其生成元为 $g_{1},\ldots ,g_{n}$ ，假设如此。那么集合 $\pi _{N}(g_{1}),\ldots ,\pi _{N}(g_{n})$ 生成 $J$ ，因为 $\pi _{N}$ 是满射且线性的。

2. $\Rightarrow$ 1.: 现在令 $K\leq M$ 。那么 $J:=K\cap N$ 是有限生成的，因为它也是 $N$ 的子模。此外，

L:=\{k+N|k\in K\}

是有限生成的，因为它是一个子模 $M/N$ 的子模。设 $\{k_{1}+N,\ldots ,k_{n}+N\}$ 为 $L$ 的一个生成集。此外，令 $S$ 为 $J$ 的一个有限生成集，并设 $S':=\{k_{1},\ldots ,k_{n}\}$ 。设 $k\in K$ 为任意元素。则 $k+N\in L$ ，因此 $k+N=\sum _{j=1}^{n}r_{j}k_{j}+N$ （适当的 $r_{j}\in R$ ），因此 $k=\sum _{j=1}^{n}r_{j}k_{j}+n$ ，其中 $n\in N$ ；我们甚至有 $n\in J$ ，因为 $n=k-\sum _{j=1}^{n}r_{j}k_{j}\in K$ ，因此我们可以将其写成 $S$ 中元素的线性组合。 $\Box$

证明 4:

我们使用 Noetherian 模的特征来证明，即 Noetherian 模的子模集具有极大元素。

1. $\Rightarrow$ 2.: 如果 $\{K_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 是 $N$ 的子模族，它也是 $M$ 的子模族，因此包含极大元素。

如果 $\{J_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 是 $M/N$ 的子模族，那么 $\{\pi _{N}^{-1}(J_{\alpha })\}_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的子模族，它有一个最大元素 $\pi _{N}^{-1}(J_{\beta })$ 。由于 $\pi _{N}$ 保持包含关系，并且对于所有 $J\leq M/N$ 有 $\pi _{N}(\pi _{N}^{-1}(J))$ ，因此 $J_{\beta }$ 在 $\{J_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 中是最大的。

2. $\Rightarrow$ 1.: 令 $\{K_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的一个非空子模族。根据假设，子模族 $\{K_{\alpha }\cap N\}_{\alpha \in B}$ ，其中 $B$ 的定义使得相应的 $K_{\alpha }\cap N,\alpha \in B$ 是子模族 $\{K_{\alpha }\cap N\}_{\alpha \in A}$ 的最大元素，是非空的。因此，子模族 $\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in B}$ ，其中

L_{\alpha }:=\{k+N|k\in K_{\alpha }\}

,

有一个最大元素 $L_{\gamma }$ 。我们声称 $K_{\gamma }$ 在 $\{K_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 中是最大的。实际上，设 $K_{\delta }\supseteq K_{\gamma }$ 。那么 $K_{\delta }\cap N=K_{\gamma }\cap N$ ，因为 $\gamma \in B$ 。因此， $\delta \in B$ 。此外，设 $k\in K_{\gamma }$ 。那么 $k+N\in L_{\delta }\Rightarrow k+N\in L_{\gamma }$ ，因为 $\delta \in B$ 。因此 $k+n\in K_{\delta }$ 对于合适的 $n\in N$ ，它必须包含在 $K_{\gamma }$ 中，因此也包含在 $K_{\delta }$ 中。